加法定理

0001１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 02:57:27

加法定理を回転行列を使って証明するのは問題があるのかないのかどっち？

0002１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 02:59:55

循環論法らしいけど違うという人もいる

00031stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 03:00:13

Reply:>>1 それは座標の存在を前提にして考えている。行列を使っても特に問題はないのだが、座標を考えなくても証明できることに注意。

00041stVirtue ◆j0Oon93KwY

2008/06/11(水) 03:04:08

どの加法定理のことを言っているのか。

0005１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:04:08

高校の範囲ではダメ

00061stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 03:05:21

Reply:>>1 原始的に理論を構成する場合は、回転行列では証明できない。

00071stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 03:08:47

Reply:>>1 問題は、三角関数をどう定義しているかだ。

0008１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:11:02

>>2
循環論法と聞いていたんですが調べてみたら大丈夫そ言っている人もいたので聞いてみました

>>3
>それは座標の存在を前提にして考えている
前提にしたら何か問題があるんですか？

>>4
今聞きたいのはcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβとかの証明です

>>5
では大学の範囲なら大丈夫ですか？

0009Kummer ◆q0uEtog.ao

2008/06/11(水) 03:11:40

微分方程式x''=-xの解で定義するのが楽

0010Kummer ◆q0uEtog.ao

2008/06/11(水) 03:12:54

でも高校レベルでも
回転行列でいいんじゃないか？

0011Kummer ◆q0uEtog.ao

2008/06/11(水) 03:14:20

ベキ級数から始めると辛い

0012１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:16:47

　　　　　　　　　　　 ∩
　　　　　　　　　 | |
　　　　　　　　　 | |
　　　　　　　　　 | |
　　　　　　　　　 | |
　　　　　 ∧＿∧ 　| |　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　（　３e３）／/　　＜　先生！こんなスレはこの世にいりません！！
　　　　　／　　　　 /　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　 / /| NO 　 /
　＿＿| | .|　産休 |　＿_
　＼　￣￣￣￣￣　　＼
　　||＼　　　　　　　　　　　＼
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣||￣
　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣||
　　　 .||　　　　　　　 ||

00131stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 03:17:35

Reply:>>8 座標は前提にしてもいいようだ。
Reply:>>11 複素数x,yに対して、exp(x+y)=exp(x)exp(y)であることを証明すればあとは簡単だ。

0014１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:19:56

>>7
三角関数の定義は単位円とx軸となす角がθの半直線との交点のx座標をcosθ、y座標をsinθとかかな

>>8
cos,sinをそう定義するんですか？はじめて見ました

>>10
別に循環論法になりませんかね？

0015１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:20:01

ではやってみ

0016１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:24:02

周期の存在はどうすんのかな

00171stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 03:25:05

Reply:>>14 原始的な構成法の場合、図形で証明するしかないだろう。あるいは回転行列が本当に回転を示すものかどうか調べることも考えられる。

0018１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:25:19

微積の教科書買え阿呆

0019１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:25:35

東大の入試のときは回転行列を使った証明は正解にはならなかったみたいだね

0020１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:30:43

>>17
>図形で証明するしかないだろう
余弦定理とかを使ったよくみる証明のことですか？

>回転行列が本当に回転を示すものかどうか調べる
たぶんここら辺が循環論法になるとかならないとかだと思うんですけど

0021１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 03:35:25

kingが賢く見えるが…やっぱり気のせいだった

00221stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 03:41:33

Reply:>>20 回転行列が本当に回転を示すものかどうか調べるのは、加法定理を調べるのと似たようなことになるだろう。
Reply:>>21 どういうことか。

0023１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 04:58:56

Ｒ(θ)をθ回転させる行列とすると
Ｒ(α)Ｒ(β)=Ｒ(α+β)
なんだから加法定理の証明になってるだろ
それともこの等式が成り立つのは加法定理から導かれるもんなのか？

0024１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 07:09:52

＞23
鶏と卵

0025１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 07:28:12

>>23
証明になってるだと？
笑わせるなよ文系ｗｗｗｗ

0026１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 07:34:10

具体的に>>23のどこがいけないの？

0027１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 09:21:04

>>26
おそらくＲ(θ)がある点をθ回転させるということがわかるのは加法定理を用いることからわかる性質

0028１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 09:35:27

>>25
最近、数学は文系ではないかとつくづく思う。

00291stVirtue ◆.NHnubyYck

2008/06/11(水) 09:51:54

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。

0030１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 11:57:35

ベクトルを行列使わずに回転させればよろし。

例えば(a,b)をθ回転させるには、
(a,b)=a(1,0)+b(0,1)と考えれば、
a(cosθ,sinθ)+b(-sinθ,cosθ)となることぐらい分かるだろう

これを用いて(cosα,sinα)をβだけ回転させる

0031１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 12:41:33

>>30
なんで成り立つの？

0032１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 12:53:46

　　　　　　　　　　　　　　　このパターンで延々と1000を目指そう..._〆(ﾟ▽ﾟ*)

0033１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 12:55:01

>>31
何が？

0034１３２人目の素数さん

2008/06/11(水) 15:25:12

(1.0)を回転させるとどうなるかは分かる。
(0,1)もわかる。
これがわかれば、(cosθ、sinθ)を回転させるのも簡単

0035１３２人目の素数さん

2008/06/13(金) 10:43:13

age

0036１３２人目の素数さん

2008/06/13(金) 11:32:25

>>34
(1,0)や(0,1)で言えたことをそのまま(cosθ、sinθ)に流用して
よいことの理由が無い。突き詰めていくと結局、加法定理が必要。

0037１３２人目の素数さん

2008/06/13(金) 13:45:16

↑
アホ

0038１３２人目の素数さん

2008/06/13(金) 14:09:59

(cos、0)と(0,sin)を回転させるとどうなるかわかる。
(cos、sin)はそれを足しあわせりゃいいだけ。

(cos.0)と(0,sin)を合わせれば(cos,sin)になる理由がない
とか言わないでくれよ？あまりにもばかばかしいから。

0039１３２人目の素数さん

2008/06/13(金) 15:22:15

(cosα,sinα)をβだけ回転させる

まず，(cosα,sinα)=cosα(1,0)+sinα(0,1)と分解し，
(1,0),(0,1)をβ回転させると，(cosβ,sinβ),(-sinβ,cosβ)となることから

(cos(α+β),sin(α+β))=cosα(cosβ,sinβ)+sinα(-sinβ,cosβ)
=(cosαcosβ-sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ)

これのどこに加法定理を使っているというのだ？

0040１３２人目の素数さん

2008/06/13(金) 19:31:56

ｘ方向への単位長さの基本ベクトルを何倍するかという掛け算と
ｙ方向への単位長さの基本ベクトルを何倍するかという掛け算を指定すれば
二次元の平面上の位置ベクトルを指定できたことになる。
ｘｙ二方向への単位長さの基本ベクトルをそれぞれθだけ回転させてから
それぞれに対して同じ掛け算を作用させれば
位置ベクトルをθだけ回転させたことになる
だからθ＋π/２のサインコサインの公式だけでサインコサインの加法定理が導けるわけね

0041１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 00:20:49

それが回転とわかるのは線形性からきてるんでしょ？
高校生には無理

0042１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 00:45:03

高校レベルに限定する理由ないだろ。

0043１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 00:51:23

回転と数学的帰納法との組み合わせで解決するんじゃないの？

004443

2008/06/14(土) 00:53:55

すまん
これ、倍角の場合だった

0045１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 09:36:10

自分のころの教科書では行列で証明されてましたよ

それ以外の方法だと、とても難しくなってしまうのかも

0046１３２人目の素数さん

2008/06/14(土) 09:56:25

>>41
大げさすぎ
長方形ごと回転させると考えれば誰でもわかる

0047１３２人目の素数さん

2008/06/15(日) 17:01:28

age

0048１３２人目の素数さん

2008/06/17(火) 19:33:50

>>39
それじゃだめだｗｗ

0049１３２人目の素数さん

2008/06/18(水) 01:11:44

>>48
どこが？

0050１３２人目の素数さん

2008/06/18(水) 02:19:12

>>39 論外。

0051１３２人目の素数さん

2008/06/18(水) 08:39:57

>>50
だから何処が？
具体的に言ってみ

0052１３２人目の素数さん

2008/06/18(水) 14:55:15

なんかロピタルの定理のスレの昔の展開と似たようなことになっとるな

0053１３２人目の素数さん

2008/07/01(火) 17:15:56

cosα　cosβ 　　－　　sinα　sinβ
殺す　殺す　轢かれて　死ね　死ね

0054１３２人目の素数さん

2008/07/01(火) 23:11:13

age

0055１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 12:23:17

>>53
えっ？
「コスモス咲いた」とかで覚えなかった？

0056１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 12:27:48

>>53
ゆとり乙

0057１３２人目の素数さん

2008/07/02(水) 12:34:07

俺は語呂合わせすら使わなかったが‥

0058１３２人目の素数さん

2008/08/10(日) 16:59:37

age

0059１３２人目の素数さん

2008/08/10(日) 20:03:58

cos(A+B)=
cosAcosB-sinAsinB
コスコスマイチンチン

0060１３２人目の素数さん

2008/08/24(日) 10:33:21

0061１３２人目の素数さん

2008/08/29(金) 20:59:29

回転行列が一次変換であること、が前提にあれば回転行列を使った証明でも構わない気がする。
そんな前提はダメだろうけど

0062１３２人目の素数さん

2008/09/08(月) 23:08:09

まずは回転とはどういう物なのかを定義するところから

0063１３２人目の素数さん

2008/09/09(火) 10:24:04

回転操作は群を為す
回転した後も2点の長さは変わらない
回転しても向き付けは変わらない
ここまでは成り立っていて欲しい

0064１３２人目の素数さん

2008/09/09(火) 10:30:24

あと「角度aの回転＝(1,0)を(cosa,sina)に移す回転」として
そのような回転操作が一意的に決まって欲しい

0065１３２人目の素数さん

2008/10/19(日) 21:33:07

>>63-64から回転が線形変換であることを示すには10行程度かかる
更に回転を実際に構成するのもめんどう
結局は教科書に載ってるようなやり方に比べると遠回りになるように見えるが
しかし教科書に載ってるようなやり方も厳密ではなさそうだし
どんなやり方でもいちゃもん付ければめんどくさいことになりそうな気がしないでもない
もはや加法定理において短い証明は考えられないと言ってよい

0066１３２人目の素数さん

2008/11/18(火) 09:50:56

三角関数以外の関数の加法定理の話題もすべきである

0067１３２人目の素数さん

2008/11/18(火) 10:02:36

>>66
誰も止めはしない、さあ思う存分やりたまえ

0068１３２人目の素数さん

2008/11/26(水) 21:04:47

うるさい。

0069１３２人目の素数さん

2009/01/10(土) 15:47:54

389

0070１３２人目の素数さん

2009/01/29(木) 13:01:49

157

0071１３２人目の素数さん

2009/03/03(火) 18:26:55

f,g:R→Rが
・f(0)=0、f(π/2)=1、∀x∈[0,π/2] cosx,sinx≧0
・x∈[0,π/2]上でf(x)は単調増加
・∀x∈R (f(x)^2+g(x)^2=1 and f(x+π/2)=g(x) and g(x+π/2)=-f(x))
という基本的な性質を満たしただけじゃf,gはsin,cosにならない
だから
・x,y∈Rに対して(f(x+y),g(x+y))と(f(x),g(x))の距離はxに依らない
という性質も満たすようにするとf,gは一意的に決まるからsin,cosになる筈
ならば↑の性質達だけから加法定理もsinx/x→1(x→0)も導ける筈だが
そんな作業に何の意味があるのかと言われると困るのでsageでメモるだけ

0072１３２人目の素数さん

2009/03/03(火) 23:35:57

age

0073１３２人目の素数さん

2009/04/20(月) 23:46:29

・(cos(x+y),sin(x+y))と(cosx,sinx)の距離はxの値によらない
ってのは高校数学だとどうやって証明するんだろう

A=(cos(x+y),sin(x+y)) B=(cosx,sinx)
C=(cosy,siny) D=(cos0,sin0) O=(0,0)とおいたとき
∠AOB=∠CODかつOA=OB=OC=OD=1だから△AOBと△CODは合同
よってAB=CDとなるのでxによらない事が分かる
でいいんだろうか

0074現場の職人

2009/04/20(月) 23:56:30

加法定理の証明は、作図では　少しややこしいけれど、

それを常識と考えれば、応用はたくさんあるっ　!

0075１３２人目の素数さん

2009/06/22(月) 01:08:47

653

0076１３２人目の素数さん

2009/08/01(土) 14:29:03

236

0077１３２人目の素数さん

2009/08/08(土) 00:18:11

>>1
cn,sn,dnとかワイエルシュトラスのペーとかの加法定理は何で無視するんだ？

0078１３２人目の素数さん

2009/08/08(土) 00:19:20

たまにはageとかないと乾燥しちゃう

0079１３２人目の素数さん

2009/09/05(土) 02:39:50

857