xがtの関数(たとえば, x=e^t)のとき、
dx/dt = d(e^t)/dt = e^t ですが、
これをいきなり dx = d(e^t) = e^t･dt
と書いても構わないものなんでしょうか？

そういう取り決めにするなら辻褄はあってる気がしますが、
なんだか気持ちが悪いです。