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なんで高校でちゃんと証明教えないかわからんが

自然数nについての命題P(n)が
次の条件(1)(2)を満たすとき任意の自然数でP(n)は成り立つ
(1)P(1)で成り立つ
(2)ある自然数nでP(n)が成り立つならP(n+1)も成り立つ

集合A{m|mはP(m)が成り立たないもの}を考えると
もしこの集合が空集合でないなら最小となるmがあり(1)からこのmは1でない
よって自然数(m-1)がありAの元でないのでP(m-1)は真である
(2)からP(m)も真となり矛盾するのでAは空集合であり
任意の自然数についてP(n)が成り立つ