>>106

a_n = 2^n - 1(n=1, 2, ...)

とおく。

a_(n+1) = 2^(n+1) - 1 = 2*2^n - 1 = 2*( 2^n - 1 ) + 1 = 2 * a_n + 1.
a_(n+2) = 2 * a_(n+1) + 1 = 2 * ( 2 * a_n + 1 ) + 1 = 4 * a_n + 3.
a_(n+3) = 2 * a_(n+2) + 1 = 2 * ( 4 * a_n + 3 ) + 1 = 8 * a_n + 7 = 7 * ( a_n + 1 ) + a_n.

よって、

a_(n+3) を 7 で割った余りと、

a_n を 7 で割った余りは、

等しい。