楕円領域
　　u^2　　　 v^2
E: -----　+　----- <= 1
　　a^2　　　 b^2
の面積を求める。もちろん2重積分を使わなくても、vをuの関数として
a　　　　　a　　　　　　u^2
∫　v du = ∫　b√(1 - -----) du
-a　　　　-a　　　　　　a^2
を計算すればいい(u = a sin tと変換して積分すればよい)。しかし、…

…と続くのですが、「2重積分を使わずに」計算してみたいと思います。
a　　　　　a　　　　　　a^2 (sin t)^2
∫　v du = ∫　b√(1 - ---------------) du
-a　　　　-a　　　　　　　　　a^2
　a
= ∫　b√(1 - (sin t)^2) du
　-a
　a
= ∫　b√((cos t)^2) du
　-a
　a
= ∫　b cos t du
　-a
　　a
=b ∫　cos t du
　　-a
　　　　　a
=b [u cos t]
　　　　　-a
↓続く