>>650
「a,bが互いに素な自然数」→「ax+by=1を満たす整数x,yが存在する」
の証明

b個の整数
a,2a,3a,‥‥(b-1)a,ba
はbで割った余りがすべて異なる。
なぜなら
これらb個の整数のうち異なる2数の差は
a,2a,3a,‥‥,(b-1)a
のいずれかになるが、これらはずべてbで割り切れないからである。

そして、bで割った余りはb種類しかないから
最初にあげたb個の整数の中に、bで割って1余るものが必ず1つ存在する。
その整数をpaとし、bで割ったときの商をqとすれば
pa=bq+1つまりap+b(-q)=1が成り立つ。


逆の証明は対偶でもとればできるんじゃね？