m は非負整数として、2^(3m)=(1+7)^m=7*(整数)+1←二項定理でばらして 7 でくくれ。だから、n が 3 の倍数なら、2^n は 7 の倍数。
m は非負整数、k=1,2 として、2^(3m+k)-1=(2^(3m)-1)2^(k)+(2^k-1). 第一項は 7 の倍数、第二項は k=1 のとき 1, k=2 のとき 3 で、7 の倍数でない。
だから、2^n が 7 の倍数になるのは、n が 3 の倍数のとき。