3次式f(x)は次の条件を満たす。
f(x)+1は(x+1)^2で割り切れる。
3-f(x)はx+2で割り切れ、その商はxの1次式の平方である。f(x)を求めよ。
(自分の解答)
条件より
f(x)=(x+1)^2P(x)-1…Ⅰ
f(x)=-(x+2)Q(x)+3…Ⅱとおける。
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)とおくと、Ⅰ、Ⅱよりf(-1)=-1,f(-2)=3だから、
-a+b-c+d=-1…[1]
-8a+4b-2c+d=3…[2]
次にf(x)=ax^3+bx^2+cx+dを(x+1)^2で実際にわると、
商はax+b-2a、
余りは(c-2b+3a)x+2a-b+dよりⅠから、
c-2b+3a=0…[3]
2a-b+d=-1…[4]
[3]よりc=2b-3a、[4]よりd=-1-2a+bを[2]に代入すると
b=4a+2を得る。これよりc=5a+4,d=2a+1を得る。これらをf(x)=ax^3+bx^2+cx+dに代入すると、
f(x)=ax^3+(4a+2)x^2+(5a+4)x+2a+1であるから
3-f(x)=-ax^3-(4a+2)x^2-(5a+4)x-2a+2
条件Ⅱより3-f(x)はx+2で割り切れるから右辺にx=-2を代入すると0である。
ところが実際に代入すると2=0とりおかしな式が出てきます。
自分の解答が間違ってるはずはないと思うのですが…自分の解答の誤りを教えてください。