>>23
(y+z)/x = (z+x)/y = (x+y)/z = k とおいたわけだよな？
それからどうしたんだい？
例えば，y + z = kx，z + x = ky，x + y = kz としてから
この 3 個の式を辺々加えて 2(x + y + z) = k(x + y + z) とでもしたら，
(1) x + y + z = 0
(2) x + y + z ≠ 0
のそれぞれの場合について考えることになるだろう。
そして，もし，(1)，(2) のどちらかが「x，y，z のうちに必ず 0 が含まれる」
ような場合なら，その場合は不適となるというのはいいよな？

しかし，実際には (1) なら x + y + z = 0 であればよく，
これをみたす 0 でない x，y，z はあるから（x = y = 1，z = -2 など），
「(1) の場合は起こりうる」（この場合には k = -1）。
また，(2) の場合は k = 2 で，y + z = 2x，z + x = 2y，x + y = 2z となるが，
これから（x，y を z で表してみると）x = y = z となる。
0 でない x，y，z がこの関係をみたせば k = 2 となる。
そして，そのような x，y，z はあるから（x = y = z = 1 で OK），
「(2) の場合も起こりうる」。
こういう具合に，場合分けの各々の場合が「実在する」場合であるかどうかを
確認するように要求されているのだろう。

なお，（今のような式変形をしたら）「x，y，z は 0 にならない」ことを
示そうとしてもうまくいかないよ。
なぜなら，x = y = z = 0 の場合には y + z = kx，z + x = ky，x + y = kz が
成り立ってしまうからね。