>>448>>463
まず n が条件を満たす⇔ -(n + 1)が条件を満たす..........(*)
だから、 n が正の場合だけまず考えれば良い。
2n + 1 と 2n の間に共通の素因数は無いから
2n + 1 と n や n^2 の間にもないよね。

2n + 1 | n^2(n^2 + 5)だから
2n + 1 | n^2 + 5でないといけない。
つまり (2n + 1)x = n^2 + 5
ここで n が充分大きい場合を考えると x は大体 n/2 くらいになりそう。
n/2 あたりの整数を考えるために n の偶奇を考える。

Case I. n = 2m のとき m = 0 ならば n = 0 でOK。 m ≧ 1 のとき
(4m + 1)x = 4m^2 + 5
x = m - 1 のとき (4m + 1)x =4m^2 - 3m - 1 ＜ 4m^2 + 5
x = m のとき (4m + 1)x =4m^2 + m よって m = 5のとき等しい。
x ≧ m + 1 のとき (4m + 1)x ≧ (4m + 1)(m + 1) = 4m^2 + 5m + 1 ＞ 4m^2 + 5

Case II. n = 2m + 1のとき m = 0 ならば n = 1 でOK。
(4m + 3)x = 4m^2 + 4m + 6 よって x は偶数
x = m - 1 のとき (4m + 3)x = (4m + 3)(m - 1) = 4m^2 - m -3 ＜ 4m^2 + 5
x = m ならば(4m + 3)x = 4m^2 + 3m ≠ 4m^2 + 5
x = m + 1 のとき (4m + 3)x = (4m + 3)(m + 1) = 4m^2 + 7m + 3 ＞ 4m^2 + 5

あとは正のときの解を全部数えて(*)も考慮して負のときの答えも求めて全部数える