非斉次の場合は一般には定数変化法を使うけど、
今あなたが考えてるような p, q, r , a が定数の場合だったら、

p y'' + q y' + ry = 0

の解を f としたときに

y = f + a/r

が解。もし r = 0 なら

y = f + a x /q

が解。もし r = q = 0 なら

y = f + a x^2/(2p)

が解。