2変数以上の実数値関数f:R^n→Rについて質問があります。

x,zはR^n上の点、o(.)はランダウの無限小だとしてください。

1階連続微分を十分条件として、
f(x+z)=f(x)+Df(x+sz)z with some s\in(0,1)
と近似できるというのがテイラーの定理だったと思います。
これは1階微分のみを十分条件としている平均値の定理でも同様の式が
成立すると思うのですが、何が違うのでしょうか？

また手元にある非数学畑の人の書いた本だと、1階連続微分の元で
f(x+z)=f(x)+Df(x)z+o(|z|)
と近似できるのがテイラーの定理だとあります。
1階微分でも定義上、同様の式が成立すると思うのですが。
その本の証明を読んでもムダに連続微分を仮定しているように読め、
これを基にしていいのか迷っているところです。

もうひとつ、2階微分可能なら
f(x+z)=f(x)+Df(x)z+z'D^2f(x)z+o(|z|^2)
というふうには言えないのでしょうか？この本だとC^2級でそう言えるのを
テイラーだとしてるのですが。