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「L change the WorLd」の数学少年ニアが解いた問題

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0001１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 01:14:30

中心をＯとする円０の円周上に２点Ａ，Ｂがある。
円０の内部に円０と点Ａで接する円１、円０と点Ｂで接する円２を描いたところ円１と円２が接した。
点Ｏから円１と円２の接点における接線へ下ろした垂線の足をＣとする。

ＡＢ＝２６
ＢＣ＝３
ＣＡ＝２５
のとき
ＡＯ：ＯＣを求めよ。

前半部分は私が図から文章に起こしました。
答えは１３：１１でＭＫ→ミッドカインと暗号になっていたわけですが、
自分でチャレンジしてみるとこれまた超難問なんですわ。
出典は数オリかなんかですかね？
スラスラ解いたニアは天才だと思いますが、そもそもはマキちゃんに出された宿題なわけです。
絶対にマキちゃんには無理だと思いますｗ

というわけで、解法わかる方はお願いします。

あと、Ｌとマキとニアがメイド喫茶にいるとき、
ニアが白と黒の角砂糖を並べていたらＬがフィボナッチ数列だとか言いましたが、
あれはどうみたらフィボナッチ数列になるんでしょうか？

その他もろもろ数学少年ニアについて語りましょう。

0002１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 01:24:27

糞スレ立てんな！

0003１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 03:33:47

これはありがたいスレ
なんか劇中ではいろんな補助線足されてたよな…
俺には解けそうになかった…

0004１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 03:37:44

>>1
フィボナッチ数列のやつはたぶん、
色は関係なしに、個数で決まってるんだと思う。
実際のフィボナッチ数列とは初項はちがうけど、2,2,4･･･みたいになってた希ガス

0005１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 03:59:06

やってみたが全然わからん…
方針も立たん…

0006１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 07:49:57

レスが伸びません　

需要ないでつ

0007１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 12:22:42

円1,2の中心を結ぶ
三角形二つにメネラウスの定理

0008１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 14:57:15

つまらん

0009１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 15:29:44

ピラニア

0010１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 15:31:27

アンモナイト

0011１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 15:48:22

この程度で超難問ってどこの大学生だよｗ

0012１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 16:25:27

福岡大学

0013１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 16:28:11

>>12
っFラン

0014１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 18:44:30

>>7
？？？
解けないけぞ

>>11
解いてから言えよ

0015１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:12:06

そして誰も解けなかった・・・

0016１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:13:41

やはり糞スレだなｗｗｗ

0017１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:14:32

数学板の住人の実力ってこんなもんなの？

0018１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:18:30

>>17
オマイ解けんの？

0019１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:20:33

解けないけど何か？

0020１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:22:35

>>19
数板の住人も解けませんけど、何か？

0021１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:28:10

さすがニアはＬの後継者だけある

0022１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:36:57

kingはチンカスだけどねｗｗｗ

0023１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:37:53

そうだkingの脳にこの問題を送って解いてもらおう

0024１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 19:55:02

kingが解けるわけねぇーじゃんｗｗｗ　

あいつキモオタニートだぜｗｗｗ

00251stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/07/14(月) 22:04:41

Reply:>>22,>>24 大陸に帰れ。
Reply:>>23 何をしようとしている。

0026１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 22:10:42

ラングレー系のヒラメキ問題か？

>>25
この問題解けよ

0027１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 23:34:41

円１の中心：Ｏ１
円２の中心：Ｏ２
円１と円２の接点：Ｔ
ＣＴとＯＯ２の交点：Ｓ
ＡＢ＝ｃ
ＢＣ＝ａ
ＣＡ＝ｂ
ＯＡ＝ＯＢ＝ｘ
ＯＣ＝ｙ
円１の半径＝ｒ１
円２の半径＝ｒ２
∠ＯＡＢ＝θ
∠ＣＡＢ＝α
∠ＡＢＣ＝β
∠ＢＣＡ＝γ
∠ＯＯ１Ｏ２＝φ
∠Ｏ１Ｏ２Ｏ＝ψ

とすると

0028１３２人目の素数さん

2008/07/14(月) 23:35:52

△ＳＣＯ∽△ＳＴＯ２より
y/r2=((x-r2)-r2/cosψ)/(r2/cosψ)
整理すると
y/x=(r1-r2)/(r1+r2)　　　　　…①

△ＯＯ１Ｏ２における余弦定理より
(r1+r2)^2=(x-r1)^2+(x-r2)^2-2(x-r1)(x-r2)cos(π-2θ)
cosθ=c/(2x)を用いて整理すると
r1r2+(xc^2/(4x^2-c^2))(r1+r2)-x^2c^2/(4x^2-c^2)=0　　　　　…②

△ＯＢＣにおける余弦定理より
a^2=x^2+y^2-2xycosψ　　　　　…③

△ＯＢＣにおける正弦定理より
a/sinψ=y/sin(β-θ)　　　　　…④

未知数：x,y,r1,r2の４つ
対して
方程式：①、②、③、④の４つ（互いに同値ではない）

手計算ではやる気が無くなりました
数式処理システム使える人はお願いします
もしくは手計算でがんばれるつわものはお願いします

0029１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 01:51:17

円1と円2の接点をＤとして、直線ＡＤと円0のＡ以外の交点をＥ、直線ＢＤと円0のＢ以外の交点をＦとする。
円1の中心をＰ、円2の中心をＱとし、Ｄでの接線と円0の交点をＲとＳとする。
条件より∠ＰＤＡ＝∠ＯＡＤ＝∠ＯＥＡなのでＯＥ//ＰＤが言える。ＰＤ⊥ＲＳなのでＯＥ⊥ＲＳとなる。
したがって3点Ｅ、Ｃ、Ｏは同一直線上で、ＥＲ＝ＥＳであることがわかる。よって∠ＥＳＲ＝∠ＥＡＳからＥＳ^2＝ＥＤ×ＥＡとなる。
対称性から4点ＥＣＯＦが同一直線上だと言え、△ＥＣＳ∽△ＥＳＦよりＥＳ^2＝ＥＣ×ＥＦとなるので、ＥＤ×ＥＡ＝ＥＣ×ＥＦ
よって4点ＣＤＡＦは同一円周上。同様に4点ＣＤＢＥも同一円周上なので、∠ＦＣＡ＝∠ＦＤＡ＝∠ＥＤＢ＝∠ＥＣＢ　すなわち∠ＦＣＡ＝∠ＥＣＢ
したがって直線ＯＣに関してＢと対称な点をＴとすれば、3点ＡＣＴは同一直線上でＯＡ＝ＯＢ＝ＯＴとなり∠ＯＡＣ＝∠ＯＴＣ＝∠ＯＢＣとなる。
∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＣであることから4点ＯＡＢＣは同一円周上なので、ＯＡ＝ＯＢ＝x、ＯＣ＝yとすれば、トレミーの定理より
ＢＣ×x＋ＡＢ×y＝ＡＣ×x　となる。
今ＡＢ＝２６、ＡＣ＝２５、ＢＣ＝３なので代入して式を整理すれば11x=13yとなる。
よって以上からＯＡ：ＯＣ＝１３：１１

003027-28

2008/07/15(火) 03:08:40

数値解が求まりました。

x=16.25
y=13.75
r1=14.4444
r2=1.2037

これより厳密解は

x=65/4
y=55/4
r1=130/9
r2=65/54

でしょう

比を求める問題でありながらビシバシ決まるんですね

>>1の問題は序章に過ぎず、
発展させたx,y,r1,r2を求めよの方がこの問題の本質だと思います

ということで次は>>29のように幾何的にx,y,r1,r2を求めることを目標にしましょう

0031１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 09:39:10

>>30
まったく本質ではないと思いますけどね。

点Ａから直線ＢＣに下ろした垂線の足をＵ、点Ｏから直線ＡＢに下ろした垂線の足をＶ、点Ａ,Ｂから直線ＯＣに下ろした垂線の足をＷ、Ｘとする。
三平方からＡＵ＝２４，ＣＵ＝７となる。直線ＡＵと直線ＯＣの交点Ｙをとすると、ＣＹは∠ＡＣＵの二等分線なので
ＡＹ：ＹＵ＝ＡＣ：ＣＵ＝２５：７
よってＹＵ＝２１／４でありＣＹ：ＹＵ：ＵＣ＝５：３：４
△ＣＹＵ∽△ＡＯＶ∽△ＣＡＷ∽△ＣＢＸからＡＯ＝ＶＡ×５／４＝ＢＡ×５／８＝６５／４
したがってＣＯ＝ＡＯ×１１／１３＝５５／４
ＡＷ＝ＣＡ×３／５＝１５、ＣＷ＝２０、ＥＷ＝ＯＥ＋ＣＷ‐ＯＣ＝４５／２で、ＡＷ//ＤＣよりＤＣ＝ＡＷ×ＥＣ／ＥＷ＝５／３
よってr1＝ＯＡ×(ＡＷ‐ＤＣ)／ＡＷ＝６５／４×８／９＝１３０／９
r2も同様に求まる。

0032１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 19:18:16

x=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))c
y=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))|b-a|
r1=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))(-a+b+c)/(a+b+c)c
r2=√(ab/((-a+b+c)(a-b+c)))(a-b+c)/(a+b+c)c

0033１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 21:29:26

>>31
垂線の足をＷ、Ｘとするまで読んだ

0034１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 21:30:41

俺には絶対無理だわ。　

果敢に挑戦するあなた達を尊敬します

0035１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 21:36:43

図形問題はどんなに複雑なプロセスを経ようとも結果がシンプルならばエレガントな解答がある

0036１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 21:38:53

エレガントな解答をもとむ

0037１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 21:56:10

>>1は解答を理解出来ないのなら最初から問題出さないで下さい

0038１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 22:04:33

平面幾何は数学じゃないだろ
パズルだ

0039１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 22:29:42

幾何学は数学の一分野の筈ですが、そこの所はどの様にお考えで!?
と聞きながら>>38のほっぺにぶつかるほどマイクを近付けるテスト

0040１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 22:42:14

点Ａにおける接線、点Ｂにおける接線、円１と円２の接点における接線は１点で交わり、これをＤとする。
また、ＣＡ上にＣＢ＝ＣＥとなる点Ｅをとる。
このとき△ＥＢＣ∽△ＡＢＯ、△ＯＢＣ∽△ＡＢＥとなる。（証明終）

0041１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 22:46:28

点Ａにおける接線、点Ｂにおける接線、円１と円２の接点における接線は１点で交わり、
これをＤとすると、五角形ＡＤＢＣＯは円に内接する。
また、ＣＡ上にＣＢ＝ＣＥとなる点Ｅをとる。
このとき△ＥＢＣ∽△ＡＢＯ、△ＯＢＣ∽△ＡＢＥとなる。（証明終）

0042１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 23:29:20

これ答え映画に中にあったのに>>1は理解できなかったのか？
>>40-41がそれだよ

0043１３２人目の素数さん

2008/07/15(火) 23:33:48

なんで五角形ＡＤＢＣＯは円に内接するの？

0044１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 00:21:50

>>43
ODが直径になってるでしょ

0045１３２人目の素数さん

2008/07/16(水) 20:47:40

ttp://www.dailymotion.com/peluchette-en-sucre/video/x6291q_l-change-1

0046１３２人目の素数さん

2008/07/17(木) 21:22:29

　　／￣￣＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　（ ●）（●）
.　|　　　　（__人__）　　フィボナッチ数列？
　 |　　　　　｀ ⌒´ﾉ　　　おかしいだろ、常識的に考えて…
.　 |　　　　　　　 }
.　ヽ　　　　　　 }
　　ヽ　　　　　ノ　　　　　　　　＼
　　　/　　　く　　＼　　　　　　　＼
　　　|　　　　＼　＼　　　　　　　＼
　　 |　　　　|ヽ、二⌒)､　　　　　　　＼

0047１３２人目の素数さん

2008/07/20(日) 04:50:40

この問題のソースってなんだろうね
>>1が言うように数学オリンピックかなんかかな

0048１３２人目の素数さん

2008/07/24(木) 18:35:53

age

0049１３２人目の素数さん

2008/07/30(水) 18:36:09

フィボ( ● ´ ー｀ ● )数列

0050１３２人目の素数さん

2008/08/02(土) 21:00:47

0051１３２人目の素数さん

2008/08/11(月) 15:31:43

ちょっｗｗｗｗｗｗ
どうしてあのアジアン坊主がニアなんだよｗｗｗｗｗｗ
ニアはもっとヨーロピアンで髪の毛はクリンクリンじゃなきゃ！！！！！

0052１３２人目の素数さん

2008/09/14(日) 00:48:42

あげ

0053１３２人目の素数さん

2008/09/24(水) 02:55:24

hosyu

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