【問題】
n次正方行列
{
　{ 1+a_1 ,　 1　 ,　 1　 , ... 　1　 },
　{ 　1　 , 1+a_2 , 　1　 , ... 　1　 },
　{ 　1　 , 　1　 , 1+a_3 , ... 　1　 },
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　{　 1　 ,　 1　 ,　 1　 , ... 1+a_n }
}

の行列式を求めよ

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n=kのときの行列式をA_kと置いてひとつ次数を下げて漸化式を作り、あとは再帰的に計算できると考えたのですが、
どうもうまく計算しやすい形になりません。
変形の方針、あるいは、もっと良い解き方があればそれを教えていただきたいです。