>>433, >>437, >>440, >>444
横レスだが（たまたま見たので）

一般論をやっているわけでもなんでもないのに、何でそんなことを気にするのかのほうがわからん。
この解答を勝手に一般化して、連続と限らないfで同じ議論をしたらそりゃ問題だろうし、
そういう行為への予防線として>>433のような注意をするのは悪くないが、
>>437の解答が「不十分」というのは言いすぎ。

>漸化式の両辺のn→∞を考えて

の意味は、ここでは明らかに「a[n+1]=√(1+a[n])の両辺でn→∞として」だろ？
「lim[n→∞]a_n=αのとき、lim[n→∞]√(1+a[n])=√(1+α)」
の証明までしろというのか？ ε-δもやってない高校生相手に。

そういうこと言ってイキがるのは、ε-δで上の「…」の証明とか練習させられ
た大学1年生かね。
大学でも上級になれば、√(1+x) (x>=0)の連続性などは「見ただけで明らか」として
いちいち証明したりせずに使うよ