●考えてみた結果を書きます。
三角不等式でバラせば、
|f(x)/(1+|x|)-f(y)/(1+|y|)|
≦|f(x)-f(y)|/(1+|x|)(1+|y|)
+|y||f(x)-f(y)|/(1+|x|)(1+|y|)
+ ||x|-|y|||f(y)|/(1+|x|)(1+|y|)
であり、第1項、第2項はfの一様連続性から
一様に小にできますが、第3項を処理するのに
f(x)/(1+|x|)の有界性が要ります。

また、（一般に）関数F、Gが一様連続で少なくとも
一方が有界なら積FGが一様連続であることはわかります。

つまり結局のところ、>>11の(1)だけがよくわかりません。

>>161さん、もう少し詳しく説明してくださいませんか…？