代数的整数論 011
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/05/30(金) 19:36:10Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備として積分論を述べています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
過去スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/
0002Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/05/30(金) 19:37:50>iy ∈ M であるから Re<z, iy> = Re(-i<z, y>) = Im<z, y> = 0
K が実数体の場合は、この行は不要である。
0003１３２人目の素数さん
2008/05/30(金) 21:52:49a (mod b)ってあった時、bの部分が和、積、累乗など
変わった定理、公式はありませんか？知ってたら教えてください。
(分かりづらくてすみません)
0004１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 00:09:54a ≡ b (mod c)ってあった時、cの部分が和、積、累乗など
変わった定理、公式はありませんか？知ってたら教えてください。
(aの部分に関してなら有名どころでa^(p-1)≡1(mod p)とか)
0005１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 00:49:20gcd(c,m)=d , m=dnのとき
ac ≡ bc (mod m)
ならば
a ≡ b (mod n)
あと、よく知らんけどたぶんスレ違い
＞Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
＞内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。
＞その他、内容についてのご意見は歓迎します。
＞例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
＞なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
＞原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
こっちの方が相手してもらえるんじゃね？
整数論の問題を出し合うスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316
0006１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 05:44:41私物化しちゃだめよ
0007１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 06:45:33今のままだと、別もんだろう。
0008Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/01(日) 06:57:35>＞内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。
内容というのはこのスレに私が書いたこと。
代数的整数論または整数論一般のことではないです。
0009Kummer ◆wSaCDPDEl2
2008/06/01(日) 07:29:41なんなのあれ
0010１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:17:17, ´ , ~ ￣､"ー ､
_／ / ,r _ ヽ ノ
, ´ / / ● i"
,／ ,| / / ＿i⌒ ｌ| i | 寂しいクマー
と,-‐ ´￣ / / （⊂ ● j'__ |
(´＿＿ ､ / / ￣!,__,u● |
￣￣｀ヾ＿ し u l| i ／ヽ､
,＿ ＼ ﾉ(`'＿＿ノ
(＿_ ￣~" ＿＿ , --‐一~⊂ ⊃＿
￣￣￣ ⊂￣ ＿＿⊃
⊂＿＿＿＿＿⊃
0011１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:19:46結婚７年目を迎えた。ひとり息子は小学生になり専業主婦の妻も少し自由時間がとれるようになった。
ある日妻がスイミングスクールに通いたいと申し出てきた。友人の勧めで体系維持と健康の為に通うのだそうだ。
インストラクターはどんなヤツだ？と思ったが、頑張って来い！と即答し男らしさを演出してみせた。
妻が通い始めて２ヶ月ほど経ちスクールにも慣れ、妻も生き生きしているように見える。
いつも妻はスクールの報告をしてくれるが、あまり興味の無い話なので話半分で聞く。
「今日は○○さん、平泳ぎの動きがおかしくて・・」
「へえ、そうなんだ～」
・・・・
「あ、それと先週行けなかった分補習してくれるって」
「そうなんだ、じゃあいつもと違う生徒さんに出会えるね」
「そうじゃなくて、授業がない日にわざわざやってくれるんだって」
「ほう、すごいサービスだなぁ」
そこで以前より話題に出るオーナー兼インストラクターの加納先生を思い出す。
色黒で筋肉質、面白い授業で主婦に人気があるらしい。
「ってことは、加納先生とワンツーマンなのか？」
「違うよ。もう１人補習の人いるって言ってた。」
「そうか・・」
生徒が２人と聞いて少し安心したがどうもスッキリしない。
加納先生に妻が体を触られているんじゃないかと前から気になっていた気持ちが強まる。
補習は俺が外回りの日だった。
気になった俺は得意先に行くのを午後に回し、スイミングに妻に内緒で行ってみる事にした。
スクールの建物から一番離れた駐車場に車を止め、授業が始まった頃合を見て中に入る。
２階の入り口から入ると受け付けがあり、すぐ横に付き添い人が見学できるソファーが並ぶ。
プールは１階にある為、上から見下ろす目線で見学が出来る。
見学している人は他に居ないようだ。すぐさま受付から見えないソファーに腰掛け、妻を捜す。
すぐ目にとまる。浅い所にいる１０人位の集団はお母さんと子供が一緒にプールに浸かって練習している。
その反対側に小人数でやっている。ん？どう見ても先生らしき人と女性の生徒１人で練習しているように見える。
慌てて用意した双眼鏡をポケットから出す。
0012１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:20:28一緒に海に行ったことはあるがち
ゃんと泳いでいる姿は始めて見た。
まあ、他に人はいるし心配する雰囲気じゃない。でも折角だからあまり見れない一生懸命な妻を見ていく事にする。
しばらく妻の下手な泳ぎを眺めていた。すると加納先生が何か説明をし始め、妻のビート板を取り上げてしまった。
不安そうな妻に加納先生は僕のところまで来てくださいとでも言っているのだろう、妻に手招きしている。
妻は意を決して手をぴんぴんに伸ばし、懸命にバタ足をしている。
何とか加納先生のところまで着きそうだ・・っておい！
妻は目を閉じているのかそのまま先生に突っ込んで行く。加納先生はそれをそのまま抱きとめる。
今、妻はおっぱいを触られたんじゃなかろうか。
心配は余所にその練習は５～６回続き、ほとんど妻は抱きかかえられる。
次は背泳ぎの練習らしい。いやな予感は的中し、今度は始めから背中とお尻を下から支えられたまま指導が行われる。
妻はお尻を触られる事を気にしているのか必要以上に腰を浮かす。すると加納先生はお腹の辺りを上から押さえ、フォームを修正する。
次はどう考えても早過ぎるバタフライの練習に入る。
まずはドルフィンキックの練習からだが、加納先生の手本通りに出来る訳無くやはり下から支えられる事になる。
双眼鏡で見ているものの所詮水の中の様子。
想像の範囲ではあるが・・どう考えても加納先生が伸ばす腕の延長上には妻のおっぱいと股間あるとしか見えない。
すぐさま踏み込んで行って加納先生に一言注意してやりたい気分だが証拠がある訳でもなく「練習の範囲内だ」と言い訳されたら返す言葉は無い。
そうこうしていると練習も終わり、妻は見えなくなった。
いけないものを見てしまった気分で俺は逃げるように建物を出た。
仕事が終わり家に帰ると妻はいつもと変わらない。
「今日の補習はどうだった？」
「え？ああ、私１人だった・・来る予定の人が来れなくなったみたい。あ、でもいっぱい練習出来たし、加納先生が誉めてくれたよ。」
「へえ、どんな事で？」
「バ、バタ足・・。」
「は？」
「なんかスジが良いからって皆が未だ教えてもらってない所まで進んだ。」
「へ、へえ」
0013１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:21:13ますます心配になってきた。
しかも妻の話では今週の日曜日は午前メンテナンスで午後はそのまま休館にするらしい。
今日は違う練習をした為、やり残した息継ぎの練
習をするそうだ。
妻もどうかと思い、断ろうとしたのだが心配なら旦那さんと来ればいい。と言われ断りきれなかったのだ。
俺もそういうことなら付いて行ってやろうと妻に答えた。
そして当日予定通り妻とスイミングに行くと、加納先生は待っていた。想像ほど背は高くないが胸板は厚そうだ。
「どうぞよろしく、今日はゆっくり見学していって下さい」と笑う表情は爽やかだ。
今日は休みだからと裏口から通された。階段を上がり職員室を通過し扉を空けると受付に出た。
「旦那さんはここから見学してて下さい。下に来ちゃうと奥さんが集中できませんから。」
それだけ言うと２人はそれぞれの更衣室へ入って行った。他には誰もいない。
練習が始まった。妻の言う通り息継ぎの練習をしている。
流石に大胆な事は出来ないだろう。それに妻だって俺が見ている事は知っているから抵抗するはずだ。
ところが２０分ほど経過するとプールから出て俺の立つ真下の方へ移動したのだ。
ガラスに顔をくっつけても見えない。また戻って来るのかと待っていてもその気配は無い。
俺は焦った。
下に行ってみようと思い、更衣室に入ろうとドアノブに手を掛けるが男用、女用共に開かない。
職員室もやはり無理だ。自動ドアの鍵は手で回すだけで開いた。外に出て裏口に走る。
が、ここも開いていない。おろおろしながらロビーへ戻る。
もう一度ガラスに顔を押し付けるが状態は変わらない。
プールの周りを見渡すとプールサイドの右奥に螺旋階段があるのに気付く。あれは非常階段か？とにかくそちら側に走る。
あった。非常口の扉には手で回せる鍵が付いている。
しかし、プラスティックのカバーが被せてあり、非常の場合壊せと書いてある。
非常ベルが鳴るのか？
と、思ったが悩んでいる暇は無い。掴んで引いてみる。
ガコッと音がすると間単にカバーは外れた。ベルは聞こえない。
そこからは音を出さないようにゆっくりとドアを空ける。
出るとすぐに螺旋階段があり、２人の声が微かに聞こえる。
0014１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:23:39靴を脱ぎ監視室を盾にしながら近づき、そのまま監視室に入る。
監視室は３方ガラス貼りなっており、スケジュールやポスターがベタベタと貼ってある。
妻がいる側のガラスにも何枚かのポスターが貼られてあり、その隙間から覗くとす
ぐ目の前１メートルのところに２人が見える。
こちら側は薄暗いし、ポスターに隠れてよほどでない限り向こうからは気付かないはずだ。
妻は巨大なビート板みたいな物の上にうつ伏せに寝かされて、加納先生は妻をまたいで立っている。
どうやらフォームの練習をしているらしいが、加納先生は上から妻を抱きかかえるように教えている。
妻は恥ずかしいのか顔を赤らめている。
加納先生が妻に「奥さん体をもう少しやわらかくした方が良いね。」と言い、こちらに歩き始めた。
俺は咄嗟に机の下に隠れた。
そのまま監視室に入って来ると、壁側のロッカーの中から何かを取り出し俺に気付かず戻って行った。
俺も良く見える定位置に戻る。
加納先生は妻に「体をやわらかくするローションを塗ってあげるから上向きになってね」という。
妻はそれに従い仰向けになる。加納先生の顔を直視できないのか顔を横に向ける。丁度俺から顔が丸見えだ。
加納先生は「じゃあ足の方から行くよ」と言いながらラブローションに似た容器のフタをあける。
自分の手にたっぷりと出した透明の液体を妻の白い足に塗り始める。
加納先生の手の動きに時折ビクッとしながらも無抵抗の妻は目を閉じ、顔は更に赤みを増した様子だ。
ふくらはぎから太股、ついに股関節まで来た。妻はあの辺りでじらされると弱いのだ。
膝を立て、そのまま横に開き俺もした事が無いＭ字開脚の格好をさせられる。
流石にその時には妻も「先生恥ずかしいです。」と言っていたが、加納先生は「大丈夫、かわいいよ。旦那さんからも見えないし。」と妻をなだめる。
久しぶりに言われたかわいいの言葉が効いたのか妻はそれ以上抵抗はせずそのままマッサージをされ続ける。
Ｍ字の格好のまま太股から付根までマッサージが繰り返される。
明らかに妻の様子が変わってきている。聞こえないが声が出始めたようだ。
0015１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:25:28何度かに一度水着越しに敏感な部分を触る。そのに合わせて妻の「はぁんっ」という声が聞こえる。
更に往復する度に水着の中へ少しづつ滑り込ませ始めたのを俺は見逃さない。
完全に水着の中まで手が入る頃には妻のあそこはグチョグチョになっているのだろう。
妻のあそこの濡れ具合に興奮したのか加納先生は自分の股間を妻のあそこに押しつけながら肩の関節のマッサージに変わった。
水着は着けたまま股間同士は擦れ合っているのだ。只、加納先生の方は競泳用水着の上から黒い棒が５～６㎝は飛び出しているが・・。
加納先生は肩を揉むように動かしながら前後に動いている。
首、肩、そしておっぱい迄を順にマッサージしていく間も飛び出した黒い棒が妻のあそこをなぞるように擦れている。
妻のおっぱいを見ると水着越しでも分かるくらい乳首が立っている。加納先生はそれを指ではじくようにマッサージする。
しばらく無言だった加納先生は「水着があるとやりにくいので少しずらすよ」と言うとあっという間に妻の肩ひもの部分を下してしまった。
妻はびっくりした様子だったが何も言わずにまた目を閉じて顔を横に向けてしまった。
妻の反応を見た加納先生は肩ひもだけに留まらず、そのまま妻のおっぱいの下まで脱がしてしまう。
加納先生は妻の形の良いおっぱいにローションを垂らし、円を描きながら塗り広げていく。
妻のおっぱいはローションでつるんつるんになっており、プリンのようにぷるぷるしている。
加納先生の手でどんなに形をかえようとも崩れない柔らかい乳房に反して乳首は硬さを増し、少し尖った形になっている。
0016１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:26:48加納先生は自分の水着を素早く脱ぐ。すると黒く太い棒が勢い良く飛び出し、それにローションを塗りつける。
黒光りした棒で妻の股間を水着の上から割れ目に沿ってなぞる。
加納先生は太い棒をうまく使って水着の隙間から妻のあそこにすべり込ませたようだ。
太い棒がローションのお陰もあって見る見るうちに妻の中へ入ってしまった。
加納先生がゆっくり腰を振り始めると妻は横を向いたまま薄目を開け、恍惚とした表情でこちらの方を見ている。
腰の動きが速くなるにつれ加納先生の顔を見るようになり、腕を上げ万歳の格好で悶えている。
妻は俺とする時もいつも万歳の格好なのだ。
加納先生は妻をひっくり返し四つん這いにさせると凄いスピードで腰を振り始めた。
妻には初体験であろう力強いセックスだ。妻のおっぱいが振りちぎれそうなくらい揺れている。
妻は尻を上に突き出したと思うと果ててしまい、そのまま前に崩れるように倒れていった。
それでも尚、加納先生は腰の動きを止めない。
そのまま寝バックの態勢で腰を妻の尻に打ちつけている。
そして再び妻が逝く頃、加納先生も妻の膣内に大量に精子を放出したようだ。
２人が起き上がる前に俺は急いでロビーに戻った。自分の股間を見ると分泌液でグショグショになっていた。
0017１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:30:14たまにランチに行く友達と九州に２人だけで旅行に行きました。
友達が良い男見つけて遊ぼうか？？って言い出したの。え～～って思ったけど、飲んでたこともあり旅先のアバンチュールも良いかな？？ そしてそんなことできると思ってなかったです。
友達が声かけて、同年代の地元の男性と４人で飲むことになり、いつの間にかカップル状態で２人ずつになり飲んでました。
気持ちのテンションも上がり、気持ちよくっていい気持ちでした。
店でて私はふらつき、男性の腕にしがみつくと抱き寄せられて、路上でキスされたのです。
顔は赤らみ血が上り、男性の胸に顔を沈めてました。
男性の腕にしがみつく感じで歩き、ホテルに入りました。これから何が始まるかわかってました。
入りなり熱いキスされ 頭がボーとしちゃって そのままベットで服着たまま愛撫されて、酔いもあり気持ちいい感じでした。
いつの間にか２人とも裸で抱き合ってて、キス・・ 男性の舌が首から乳首にお腹、そしてクンニされて私のあそこは洪水のように濡れてきちゃって、私から男性の物を掴み入れてました。
0018１３２人目の素数さん
2008/06/01(日) 08:30:44それからが私がいまままでに無い行動でした。
私からペニスを握り、銜えてしゃぶいり ２回目のエッチに入り、私もものすごく感じて、初と言うくらい雄たけびを上げる感じで叫びはじめてたのです。
２回目は一緒にいったと思います。精液が口に出され、手でなぞりながら虫の息感じで余韻に浸りました。
数分愛撫されて ３回目はバックから突き上げられてもう快楽以上に感じてました。
夜中の何時まではわかりません。いつの間にか気をなくしてました。
朝、顔を合わせると、はずかしくなり、顔を見れないので、男性にしがみつくと、勘違い？？
再びエッチに入り、深く奥に突き上げられて、首に手を回して抱き合い中に精液が来ると、下腹が熱くなり、初めて？？ ものすごい快楽と気持ちよさでした。
夫と違い、大胆になれるし、私があんな声を上げるなんて・・・ 気持ちよかった体験でした
0019Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/02(月) 20:50:38K を実数体または複素数体とし、E を K 上の前Hilbert空間とする。
M を E の線型部分空間で分離かつ完備とする。
過去スレ010の607より、
E = M + M⊥ (直和) となる。
f: E → M をこの直和分割の射影とする。
f は連続である。
証明
x ∈ E とし、 x = y + z, y ∈ M, z ∈ M⊥ とする。
y = f(x) である。
|x|^2 = <x, x> = <y + z, y + z> = |y|^2 + |z|^2 ≧ |y|^2
即ち、
|f(x)| ≦ |x|
よって、f は連続である。
証明終
0020Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/02(月) 21:55:15K を実数体または複素数体とし、E を K 上のHilbert空間とする。
f を E 上の連続な線型形式とする。
f(x) = <x, y> が任意の x ∈ E に対して成り立つような y ∈ E が
一意に存在する。
証明
f = 0 のときは y = 0 であるから f ≠ 0 と仮定してよい。
M = Ker(f) は E の閉線型部分空間である。
E は分離かつ完備であるから M も分離かつ完備である。
よって、過去スレ010の607より、
E = M + M⊥ (直和) となる。
M⊥ は K と同型であるから M⊥ = Kz となる z ∈ E, z ≠ 0 がある。
x = y + αz, y ∈ M, α ∈ K とする。
f(x) = αf(z) である。
β = f(z)~/|z|^2 とおく。
ここで、f(z)~ は f(z) の共役である。
<x, βz> = <y + αz, βz> = <αz, βz> = αβ~|z|^2 = αf(z) = f(x)
よって、y = βz である。
y の一意性は、任意の x ∈ E に対して <x, y> = 0 なら <y, y> = 0
より y = 0 となることからわかる。
証明終
0021１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 00:27:50確認したいときはどうしたらいいんだい？
まさか「ビューワ使え」なんてあほな事は言わないよな？
0022Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 06:56:52「2ch 過去スレ」でググると保存してるところが見つかるかもしれない。
保障はしませんが。
それから、５０モリタポで見れるそうです。
アンケートに答えればモリタポが貰えるらしい。
私はこれ以外でタダで見れる方法を知らないので、
この件についての質問に答えるのはこれで終了させてもらいます。
0023Kummer ◆Upy4wcs9SI
2008/06/03(火) 08:10:12〔「保」は小城、「障」はとりでの意〕
(1)責任をもって、一定の地位や状態を守ること。
「航路の安全を―する」
(2)ささえ防ぐこと。また、そのもの。
0024Kummer ◆Upy4wcs9SI
2008/06/03(火) 08:11:22(1)まちがいなく大丈夫であるとうけあうこと。
「利益を―する」「―の限りではない」
(2)債務者が債務を履行しない場合、これに代わって債務を履行するという義務を負うこと。
0025Kummer ◆Upy4wcs9SI
2008/06/03(火) 08:18:05記事の削除/編集/ロック/移動/煽り/自作自演/等の権限を持っています。
基本的にモデレーターの役割とは、掲示板の権益を損なう投稿、規約に
反する投稿などを削除、アクティヴな雰囲気を演出することです。
0026Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 20:03:07有難うございます。
0027Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 20:06:100028Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 20:16:45人間にとって無視されることほどイヤなことはあまりない。
だから荒しも結構嬉しかったりするｗ
0029１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 20:17:34やはりな…自分でまとめサイト作るなりしないから
ここは建設的な議論の場ではないということだ。
その癖「過去スレの>>***から～」とか言い出すんだろ、もうアホとしか…。
続けるのはかまわないけど、もうＫｕｍｍｅｒ氏の名前騙るの辞めたら？
それとも氏を辱めたいの？
あ、返答はいいよどうせ答えないだろうから。
0030Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 20:42:33私は過去スレを保存してるからどっかにアップロ－ドしてもいいよ。
ただし、以下の条件がクリアされる必要がある。
(1) アップロ－ドはタダで出来ること。
(2) 保存もタダで出来ること。
(3) 2chで許されること。つまり、法律的に問題ないこと。
0031Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 20:45:27>続けるのはかまわないけど、もうＫｕｍｍｅｒ氏の名前騙るの辞めたら？
Kummerというのは私のハンドル名だから騙るもなにもない。
0032１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 21:56:02期待通りというか何というか…。
やる気がないのなら無理に過去スレ上げなくていい。
（1）～（3）どれも少し調べるなり考えるなりすれば
自分で簡単にできるだろうが。
そういう貴方の態度、考え方がＫｕｍｍｅｒ氏（っても貴方じゃない）を
辱めるように見えてしょうがない、ちょっとした憤りを覚えたってだけだ。
どういうハンドルをつけようが自由だし、氏の名に肖るのもいいが
ここがどういうところなのか少し省みてはいかがか。
0033Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 22:32:07過去スレは2ch viwerを使えば見れるので、どうしても見たいひとは
それを使えばいいです。
勿論、そこまでして見たくないという人もいるでしょう。
それはそれで結構です。
0034１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 22:36:080035Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/03(火) 22:43:50>（1）～（3）どれも少し調べるなり考えるなりすれば
>自分で簡単にできるだろうが。
希望者がいればアップしますよということです。
いないならアップしても無駄でしょう。
0036１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 23:01:19ここまで酷いとは。
ここのコテハンは荒らしに過ぎんということか。
邪魔したな。
0037１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 23:50:44名無しで書き込んだ『10スレしか見れないのにageんな』のレスに
荒らし好きが釣られてノッてこのスレが汚辱され始まった訳だが
弟子なんかに釣られた荒らし、ワロスの通り越して大いに哀れ
0038１３２人目の素数さん
2008/06/04(水) 00:01:4000391stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/06/04(水) 15:43:320040１３２人目の素数さん
2008/06/04(水) 19:03:110041Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/04(水) 20:47:37μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700) とする。
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とし、
<x, y> をその正値 Hermite 形式(過去スレ010の593)とする。
f ∈ L^2(X, F, μ) (過去スレ010の304), g ∈ L^2(X, F, μ) のとき
<f, g> を x ∈ X に <f(x), g(x)> ∈ K を対応させる写像とする。
<f, g> は可積分であり、
(f, g) = ∫<f, g> d|μ| は L^2(X, F, μ) における
正値 Hermite 形式であり、L^2(X, F, μ) はHilbert空間になる。
さらに、(f, f)^(1/2) = N_2(f) となる。
ここで、N_2(f) = (∫ |f|^2 dμ)^(1/2) である(過去スレ008の298)。
証明
(x, y) ∈ F×F のとき、
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より、|<x, y>| ≦ |x||y|
従って、(x, y) ∈ F×F に <x, y> ∈ K を対応させる写像は連続である。
過去スレ010の502より、<f, g> は可測である。
Hoelderの不等式(過去スレ010の579)より、
∫|<f, g>| d|μ| ≦ N_2(f)N_2(g) ＜ +∞
よって、<f, g> は可積分である。
(f, g) = ∫<f, g> d|μ| が L^2(X, F, μ) における正値 Hermite 形式
であることは明らかである。
過去スレ008の306より、L^2(X, F, μ) はノルム N_2(f) によりBanach空間
であるから、L^2(X, F, μ) はHilbert空間である。
証明終
0042Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/04(水) 20:49:41>>41
>ここで、N_2(f) = (∫ |f|^2 dμ)^(1/2) である(過去スレ008の298)。
ここで、N_2(f) = (∫ |f|^2 d|μ|)^(1/2) である(過去スレ008の298)。
0043Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/04(水) 21:16:38(x, y) ∈ K×K のとき <x, y> = xy~ は K 上の正値 Hermite 形式である。
<x, y> により K はHilbert空間となる。
μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度とする。
>>41より、L^2(X, K, μ) は (f, g) = ∫fg~ d|μ| によりHilbert空間になる。
0044１３２人目の素数さん
2008/06/05(木) 00:35:53>>http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208075673/273
おめでとう!!
fish!
＼
＼ ('A`)
＠o")
/ <
雑談はここに書け！【３２】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204174950/
42:◆27Tn7FHaVY :2008/03/13(木) 17:23:17 [sage]
「スゲー！」と感心するならだいぶ健全だと思う｡
「一秒で分かる」「余裕で分かる」「飛ぶ鳥を落とす・・・｣
このようにオレ様化すると、手遅れになるまでそのまま｡
43:１３２人目の素数さん :2008/03/14(金) 00:59:23 [sage]
ＮＧに登録してからかなり経つが弟子=βのことだとすぐ分かった｡
ていうか、まだ同じこといってんのかｗ
少しは表現を変えればいいのにｗ
まったく成長していないなｗ
というか、『真正だし。バカ。』とかレスしたり
このスレでもそうだったが、ここまで諦めの悪い自己保身をする奴は
弟子以外いないなw
やはり弟子は微分さえマトモに出来なかったのかww
さて、このスレでkingの事、ジジィとか書いてた気がするが何だったんだw
>>http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208075673/250
話はぐらかすな、ε－δ論法の話じゃないだろ､
お前の言う特殊コードとやらを改めて此処に示せってんだろうがよ
0045１３２人目の素数さん
2008/06/08(日) 18:36:08代数的整数論のあの人に質問するスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212502627/
0046Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/25(水) 20:48:32(Lebesgue-Radon-Nikodymの定理とも言う)（後述）を証明する準備を
続ける。この定理の証明をHewitt-Rossに従って行う予定であったが
Bourbakiの方法がより自然に思えてきたので、Bourbakiに従うことにする。
Hewitt-Ross の方法も本質的にはBourbakiの方法に従っているが、
彼等流に修正していて、これが個人的にはわかりにくいと感じた。
0047Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/25(水) 22:18:03F を位相空間とし f : X → F をμ-可測写像(過去スレ010の302)とする。
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で f は K で連続} とおく。
Φ は以下の条件を満たす。
(1) K ∈ Φ なら K の任意の閉部分集合 L は Φ に属す。
(2) K_1 ∈ Φ, K_2 ∈ Φ なら K_1 ∪ K_2 ∈ Φ
(3) X の任意のコンパクト集合 L と任意の ε ＞ 0 に対して
|μ|(L - K) ＜ ε, K ⊂ L となる K ∈ Φ が存在する。
(1), (2) は明らかであり、(3) は過去スレ010の292より明らかである。
0048Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/25(水) 22:23:50μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
A を X のμ-可測な集合とする。
A のコンパクト部分集合の集合Φが以下の条件を満たすとき
Φを A においてμ密であると言う。
(1) K ∈ Φ なら K の任意の閉部分集合 L は Φ に属す。
(2) K_1 ∈ Φ, K_2 ∈ Φ なら K_1 ∪ K_2 ∈ Φ
(3) A の任意のコンパクト集合 L と任意の ε ＞ 0 に対して
|μ|(L - K) ＜ ε, K ⊂ L となる K ∈ Φ が存在する。
0049Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/25(水) 22:26:48最初にHewitt-Rossに従う予定だったのは彼等の証明の方がBourbakiより
簡潔に思えたためである。
0050Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/28(土) 23:17:46μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
A を X のμ-可測な集合とする。
A のコンパクト部分集合の集合Φが以下の条件を満たすとする。
(1) K ∈ Φ なら K の任意の閉部分集合 L は Φ に属す。
(2) K_1 ∈ Φ, K_2 ∈ Φ なら K_1 ∪ K_2 ∈ Φ
このとき
以下の条件は互いに同値である。
(a) Φ は A においてμ密(>>48)である。
(b) A の任意のコンパクト集合 L に対して μ零集合 N と
コンパクト集合の列 (K_n) があり、
L = N ∪ K_1 ∪ K_2 ∪ ... となる
ここで、i ≠ j のとき K_i ∩ K_j = φ
(c) A の部分集合 N が μ局所零集合であるためには任意の K ∈ Φ に
対して |μ|^*(N ∩ K) = 0 となることが必要十分である。
証明
(a) ⇒ (b)
n に関する帰納法で、
互いに交わらないコンパクトな K_n ∈ Φ, K_n ⊂ L, n = 1, 2, ...で
|μ|(L - (K_1 ∪ K_2 ∪... ∪K_n)) ＜ 1/n となるものが存在することを
示せばよい。
(続く)
0051Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/28(土) 23:26:26仮定より、n = 1 のときは正しい。
互いに交わらないコンパクトな K_n ∈ Φ, K_n ⊂ L, n = 1, 2, ...で
|μ|(L - (K_1 ∪ K_2 ∪... ∪K_n)) ＜ 1/n となるものが存在すると
仮定する。
L_n = K_1 ∪ K_2 ∪... ∪K_n とおく。
過去スレ008の73より
|μ|(L - L_n) = sup{|μ|(K); K ⊂ L - L_n で K はコンパクト}
よって
|μ|(L - (L_n ∪ K)) ＜ 1/2(n+1), K ⊂ L - L_n となるコンパクトな K が
存在する。
(a)より、|μ|(K - K_(n+1)) ＜ 1/2(n+1), K_(n+1) ⊂ K となる
K_(n+1) ∈ Φ が存在する。
よって、
|μ|(L - (L_n ∪ K_(n+1)) = |μ|(L - (L_n ∪ K)) + |μ|(K - K_(n+1))
＜ 1/2(n+1) + 1/2(n+1) = 1/(n+1)
これで (a) ⇒ (b) が証明された。
(続く)
0052Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 00:11:11>(b) A の任意のコンパクト集合 L に対して μ零集合 N と
>コンパクト集合の列 (K_n) があり、
(b) A の任意のコンパクト集合 L に対して μ零集合 N と
Φ に属すコンパクト集合の列 (K_n) があり、
0053Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 00:16:37(b) ⇒ (a)
(2) より明らかである。
(a) ⇒ (c)
A の部分集合 N が任意の K ∈ Φ に対して |μ|^*(N ∩ K) = 0 と
なるとする。
(a) ⇒ (b) を示した方法と同様にして、
X の任意のコンパクト集合 L に対して
μ零集合 M と Φ に属す互いに交わらないコンパクト集合の列 (K_n) があり、
A ∩ L = M ∪ K_1 ∪ K_2 ∪ ... となることがわかる。
|μ|^*(N ∩ L) = |μ|^*(N ∩ M) + Σ|μ|^*(N ∩ K_n) = 0
よって N はμ局所零集合である。
逆は明らかである。
(続く)
0054Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 07:54:23(c) ⇒ (a) の証明：
(a) が成り立たないと仮定する。
A の任意のコンパクト集合 L で sup{|μ|(K); K ⊂ L, K ∈ Φ} ＜ |μ|(L)
となるものが存在する。
α = sup{|μ|(K); K ⊂ L, K ∈ Φ} とおく。
>>50 の (2) より Φ に属すコンパクト集合の単調増大列 K_1 ⊂ K_2 ⊂ ...
で lim |μ|(K_n) = α となるものが存在する。
B = ∪K_n とおくと |μ|(B) = α となる。
|μ|(L - B) ＞ 0 である。
K ∈ Φ で |μ|(K ∩ (L - B)) ＞ 0 となるものが存在すると仮定する。
過去スレ008の73より
|μ|(K ∩ (L - B)) = sup{|μ|(H); H ⊂ L - B で H はコンパクト}
よって、K ∩ (L - B) のコンパクト部分集合 H で |μ|(H) ＞ 0 となるものが
存在する。>>50 の (1) より H ∈ Φ である。
α - |μ|(H) ＜ |μ|(K_n) となる n がある。
|μ|(K_n ∪ H) = |μ|(K_n) + |μ|(H) ＞ α となる。
>>50 の (2) より K_n ∪ H ∈ Φ である。
これは α の定義に矛盾である。
よって、任意の K ∈ Φ に対して |μ|(K ∩ (L - B)) = 0 でなければならない。
よって、(c) より |μ|(L - B) = 0 である。
これは、|μ|(L - B) ＞ 0 の仮定に矛盾する。
証明終
0055Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 08:17:19命題12とその証明に基づいている。
しかし、Bourbakiでは (b) (正確にはそれをやや変形したもの)から (c) が
直にわかるとしてその証明を書いていない。
これは Bourbaki の勘違いだと思われる。
何故なら、A の部分集合 N が μ局所零集合であることを示すには X の任意の
コンパクト集合 L に対して |μ|^*(N ∩ L) = 0 を示す必要があるが、
A ∩ L はコンパクトとは限らないから (b) は直接使えないからである。
0056Kummer ◆NEE3osS53Q
2008/06/29(日) 09:20:030057Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 09:37:53X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)
とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
f ∈ K(Y, C) (過去スレ009の662)に対して g を Y において f に一致し、
X - Y で 0 となる X 上の関数とする。
g は μ可積分である。
証明
g_1, g_2, g_3, g_4 ∈ K+(Y, R) があり、
f = g_1 - g_2 + i(g_3 - g_4) と書ける。
よって、f ∈ K+(Y, R) と仮定してよい。
αを(有限な)実数とする。
α ≦ 0 のとき X = {x ∈ X; g(x) ≧ 0}
α ＞ 0 のとき {x ∈ X; g(x) ≧ α} は Supp(f) に含まれる閉集合だから
コンパクトである。従って、X の閉集合である。
よって f は可測(実は上半連続)である。
f は有界だから可積分である。
証明終
0058Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 09:46:17それを言うなら、より簡単な (a) ⇒ (b) もルーチンだが Bourbaki は
これについては証明を省いてはいない。
0059Kummer ◆sJh8mwqDUo
2008/06/29(日) 10:01:550060Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 10:23:42A ∩ L の X における閉包は A に含まれるとは限らないですが。
0061Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 10:26:22因みに紛らわしいんで Kummer のハンドル名は使わないでください。
0062Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 10:33:03X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)
とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
f ∈ K(Y, C) のとき f' を Y において f に一致し、
X - Y で 0 となる X 上の関数とする。
>>57より、f' は μ可積分である。
このとき、f → ∫f' dμ は Y 上の複素Radon測度である。
証明
K を Y に含まれるコンパクト集合とする。
f ∈ K(Y, K, C) (過去スレ009の662) のとき、
N_b(f) = sup{|f(x)|; x ∈ Y} とおく。
過去スレ010の322より、|∫f' dμ| ≦ ∫|f'| d|μ|
∫|f'| d|μ| = ∫|f'|χ_K d|μ| ≦ N_b(f)|μ|(K)
よって、過去スレ009の705より、f → ∫f' dμ は Y 上の複素Radon測度である。
証明終
0063Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 10:39:29X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)
とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
f ∈ K(Y, C) のとき f' を Y において f に一致し、
X - Y で 0 となる X 上の関数とする。
>>62より、f → ∫f' dμ は Y 上の複素Radon測度である。
これを、μ による Y への導入測度、または μ の Y への制限と呼び
μ_Y または μ|Y と書く。
0064Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 13:21:42X を局所コンパクト空間とし、Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
f ∈ K(Y, C) (過去スレ009の662)に対して g を Y において f に一致し、
X - Y で 0 となる X 上の関数とする。
g は上半連続関数(過去スレ009の188)である。
証明
>>57の証明より明らかである。
0065Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/29(日) 13:25:20X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
K を X のコンパクトな部分集合とする。
K の任意のコンパクト部分集合 H に対して μ_K(H) = μ(H) である。
ここで、μ_K は μ の K への制限(>>63)である。
証明
空間 K における H の特性関数を f とする。
過去スレ008の199より、
f = inf { g ∈ K+(K, R) | f ≦ g } である。
過去スレ008の200より、
μ_K(H) = ∫ f dμ_K = inf { ∫ g dμ_K; g ∈ K+(K, R), f ≦ g } である。
g ∈ K+(K, R) に対して K では g に等しく X - K では 0 に等しい関数を
e(g) と書くことにする。
χ_H を H の X における特性関数とする。
χ_H = inf { e(g); g ∈ K+(K, R), f ≦ g } である。
>>64より、g ∈ K+(K, R) のとき e(g) は上半連続関数であるから、
過去スレ008の200より、
μ(H) = inf { ∫ e(g) dμ; g ∈ K+(K, R), f ≦ g }
この右辺は上で述べたことより μ_K(H) である。
証明終
0066Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 07:14:06命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
K を X の局所コンパクトな部分集合とする。
K の任意のコンパクト部分集合 H に対して μ_K(H) = μ(H) である。
ここで、μ_K は μ の K への制限(>>63)である。
証明
>>65の証明とまったく同じである。
0067１３２人目の素数さん
2008/06/30(月) 13:27:23元はと言えばβ（＝king様の弟子◆/LAmYLH4jg）ごときの人間が
名無しで書き込んだ『10スレしか見れないのにageんな』の釣りレスに
荒らし好きがノッてこのスレが汚辱され始まった訳だが
弟子なんかに釣られた荒らし、ワロスのを通り越して大いに哀れ
0068Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 18:44:45>過去スレ008の200より、
>μ_K(H) = ∫ f dμ_K = inf { ∫ g dμ_K; g ∈ K+(K, R), f ≦ g } である。
これは過去スレ008の200よりというより、過去スレ010の289よりといった
ほうがよかった。
この等式は我々の立場(Bourbakiとはやや異なる)では定義である。
0069Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 19:56:18とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
νをμの Y への制限(>>63)とする。
過去スレ008の230より、
A ⊂ Y が ν-可測であるためには A が μ-可測であることが
必要十分である。
過去スレ008の232より、
A ⊂ Y が ν-可測で X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら、
ν(A) = μ(A) である。
0070Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 19:59:21とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
過去スレ008の204では、μ|Y を>>63とは違った意味で定義している。
今後は、μ|Y を>>63の意味で使うことにする。
0071Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 20:06:53>X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)
>とする。
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
0072Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 20:14:42昔、証明していたことを忘れていた(ありがちｗ)。
0073Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 21:03:05X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
S = Supp(μ) をμの台(過去スレ009の118)とする。
S は X の閉集合だから局所コンパクトである。
μ_S をμの Y への制限(>>63)とする。
S が X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら、
Supp(μ_S) = S である。
証明
U を X の開集合で U ∩ S ≠ φ とする。
μ(U ∩ S) ≠ 0 である。
>>69より μ_S(U ∩ S) = μ(U ∩ S) であるから
μ_S(U ∩ S) ≠ 0 である。
よって、Supp(μ_S) = S である。
証明終
0074Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 21:46:22H を実数の空でない部分集合で、H の各元 α ＞ 0 とする。
H の有限和全体が有界なら H は可算集合である。
証明
Φを H の空でない有限部分集合全体とする。
I ∈ Φ のとき I の元の和を s_I と書く。
仮定より s = sup{s_I; I ∈ Φ} は有限である。
任意の整数 n ＞ 0 に対して s - 1/n ＜ s_I ≦ s となる I ∈ Φ が
存在する。
α ∈ H - I なら s - 1/n ＜ s_I + α ≦ s である。
従って α ≦ s - s_I ＜ 1/n
即ち H_n = {β ∈ H; β ≧ 1/n} は有限集合である。
H = ∪H_n, n = 1, 2, ... であるから H は可算集合である。
証明終
0075Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 22:35:02X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
μ_Y をμの Y への制限(>>63)とする。
S = Supp(μ_Y) を μ_Y の台(過去スレ009の118)とする。
S は Y の閉集合だから局所コンパクトである。
μ_S をμの S への制限(>>63)とする。
S が X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら、
Supp(μ_S) = S である。
証明
U を Y の開集合で U ∩ S ≠ φ とする。
μ_Y(U ∩ S) ≠ 0 である。
>>69より μ_Y(U ∩ S) = μ(U ∩ S) であるから
μ(U ∩ S) ≠ 0 である。
再び>>69より μ_S(U ∩ S) = μ(U ∩ S) であるから
μ_S(U ∩ S) ≠ 0 である。
S の空でない開集合はすべて U ∩ S の形であるから
Supp(μ_S) = S である。
証明終
0076Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 22:46:37X を位相空間とし、Φ を X の部分集合の集合とする。
X の各点 x に対して x の近傍 V で V と交わる Φ の元全体が可算となる
ものが存在するとき Φ を局所可算と言う。
0077Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 23:19:13X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)
とする。
X のμ可測な部分集合からなる局所可算(>>76)な集合Φの合併はμ可測である。
証明
X の任意のコンパクト集合 K に対して K と交わる Φ の要素全体は
可算である。従って K ∩ (∪{A; A ∈ Φ}) はμ可測である。
過去スレ008の64と65より ∪{A; A ∈ Φ} はμ可測である。
証明終
0078Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/06/30(月) 23:45:59X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
A を X のμ可測な部分集合とし、Φ を A のコンパクト部分集合の集合で
μ密(>>48)とする。
互いに交わらない部分集合からなる局所可算な Ψ ⊂ Φ で
A - ∪{K; K ∈ Ψ} は局所零集合となり、
すべての K ∈ Ψ に対して Supp(μ_K) = K となるものが存在する。
証明
互いに交わらない部分集合からなる集合 Ω ⊂ Φ で、
すべての K ∈ Ω に対して Supp(μ_K) = K となるもの全体を考える。
Zornの補題よりこれらの中で極大なもの Ψ が存在する。
Ψ が求めるものであることを証明する。
X の任意の点 x に対して V を x のコンパクトな近傍とする。
K_1, K_2, ..., K_n を V と交わる互いに異なる集合で Ψ の要素とする。
Σμ(K_i ∩ V) ≦ μ(V) ＜ +∞ であるから>>74より Ψ は局所可算である。
次に N = A - ∪{K; K ∈ Ψ} が局所零集合であることを示す。
N が局所零集合でないとする。>>77より N はμ可測である。
従って、X のコンパクト集合 L で μ(L ∩ N) ＞ 0 となるものが存在する。
過去スレ008の73より L ∩ N は内正則であるから
コンパクト集合 K_0 ⊂ N で μ(K_0) ＞ 0 となるものが存在する。
Φ はμ密だから K ⊂ K_0 で μ(K) ＞ 0 となる K ∈ Φ が存在する。
>>69より μ_K(K) = μ(K)
よって μ_K ≠ 0
よって S = Supp(μ_K) は K に含まれる空でない閉集合で Φ に属す。
>>75より S = Supp(μ_S)
これは Ψ の極大性に反する。
証明終
0079Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/01(火) 07:28:48>>78
>X の任意の点 x に対して V を x のコンパクトな近傍とする。
X の任意の点 x に対して V を x の開近傍でその閉包がコンパクトなものとする。
>Σμ(K_i ∩ V) ≦ μ(V) ＜ +∞ であるから>>74より Ψ は局所可算である。
K ∈ Ψ で K ∩ V ≠ φ とする。
Supp(μ_K) = K であるから μ_K(K ∩ V) ＞ 0 である。
>>69より μ_K(K ∩ V) = μ(K ∩ V)
従って、各 i に対して μ(K_i ∩ V) ＞ 0
Σμ(K_i ∩ V) ≦ μ(V) ＜ +∞ であるから>>74より Ψ は局所可算である。
0080Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/06(日) 22:21:25X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
さらに ψ は S = Supp(μ) 上で連続であるとする。
ν = ψμ とおく。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
f : X → [0, ∞] を X 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
このとき、
∫ f dν = ∫ fψ dμ
証明
Φ = {g; 0 ≦ g ≦ f, g ∈ K(X, R)} とおく。
f = sup {g; g ∈ Φ } だから、fψ = sup {gψ; g ∈ Φ } である。
g ∈ Φ に対して、S では gψ と一致し、 X - S では +∞ となる関数を
h_g と書き、h~ = sup {h_g; g ∈ Φ } とおく。
μ(X - S) = 0 だから h_g = gψ (μ-a.e.) である。
S は閉集合だから h_g は下半連続であり、従って h~ も下半連続である。
Φ は上向きの有向集合(過去スレ008の140)だから
過去スレ008の144より、
∫ h~ dμ = sup {∫ h_g dμ; g ∈ Φ } = sup {∫ gψ dμ; g ∈ Φ }
= sup {∫ g dν; g ∈ Φ } = ∫ f dν
S 上では fψ = h~ であるから ∫ fψ dμ = ∫ h~ dμ
従って ∫ f dν = ∫ fψ dμ
証明終
0081Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/06(日) 23:31:43X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族とする。
ここで I は任意濃度の集合である。
任意の f ∈ K+(X, R) に対して Σμ_i(f) ＜ +∞ のとき
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度の総和可能族と言う。
このとき、明らかに f → Σμ_i(f) は X 上の正値Radon測度である。
この正値Radon測度を (μ_i), i ∈ I の和と呼び Σμ_i と書く。
0082Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/07(月) 08:22:15X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
任意の f ∈ K+(X, R) に対して sup {μ_i(f); i ∈ I} ＜ +∞ のとき
μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在し、
任意の f ∈ K+(X, R) に対して μ(f) = sup {μ_i(f); i ∈ I} となる。
証明
任意の f ∈ K+(X, R) に対して μ(f) = sup {μ_i(f); i ∈ I} とおく。
明らかに、f ∈ K+(X, R) のとき μ(f) ≧ 0 である。
f ∈ K+(X, R), g ∈ K+(X, R) のとき
μ(f) = lim μ_i(f)
μ(g) = lim μ_i(g)
であるから
μ(f + g) = lim μ_i(f + g) = lim μ_i(f) + lim μ_i(g)
= μ(f) + μ(g)
となる。
過去スレ009の755よりμは X 上の正値Radon測度である。
よって μ = sup {μ_i; i ∈ I} である。
証明終
0083Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/08(火) 22:35:24X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν をそれぞれ X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
λ = μ + ν とおく。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、
∫^* f dλ = ∫^* f dμ + ∫^* f dν
ここで、∫^* f dλ は f の λ に関する上積分(過去スレ008の146)である。
証明
h : X → [0, ∞] を X 上の関数で下半連続(過去スレ008の113)とする。
∫ h dλ = sup { ∫ g dμ; 0 ≦ g ≦ h, g ∈ K(X, R)} である。
集合 { g; 0 ≦ g ≦ h, g ∈ K(X, R)} は上向きの有向集合
(過去スレ008の140)だから
∫ h dλ = lim ∫ g dλ = lim (∫ g dμ + ∫ g dν)
= lim ∫ g dμ + lim ∫ g dν = ∫ h dμ + ∫ h dν
∫^* f dλ = inf { ∫ h dλ; f ≦ h, h は下半連続} である。
集合 {h; f ≦ h, h は下半連続} は下向きの有向集合だから
上の結果より、
∫^* f dλ = lim ∫ h dλ = lim (∫ h dμ + ∫ h dν)
= lim ∫ h dμ + lim ∫ h dν = ∫^* f dμ + ∫^* f dν
証明終
0084Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/09(水) 23:41:17X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
関数 f : X → [0, ∞] に対して
ある g ∈ K+(X, R) があり、f ≦ g とする。
このとき、
∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明
>>82 より、f ∈ K+(X, R) のときは、
∫ g dμ = sup {∫ g d(μ_i); i ∈ I} である。
よって、任意の ε＞ 0 に対して μ(g) - ε ≦ μ_i(g) となる
i ∈ I がある。
λ = μ - μ_i とおく。
λ ≧ 0 であるから、∫^* f dλ ≦ ∫^* g dλ
μ = λ + μ_i であるから>>83より、
∫^* f dμ = ∫^* f dλ + ∫^* f d(μ_i)
f はあるコンパクト集合の外で 0 であるから
∫^e f dμ = ∫^e f dλ + ∫^e f d(μ_i)
よって、∫^e f dμ - ∫^e f d(μ_i) ≦ ∫ g dμ - ∫ g d(μ_i) ≦ ε
よって、∫^e f dμ - ε ≦ ∫^e f d(μ_i) ≦ sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
よって、∫^e f dμ ≦ sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
逆の不等号は明らかである。
証明終
0085Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/10(木) 00:02:36X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
関数 f : X → [0, ∞] に対して、X のコンパクト集合 K があり、
f は K の外で 0 になるとする。
このとき、
∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明
各整数 n ≧ 1 に対して f_n = inf(f, n) とおく。
過去スレ010の490より、
∫^e f dμ = sup {∫^e f_n dμ; n = 1, 2, ...}
>>84より、
sup {∫^e f_n dμ; n = 1, 2, ...}
= sup {sup {∫^e f_n d(μ_i); i ∈ I}; n = 1, 2, ...}
= sup {sup {∫^e f_n d(μ_i); n = 1, 2, ...}; i ∈ I}
= sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I}
証明終
0086Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/10(木) 00:21:41X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
このとき、任意の関数 f : X → [0, ∞] に対して
∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I }
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明
X こコンパクト集合全体をΦとする。
∫^e f dμ の定義より、
∫^e f dμ = sup{∫^* fχ_K dμ; K ∈ Φ}
>>85 より、
sup{∫^* fχ_K dμ; K ∈ Φ}
= sup{sup{∫^* fχ_K d(μ_i); i ∈ I}; K ∈ Φ}
= sup{sup{∫^* fχ_K d(μ_i); K ∈ Φ}; i ∈ I }
= sup{∫^e f d(μ_i); i ∈ I }
証明終
0087Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/12(土) 05:41:58X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν をそれぞれ X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
λ = μ + ν とおく。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、
∫^e f dλ = ∫^e f dμ + ∫^e f dν
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)である。
証明
>>83より明らかである。
0088Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/12(土) 10:41:42X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、
∫^e f dμ = Σ∫^e f d(μ_i)
である。
証明
I の空でない有限部分集合全体をΦとする。
Φは包含関係で上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。
J ∈ Φ に対して λ_J = Σμ_i, i ∈ J とおく。
>>82 よりμ = sup {λ_J; J ∈ Φ} である。
>>86より
∫^e f dμ = sup {∫^e f d(λ_J); J ∈ Φ } である。
>>87より
J ∈ Φ のとき ∫^e f d(λ_J) = Σ∫^e f (μ_i), i ∈ J
よって、
∫^e f dμ = sup {Σ∫^e f (μ_i); i ∈ J, J ∈ Φ }
= Σ∫^e f d(μ_i)
証明終
0089Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/12(土) 11:35:28X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
Φ を X のコンパクト部分集合の集合でμ密(>>48)とする。
μがσ-有限(過去スレ010の464)のとき、
Φ の互いに交わらない部分集合からなる可算な部分集合 Ψ ⊂ Φ があり、
X - ∪{K; K ∈ Ψ} は局所零集合となる。
証明
>>78より、Φ の互いに交わらない部分集合からなる局所可算な
Ψ ⊂ Φ があり、X - ∪{K; K ∈ Ψ} は局所零集合となる。
μはσ-有限だから、X = ∪L_n, n = 1, 2, ... となる
コンパクト集合の列 (L_n) がある。
各整数 n ＞ 0 に対して L_n と交わる Ψ の元全体を Ψ_n とする。
Ψ = ∪Ψ_n, n = 1, 2, ... である。
Ψ は局所可算であるから、各 Ψ_n は可算である。
従って Ψ も可算である。
証明終
0090Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/12(土) 14:28:13X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)
とする。
Φ を X のコンパクト部分集合の集合でμ密(>>48)とする。
このとき、X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の総和可能族(>>81)
(μ_i), i ∈ I が存在し、μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
さらに、μがσ-有限(過去スレ010の464)のときは、I は可算にとれる。
証明
>>78より、Φ の互いに交わらない部分集合からなる局所可算な族
(K_i), i ∈ I があり、N = X - ∪{K_i; i ∈ I} は局所零集合となる。
>>89より、μがσ-有限のときは、I は可算にとれる。
i ∈ I のとき、f ∈ K(X, R) に対して μ_i(f) = ∫ fχ_(K_i) dμ とおく。
ここで χ_(K_i) は K_i の X における特性関数である。
μ_i は X 上の正値Radon測度で Supp(μ_i) ⊂ K_i である。
K_i ∈ Φ で Φ はμ密だから Supp(μ_i) ∈ Φ である。
f ∈ K(X, R) に対して S = Supp(f),
J = { i ∈ I; S ∩ K_i ≠ φ} とおく。
(K_i), i ∈ I は局所可算な族であるから J は可算である。
N ∩ S は μ-零集合だから、S = ∪(S∩K_j), j ∈ J (μ-a.e.)
従って χ_S = Σχ_(S∩K_j), j ∈ J (μ-a.e.)
μ(f) = ∫fχ_S = Σ∫fχ_(S∩K_j), j ∈ J
= Σ∫fχ_(K_j), j ∈ J
= Σ∫fχ_(K_i), i ∈ I
= Σμ_i(f), i ∈ I
よって μ = Σμ_i である。
証明終
0091Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 12:19:00X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
X の部分集合 N がμ-局所零集合(過去スレ008の58)であるためには、
すべての i ∈ I に対して (μ_i)-局所零集合であることが必要十分である。
証明
f を N の特性関数とする。
>>86 より
∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I }
過去スレ010の484と485より
∫^e f dμ = 0 と f = 0 (μ-局所 a.e.) は同値である。
同様に
∫^e f d(μ_i) = 0 と f = 0 ((μ_i)-局所 a.e.) は同値である。
これから本命題はただちに得られる。
証明終
0092Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 12:45:58X を局所コンパクト空間とする。
λ と μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) で
λ ≦ μ とする。
N を X の部分集合で μ-零集合とする。
N はλ-零集合でもある。
証明
ν = μ - λ とおく。
νは X 上の正値Radon測度である。
μ = λ + ν である。
f を N の特性関数とする。
>>83より、
∫^* f dμ = ∫^* f dλ + ∫^* f dν
過去スレ008の152より、∫^* f dμ = μ^*(N) = 0 である。
従って ∫^* f dλ = 0 である。
再び過去スレ008の152より、f はλ-零集合である。
証明終
0093Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 12:47:32>>92
>再び過去スレ008の152より、f はλ-零集合である。
再び過去スレ008の152より、N はλ-零集合である。
0094Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 12:50:27X を局所コンパクト空間とする。
λ と μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) で
λ ≦ μ とする。
f : X → F を X から位相空間 F への写像とする。
f が μ-可測なら λ-可測でもある。
証明
過去スレ008の178より、
f がμ-可測なら、K を任意のコンパクト集合としたとき、
μ-零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。
>>92 より N はλ-零集合である。
過去スレ008の179より、f はλ-可測である。
証明終
0095Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 13:28:41X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
f : X → F を X から位相空間 F への写像とする。
f が μ-可測であるためには、
すべての i ∈ I に対して (μ_i)-可測であることが必要十分である。
証明
必要性は>>94から明らかであるから、十分性のみ証明する。
f がすべての i ∈ I に対して (μ_i)-可測であるとする。
f の K への制限が連続となるようなコンパクト集合 K の全体をΦとする。
過去スレ008の177より、Φ がμ密(>>48)であることを証明すればよい。
N を X の部分集合ですべての K ∈ Φ に対して
μ^*(N ∩ K) = 0 とする。
>>92より、任意の i ∈ I に対して (μ_i)^*(N ∩ K) = 0 である。
f は(μ_i)-可測だから、Φは (μ_i)密である。
従って、>>50の (c) より N は (μ_i)-局所零集合である。
従って f を N の特性関数とすると、∫^e f d(μ_i) = 0 である。
>>86より、
∫^e f dμ = sup {∫^e f d(μ_i); i ∈ I } = 0
従って N はμ-局所零集合である。
再び>>50の (c) よりΦはμ密である。
証明終
0096Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 19:33:06X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
関数 g : X → [0, ∞] がμ-局所可積分(過去スレ010の504)であるためには
各 i ∈ I に対して g が (μ_i)-局所可積分であり、
sup{gμ_i; i ∈ I} が存在することが必要十分である。
さらに、このとき gμ = sup{g(μ_i); i ∈ I} となる。
証明
必要性：g が μ-局所可積分であるとする。
各 i ∈ I に対して μ_i ≦ μ であるから >>94 より g は(μ_i)-可測である。
>>83 より任意の f ∈ K+(X, R) に対して
∫ gf d(μ_i) ≦ ∫ gf dμ ＜ +∞
従って過去スレ010の507より g は(μ_i)-局所可積分である。
上式より ∫ f d(gμ_i) ≦ ∫ f d(gμ) であるから gμ_i ≦ gμ である。
よって、>>82より sup{gμ_i; i ∈ I} が存在する。
十分性：各 i ∈ I に対して g が (μ_i)-局所可積分であり、
λ = sup{gμ_i; i ∈ I} が存在するとする。
>>95より、g は μ-可測である。
>>86より、任意の f ∈ K+(X, R) に対して
∫ gf dμ = ∫^e gf dμ = sup {∫^e gf d(μ_i); i ∈ I }
= sup {∫^e f d(gμ_i); i ∈ I }
= ∫^e f dλ = ∫ f dλ ＜ +∞
よって、過去スレ010の507より g はμ-局所可積分である。
よって、上の等式から ∫ f d(gμ) = ∫ f dλ
よって、gμ = λ
証明終
0097Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/13(日) 22:48:14X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν をそれぞれ X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
λ = μ + ν とおく。
g : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
g がλ-局所可積分(過去スレ010の504)であるためには
g がμ-局所可積分かつν-局所可積分であることが必要十分である。
さらに、このとき gλ = gμ + gν となる。
証明
必要性：g がλ-局所可積分であるとする。
μ ≦ λ, ν ≦ λ であるから>>94より g はμ-可測かつν-可測である。
>>83より、f ∈ K+(X, R) のとき
∫ gf dλ = ∫ gf dμ + ∫ gf dν ＜ +∞
従って過去スレ010の507より g はμ-局所可積分かつν-局所可積分である。
十分性：g がμ-局所可積分かつν-局所可積分であるとする。
過去スレ008の177より、
X の任意のコンパクト集合 L と任意の ε ＞ 0 に対して K_1 ⊂ L, K_2 ⊂ L
μ(L - K_1) ＜ ε, ν(L - K_2) ＜ ε となるコンパクト集合 K_1, K_2 が
存在し、g は K_1 および K_2 で連続となる。
K = K_1 ∪ K_2 とおけば、K はコンパクトで
μ(L - K) ＜ ε, ν(L - K) ＜ ε となり、g は K で連続となる。
>>83より λ(L - K) = μ(L - K) + ν(L - K) ＜ 2ε
よって、過去スレ008の177より、g は λ-可測である。
>>83より、任意の f ∈ K+(X, R) に対して、
∫gf dλ = ∫ gf dμ + ∫ gf dν ＜ +∞ である。
よって、過去スレ010の507より g はλ-局所可積分である。
上式より、∫f d(gλ) = ∫ f d(gμ) + ∫ f d(gν) である。
よって、gλ = gμ + gν となる。
証明終
0098１３２人目の素数さん
2008/07/14(月) 11:43:130099Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/14(月) 19:53:39X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族とする。
ここで I は任意濃度の集合である。
i ∈ I のとき S_i = {x ∈ X; f_i(x) ≠ 0} とおく。
族 (S_i), i ∈ I が局所可算(>>76)なとき、
族 (μ_i), i ∈ I を局所可算という。
0100１３２人目の素数さん
2008/07/14(月) 20:48:410101１３２人目の素数さん
2008/07/14(月) 20:50:5901021stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/07/14(月) 22:06:180103Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/14(月) 22:15:49X を局所コンパクト空間とする。
f : X → [-∞, +∞] を可測関数とする。
g : X → [-∞, +∞] を次のように定義する。
f(x) = 0 のとき g(x) = +∞
f(x) = +∞ のとき g(x) = 0
f(x) = -∞ のとき g(x) = 0
f(x) が上記以外のとき g(x) = 1/f(x)
このとき g は可測である。
証明
関数 h : [-∞, +∞] → [-∞, +∞] を次のように定義する。
h(0) = +∞
h(+∞) = 0
h(-∞) = 0
x が上記以外のとき h(x) = 1/x
h は明らかに連続である。
g = hf であるから g は可測である。
証明終
0104Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/14(月) 22:21:03次のように修正する。
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [-∞, +∞] をμ-可測関数とする。
g : X → [-∞, +∞] を次のように定義する。
f(x) = 0 のとき g(x) = +∞
f(x) = +∞ のとき g(x) = 0
f(x) = -∞ のとき g(x) = 0
f(x) が上記以外のとき g(x) = 1/f(x)
このとき g はμ-可測である。
証明
関数 h : [-∞, +∞] → [-∞, +∞] を次のように定義する。
h(0) = +∞
h(+∞) = 0
h(-∞) = 0
x が上記以外のとき h(x) = 1/x
h は明らかに連続である。
g = hf であるから g はμ-可測である。
証明終
0105Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/14(月) 22:43:40X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, +∞]
g : X → [0, +∞]
h : X → [0, +∞]
において g と h はμ-可測とする。
このとき
∫^* f(g + h) dμ = ∫^* fg dμ + ∫^* fh dμ
証明
規約より 0(+∞) = 0 であるから f(g + h) = fg + fh である。
過去スレ008の149より
∫^* f(g + h) dμ ≦ ∫^* fg dμ + ∫^* fh dμ
逆向きの不等式を証明する。
u : X → [0, +∞] を u ≧ f(g + h) となる下半連続関数とする。
v = u/(g + h) とおく。ただし g(x) + h(x) = 0 のときは v(x) = +∞ とする。
>>104 より v はμ-可測である。
v ≧ f であるから
∫^* fg dμ + ∫^* fh dμ ≦ ∫ vg dμ + ∫ vh dμ
= ∫ v(g + h) dμ ≦ ∫ u dμ
よって
∫^* fg dμ + ∫^* fh dμ ≦ ∫^* f(g + h) dμ
証明終
0106Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/14(月) 22:52:05X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, +∞]
g : X → [0, +∞]
h : X → [0, +∞]
において g と h はμ-可測とする。
このとき
∫^e f(g + h) dμ = ∫^e fg dμ + ∫^e fh dμ
証明
>>105より明らかである。
0107Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/14(月) 22:56:57X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, +∞] を任意の関数。
g_n : X → [0, +∞], n = 1, 2, ... をμ-可測関数の列とする。
∫^e f(Σg_n) dμ = Σ∫^e fg_n dμ
証明
>>106と過去スレ010の490より明らかである。
0108１３２人目の素数さん
2008/07/15(火) 02:01:00氏ね
01091stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/07/15(火) 23:02:260110１３２人目の素数さん
2008/07/16(水) 01:34:28氏ね
0111Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/16(水) 04:33:32次のように修正する。
命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, +∞] をμ-可測関数とする。
g : X → [0, +∞] を次のように定義する。
f(x) = 0 のとき g(x) = +∞
f(x) = +∞ のとき g(x) = 0
f(x) が上記以外のとき g(x) = 1/f(x)
このとき g はμ-可測である。
証明
関数 h : [0, +∞] → [0, +∞] を次のように定義する。
h(0) = +∞
h(+∞) = 0
x が 0 でも +∞でもないとき h(x) = 1/x
h は明らかに連続である。
g = hf であるから g はμ-可測である。
証明終
0113１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 01:57:30だが確かKummer氏は適当に弄って欲しがっていた筈…
0114Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/07/29(火) 21:44:36次のように修正する。
定義
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
(f_i), i ∈ I を X 上のμ-可測な正値関数の族とする。
ここで I は任意濃度の集合である。
i ∈ I のとき S_i = {x ∈ X; f_i(x) ≠ 0} とおく。
族 (S_i), i ∈ I が局所可算(>>76)なとき、
族 (f_i), i ∈ I を局所可算という。
0115１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 22:34:26>だが確かKummer氏は適当に弄って欲しがっていた筈…
そう、そのような事を以前書いていた
だから無視することに決めた
>>37は関係無い
0116Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/08/21(木) 21:44:250117１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 02:45:480118１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 06:15:050119Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/08/23(土) 11:11:32μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
A を X のμ-可測な集合とする。
f を A から位相空間 F への写像とする。
t_0 ∈ F を F の任意に選んだ点とする。
g : X → F を x ∈ X - A のとき g(x) = t_0
x ∈ A のとき g(x) = f(x) で定義する。
g がμ-可測なとき f をμ-可測という。
0120１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 11:41:080121KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/08/23(土) 12:48:110122Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/08/24(日) 11:33:49μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
A を X のμ-可測な集合とする。
f を A から位相空間 F への写像とする。
Φ = { K ; K は A のコンパクト集合で f の K への制限は連続 } とおく。
f がμ-可測(>>119)であるためには Φが A においてμ密(>>48)である
ことが必要十分である。
証明
条件が必要なことは可測写像の定義(過去スレ010の292)より明らかである。
十分性：
Φが A においてμ密であるとする。
t_0 ∈ F を F の任意に選んだ点とする。
g : X → F を x ∈ X - A のとき g(x) = t_0
x ∈ A のとき g(x) = f(x) で定義する。
g がμ-可測であることを示せばよい。
L を X の任意のコンパクト集合とする。
L ∩ A と L - A はμ-可測で |μ|(L ∩ A) ＜ +∞, |μ|(L - A) ＜ +∞
である。
過去スレ008の30より L ∩ A と L - A は |μ| に関して内正則である。
即ち任意の ε ＞ 0 に対してコンパクト集合 P ⊂ L ∩ A と Q ⊂ L - A
が存在し、|μ|(L ∩ A - P) ＜ ε/4, |μ|((L - A) - Q) ＜ ε/4
となる。
仮定より Φ は A においてμ密であるから H ⊂ P となる H ∈ Φ
が存在し、|μ|(P - H) ＜ ε/2 となる。
g の Q への制限は定数であり連続である。
従って g のコンパクト集合 K = H ∪ Q への制限も連続である。
((L ∩ A) - H) = ((L ∩ A) - P) ∪ (P - H) |μ|((L ∩ A) - H) ＜ 3ε/4
よって、|μ|(L - K) = |μ|((L ∩ A) - H) + |μ|((L - A) - Q) ＜ ε
証明終
0123Kummer ◆g2BU0D6YN2
2008/08/24(日) 13:31:34μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
Φ を X のμ-可測な部分集合からなる局所可算(>>76)な集合とする。
B = ∪{A ; A ∈ Φ} とする。
>>77より B はμ-可測である。
f を B から位相空間 F への写像とする。
f の各 A ∈ Φ への制限がμ-可測(>>119)なら f はμ-可測である。
証明
K ⊂ B をコンパクト集合とする。
K と交わる Φ の要素全体は可算である。
従って Φ の要素の列 A_n, n = 1, 2, ... が存在し、
K ⊂ ∪A_n, n = 1, 2, ... となる。
C_1 = K ∩ A_1
n ＞ 1 のとき C_n = (K ∩ A_n) - (C_1 ∪... ∪C_(n-1)) とおく。
C_n はμ-可測であり K = ∪C_n は K の直和分割である。
f|C_n はμ-可測であるから>>122より
Ψ_n = { K ; K は C_n のコンパクト集合で f の K への制限は連続 } は
C_n においてμ密(>>48)である。
>>50の(b)より(C_n はコンパクトでないが測度有限だからコンパクト集合で
内側から近似できるから)μ零集合 N_n と
Ψ_nに含まれるコンパクト集合の列 (K_nm), m = 1, 2,... があり、
C_n = N_n ∪ K_n1 ∪ K_n2 ∪ ... となる。
ここで、i ≠ j のとき K_ni ∩ K_nj = φ
K = ∪N_n ∪K_nm であり、∪N_n はμ零集合である。
よって>>50の(b)より
Ψ = { L ; L は B のコンパクト集合で f の L への制限は連続 } は
B においてμ密(>>48)である。
>>122より f はμ-可測である。
証明終
0124１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 09:12:030125１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 17:13:26無限ではなく、最後の数があると仮定した数学はあるのでしょうか。
代数が一番近いと思ったのでここで質問しました。
0126KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/09/29(月) 17:16:060127１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 20:43:34う～んと・・・。
1の場合は、1＞0 で1より小さい数字は1個。
2の場合は、2＞1と2＞0で、2より小さいのは2個。
0の場合は、0＞ 、0より小さい数がない。
不等号を逆さまにすると、
1の場合は、1＜2、1＜3、1＜4…、と1より大きい数は無限にある。
2の場合は、2＜3、2＜4、2＜5…、と2より大きい数は無限にある。
1と2は、自身より大きい数は無限にあるのは同じだけど、
自身より小さい数は有限であり違う、どうして違うのかな～と思ったのが一つと。
最後の数(m)の場合は、m＞1、m＞2…、とmより小さい数の個数は無限にある。
逆にmより大きい数の個数を考えてみた場合、0個なのか、1個なのか、どっちかなと思った。
最後の数の反対は最初の数であり、その場合の最初の数は1か0か、どっちだろう。
そして任意の自然数Nを中間に置く。
するとNより大きい数は無限にあり、Nより小さい数も無限にある。
けれどNを表記すると、Nより小さい数は有限になりNより大きい数は無限になる。
だったら逆にNを表記すると、大きい数は有限になり小さい数は無限にできないかなと。
つまり0と1ではなくmを基軸にすることで、逆に0と1の方が変化する数学。
そんな感じのありますか？
0128１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 20:34:470129１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 19:14:570130１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:50:020131１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:50:320132１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:51:050133１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:51:350134１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:52:080135１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:52:380136１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 11:53:110137１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 01:45:130138１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:14:110139１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:14:410140１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:15:120141１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:16:120142１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:16:450143１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:17:200144１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:18:030145１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 03:54:00それで催促してるつもりか。
お前が一文字書くたびに遅れるからな。
0146１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 09:20:350147１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:00:150148１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:00:450149１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:01:150150１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:01:450151１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:02:150152１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:02:480153１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:03:180154１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 00:22:430155１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 00:23:140156１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 00:23:530157１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 00:24:230158１３２人目の素数さん
2008/10/24(金) 00:24:550159１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 08:24:180160１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 03:51:15「謝るくらいならやんなきゃいいのに｣
と同類のバカ発言だな
0161１３２人目の素数さん
2008/12/27(土) 12:18:470162１３２人目の素数さん
2009/01/03(土) 23:59:420163１３２人目の素数さん
2009/01/04(日) 01:59:350164１３２人目の素数さん
2009/01/04(日) 21:58:410165１３２人目の素数さん
2009/01/05(月) 00:01:12p進と並行してやる分にはいいんじゃないの
0166１３２人目の素数さん
2009/01/05(月) 19:25:280167１３２人目の素数さん
2009/01/05(月) 19:50:130168１３２人目の素数さん
2009/01/05(月) 20:00:43イエスなら整数論のどこにどうきいてくるのか明確に述べてくれ
知らないんならひっこんでてくれ
0169１３２人目の素数さん
2009/01/05(月) 20:28:35お受験予備校どっぷり効率万能主義
0170１３２人目の素数さん
2009/01/05(月) 21:22:330171１３２人目の素数さん
2009/01/29(木) 07:33:180172１３２人目の素数さん
2009/02/22(日) 22:37:320173１３２人目の素数さん
2009/02/23(月) 00:03:060174１３２人目の素数さん
2009/02/23(月) 00:04:050175１３２人目の素数さん
2009/03/08(日) 12:47:460176１３２人目の素数さん
2009/03/12(木) 08:41:370177１３２人目の素数さん
2009/04/07(火) 03:58:090178１３２人目の素数さん
2009/05/08(金) 15:31:020179１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 21:44:29pが素数のとき a^p -a ≡ 0, (mod p)
〔系〕
pが素数で、gcd(a,p)=1 のとき a^(p-1) -1 ≡ 0, (mod p)
(略証)
aについての帰納法による。
・a=1 のとき、明らか。
・a^p -a ≡0 とする。
1≦k≦p-1 ⇒ p | Ｃ[p,k] より
(a+1)^p -(a+1) = a^p -a + Σ[k=1,p-1] Ｃ[p,k] a^k ≡ 0, (mod p)
http://mathworld.wolfram.com/FermatsLittleTheorem.html
0180１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 21:51:24gcd(a,n)=1 ⇒ a^φ(n) -1 ≡ 0, (mod n)
φ(n) はnの剰余類の正則元の数。（Eulerのtotient函数とか云うらしい･･･）
(略証)
nの剰余類 Ｚ/(n) のうち、gcd(x,n)=1 となるx（正則元）全体の集合を考える。
{x|gcd(x,n)=1, x∈Ｚ/(n)} = G,
Gは乗法について閉じている。
∴ Gは乗法群をなす。 [Ｚ/(n)]† とも書くらしいが･･･
a∈G, a≠1, aの位数をrとする。
位数rの巡回群{1,a,a^2,････,a^(r-1)} = H はGの部分群となる。
ラグランジュの定理（ #H | #G ）から、
r | φ(n),
a^φ(n) ≡ 1^{φ(n)/r} = 1, (mod n) (終)
http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html
0181１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 22:34:11∀x; x^n -x ≡ 0, (mod n)
ならば、nは素数。
(略証)
背理法による。
(左辺) を f(x) とおく。
f(x+1) - f(x) = (x+1)^n - x^n -1
= Σ[k=1,n-1] Ｃ[n,k] x^k
= Σ[k=1,n-1] (n/k)Ｃ[n-1,k-1] x^k,
nは合成数と仮定したから、nの素因数をpとする。
Ｃ[n-1,p-1] = (n-1)(n-2)････(n-p+1)/(p-1)!,
はpで割り切れないから、x^p の係数はnで割り切れない。
上式は 恒等的に ≡0 (mod n) ではない。
n次式だから高々n個の根しかない。
∃a; f(a+1) - f(a) ≠0, (mod n)
∴ f(a+1)≠0, または f(a)≠0, (終)
0182１３２人目の素数さん
2009/05/09(土) 23:11:21gcd(a,n) =1 ⇒ a^(n-1) ≡ 1, (mod n)
を満たす合成数nが存在する。orz
例
3･11･17=561, 5･13･17＝1105, 7･13･19＝1729, 5･17･29=2465, 7･13･31=2821, など
これを カーマイケル数と呼ぶらしい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_number
http://en.wikipedia.org/wiki/Knö;del_number
nがカーマイケル数となる条件は、
1. nは平方因数をもたない。
2. p|n ⇒ (p-1)|(n-1)
http://d.hatena.ne.jp/smoking186/20081217/1229474226
0183１３２人目の素数さん
2009/05/10(日) 07:20:180184１３２人目の素数さん
2009/05/16(土) 07:59:14やや落ち着いたが今も完全復帰というわけではない。
BourbakiのRadon-Nikodymの定理の証明がわかりにくいんで
それを改良しよう思ってるんだが、億劫になってそこで止まってる。
0185岩沢健吉 ◆ghclfYsc82
2009/05/16(土) 08:19:29まさか昔の話じゃありませんよね
0186１３２人目の素数さん
2009/05/16(土) 08:43:54生きとったかKummer ◆g2BU0D6YN2
0187疑微分作用素 ◆ghclfYsc82
2009/05/16(土) 08:47:450188１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 02:24:15６年前にスウェーデンに移民した16歳のモハメド・アルトゥマイミ君が
「ベルヌーイ数」を説明、単純化する公式をわずか４カ月で発見した。
ウプサラ大学の教授陣がその成果が実際に正しいことを確認したそうだ。
http://www.jiji.com/jc/a?g=afp_sci&k=20090529022448a
0189１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 21:57:16その少年が天才の部類に入るだろうことは別に疑おうとも思わないが
公式自体は既知で、教授陣は正しさを確認しただけだろ。
0190１３２人目の素数さん
2009/05/30(土) 22:53:59新たな公式では無かったのか。そこらをきちっとニュースで書いてくれないとなあ。
0191Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/05(金) 19:09:00X を局所コンパクト空間とする。
F を実数体または複素数体とする。
μを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)で有界(過去スレ010の41)とする。
このとき 1 ≦ p ＜ +∞ である任意の実数 p に対して、
L^p(X, F, μ) ⊂ L^1(X, F, μ) である。
ここで、L^p(X, F, μ) は過去スレ010の304で定義されたもの。
証明
q を p の共役な指数(過去スレ010の578)とする。
μは有界だから X 上で定数 1 をとる関数 1 は L^q(X, F, μ) に含まれる。
よってHoelderの不等式(過去スレ010の584)より、
任意の f ∈ L^p(X, F, μ) に対して N_1(f) ≦ N_p(f)N_q(1) ＜ +∞
よって f ∈ L^1(X, F, μ)
証明終
0192Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/05(金) 19:11:10X を局所コンパクト空間とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
μとνを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の700)とする。
ある実数 M ＞ 0 に対して |ν| ≦ M|μ| とする。
このとき 1 ≦ p ＜ +∞ である任意の実数に対して、
L^p(X, F, μ) ⊂ L^p(X, F, ν) である。
ここで、L^p(X, F, μ), L^p(X, F, ν) は過去スレ010の304で定義されたもの。
証明
任意の f ∈ L^p(X, F, μ) は μ-可測(過去スレ009の292)である。
K を X の任意のコンパクト集合とする。
過去スレ008の177より、任意の ε ＞ 0 に対して K_1 ⊂ K
|μ|(K - K_1) ＜ ε となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。
|ν|(K - K_1) ≦ M|μ|(K - K_1) ＜ Mε であるから過去スレ008の177より、
f はν-可測(過去スレ009の292)である。
∫ |f|^p d|ν| ≦ M∫ |f|^p d|μ| ＜ +∞ であるから
f ∈ L^p(X, F, ν) である。
証明終
0193Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/05(金) 19:14:55X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ν を X 上の実Radon測度(過去スレ009の729)とし、
ある実数 M ＞ 0 に対して |ν| ≦ Mμ とする。
このとき ν = gμ となる可積分な関数 g: X → [0, +∞] が存在する。
ここで gμ はμ と g の積(過去スレ010の588)である。
証明
f を L^2(X, R, μ)(過去スレ010の304)の元とする。
>>192より f ∈ L^2(X, R, ν) である。
νは有界であるから>>191より f ∈ L^1(X, R, ν) である。
|f| と 1 にHoelderの不等式(過去スレ010の584)を適用して、
(∫|f|d|ν|)^2 ≦ (∫|f|^2d|ν|)(∫d|ν|)
一方、過去スレ010の8より |∫fdν|^2 ≦ (∫|f|d|ν|)^2 となる。
また、|ν| ≦ Mμだから
(∫|f|^2d|ν|)(∫d|ν|) ≦ M^2μ(1)∫|f|^2dμ
よって
|∫fdν|^2 ≦ M^2μ(1)∫|f|^2dμ
よって、写像 f → ∫fdν は L^2(X, R, μ) 上の連続な線形形式である。
Rieszの定理(過去スレ011の20)より L^2(X, R, μ) の元 g が存在し、
任意の f ∈ L^2(X, R, μ) に対して ∫fdν = ∫fgdμ となる。
特に任意の f ∈ K(X, R) に対して ∫fdν = ∫fgdμ となる。
よって ν = gμである。
証明終
0194１３２人目の素数さん
2009/06/05(金) 22:01:030195Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/06(土) 12:56:47μを局所コンパクト空間 X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
X のコンパクト部分集合の集合Φが以下の条件を満たすとする。
(1) K ∈ Φ なら K の任意の閉部分集合 L は Φ に属す。
(2) K_1 ∈ Φ, K_2 ∈ Φ なら K_1 ∪ K_2 ∈ Φ
(3) μ(L) ＞ 0 となる任意のコンパクト集合 L は
K ∈ Φ で μ(K) ＞ 0 となるものを含む。
このとき Φは X においてμ密(>>48)である。
証明
L を任意のコンパクト集合とする。
互いに交わらない部分集合からなる集合 Ω ⊂ Φ で、
各 K ∈ Ω が L に含まれ、μ(K) ＞ 0 となるもの全体を考える。
Zornの補題よりこれらの中で極大なもの Ψ が存在する。
K_1, K_2, ..., K_n を Ψ の有限個の元とすると、
Σμ(K_i) ≦ μ(L) ＜ +∞ であるから>>74より Ψ は可算である。
Ψ = {K_1, K_2, ..., K_n, ...} とする。
N = L - (K_1 ∪ K_2 ∪...) とおく。
μ(N) ≦ μ(L) ＜ +∞ である。
よって過去スレ008の107より
μ(N) = sup {μ(K) | K ⊂ N, K はコンパクト } である。
μ(N) ＞ 0 と仮定するとコンパクトな M ⊂ N で
μ(M) ＞ 0 となるものが存在する。
(3) より K ∈ Φ, K ⊂ M で μ(K) ＞ 0 となるものが存在する。
これは Ψ の極大性に矛盾する。
したがって、μ(N) = 0 である。
>>50の(b)よりΦは X においてμ密である。
証明終
0196１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 13:31:37おまえのスレはじゃま
消えろ
0197１３２人目の素数さん
2009/06/06(土) 22:28:57∫ |f|^p d|ν| ≦ M∫ |f|^p d|μ| ＜ +∞が間違いだとすぐに気づかない？
0198Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/06(土) 23:00:25間違ってる理由を教えていただけますか？
0199Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 02:20:26は次の命題からわかる。
0200Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 02:23:09X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、
ν ≦ μ とする。
f を X から [0, +∞] への任意の関数とする。
このとき ∫^* f dν ≦ ∫^* f dμ である。
ここで ∫^* f dν と ∫^* f dμ は f の上積分(過去スレ008の146)である。
証明
任意の h ∈ I+(X) (過去スレ008の119)に対して、
過去スレ008の131より
∫ h dν = sup { ν(g) | g ≦ h, g ∈ K+(X) }
∫ h dμ = sup { μ(g) | g ≦ h, g ∈ K+(X) }
ν ≦ μ であるから任意の g ∈ K+(X) に対して ν(g) ≦ μ(g) となる
(過去スレ009の823)。
よって、∫ h dν ≦ ∫ h dμ
過去スレ008の146より
∫^* f dν = inf{ ∫ h dν | f ≦ h, h ∈ I+(X) }
∫^* f dμ = inf{ ∫ h dμ | f ≦ h, h ∈ I+(X) }
上記から任意の h ∈ I+(X) に対して ∫ h dν ≦ ∫ h dμ となる
よって、∫^* f dν ≦ ∫^* f dμ
証明終
0201Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 03:26:28X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
g を K(X, R) の任意の元とし、U = { x ∈ X | g(x) ≠ 0 } とおく。
K(X, R) の元の列 (g_n), n= 1, 2, ... で以下の条件を満たすものが存在する。
1) Supp(g_n) ⊂ U, n = 1, 2, ...
2) |g_n| ≦ |g|, n = 1, 2, ...
3) g = lim g_n (a.e.)
証明
過去スレ008の56より
μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } である。
U ⊂ Supp(g) で Supp(g) はコンパクトであるから μ(U) ＜ +∞ である。
n を任意の自然数としたとき μ(U) - 1/n ＜ μ(L_n) となる
コンパクトな L_n ⊂ U がある。
K_n = L_1 ∪ ... ∪ L_n とおく。
μ(U) - 1/n ＜ μ(L_n) ≦ μ(K_n) ≦ μ(U) である。
数列 (μ(K_n)), n = 1, 2, ... は単調増大で有界だから収束し、
μ(U) = lim μ(K_n) である。
K_1 ⊂ K_2 ⊂ ... であるから μ(∪K_n) = lim μ(K_n) である。
よって μ(U - ∪K_n) = 0 である。
各 n に対して K_n はコンパクトで K_n ⊂ U だから、
過去スレ007の706より
K(X, R) の元 ψ_n で K_n 上で 1 となり、0 ≦ ψ_n ≦ 1,
Supp(ψ_n) ⊂ U となるものが存在する。
S = ∪K_n, N = U - S とおく。
x ∈ S のとき x ∈ K_m となる m がある。
n ≧ m のとき K_m ⊂ K_n だから x ∈ K_n で ψ_n(x) = 1 である。
よって lim ψ_n(x) = 1 である。
μ(N) = 0 だから 1 = lim ψ_n (a.e.) である。
各 n に対して g_n = gψ_n とおく。
(g_n), n= 1, 2, ... が求めるものである。
証明終
0202Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 04:09:02X を局所コンパクト空間とする。
f を K(X, R) の任意の元とし、U = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
g を K(X, R) の元で Supp(g) ⊂ U とする。
t ∈ U のとき h(t) = g(t)/f(t),
t ∈ X - U のとき h(t) = 0 とおく。
このとき h ∈ K(X, R) である。
証明
V = { x ∈ X | g(x) ≠ 0 } とおく。
t ∈ X - V のとき h(t) = 0 であるから h は X - V で連続である。
t ∈ Supp(g) のとき h(t) = g(t)/f(t) であるから h は Supp(g) で連続である。
X = (X - V) ∪ Supp(g) であり、X - V と Supp(g) はともに閉集合である。
よって h は X で連続である。
Supp(h) = Supp(g) であるから h ∈ K(X, R) である。
証明終
0203Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 05:19:42X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
g を K(X, C) の任意の元とし、U = { x ∈ X | g(x) ≠ 0 } とおく。
K(X, C) の元の列 (g_n), n= 1, 2, ... で以下の条件を満たすものが存在する。
1) Supp(g_n) ⊂ U, n = 1, 2, ...
2) |g_n| ≦ |g|, n = 1, 2, ...
3) g = lim g_n (a.e.)
証明
>>201の証明と同様である。
0204Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 06:03:41X を局所コンパクト空間とする。
f を K(X, C) の任意の元とし、U = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
g を K(X, C) の元で Supp(g) ⊂ U とする。
t ∈ U のとき h(t) = g(t)/f(t),
t ∈ X - U のとき h(t) = 0 とおく。
このとき h ∈ K(X, C) である。
証明
>>202と同様である。
0205Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 06:04:39μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
任意の f ∈ K(X, C) に対して
∫ |f| d|μ| = sup { |∫ ψf dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
証明
|ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) のとき、過去スレ010の322より、
|∫ ψf dμ| ≦ ∫ |ψf| d|μ| ≦ ∫ |f| d|μ| である。
よって、
sup { |∫ ψf dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) } ≦ ∫ |f| d|μ| である。
g を |g| ≦ |f| となる K(X, C) の元とする。
U = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
{ x ∈ X | g(x) ≠ 0 } ⊂ U である。
>>203 より
1) Supp(g_n) ⊂ U, n = 1, 2, ...
2) |g_n| ≦ |g|, n = 1, 2, ...
3) g = lim g_n (a.e.)
となる K(X, C) の元の列 (g_n), n= 1, 2, ... が存在する。
各自然数 n に対して、t ∈ U のとき h_n(t) = g_n(t)/f(t),
t ∈ X - U のとき h_n(t) = 0 とおく。
>>204 より h_n ∈ K(X, C) である。
|g_n| ≦ |f| だから |h_n| ≦ 1 である。
g = lim (h_n)f (a.e.) であり、|(h_n)f| ≦ |f| であるから
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∫ g dμ = lim ∫ (h_n)f dμ
よって、|∫ g dμ| = lim |∫ (h_n)f dμ|
よって、sup { |∫ g dμ| ; |g| ≦ |f|, g ∈ K(X, C) }
≦ sup { |∫ ψf dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
過去スレ010の30より ∫ |f| d|μ| = sup{ |∫g dμ|; |g| ≦ |f|, g ∈ K(X, C)}
よって、∫ |f| d|μ| ≦ sup { |∫ ψf dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
証明終
0206Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 09:46:52>g = lim (h_n)f (a.e.) であり、|(h_n)f| ≦ |f| であるから
>Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
>∫ g dμ = lim ∫ (h_n)f dμ
g = lim (h_n)f (a.e.) であり、|(h_n)f| ≦ |f| であるから
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
L^1(X, C, μ) において、((h_n)f) は g に L^1 収束する。
一方、過去スレ010の322より、h ∈ L^1(X, C, μ) のとき
|∫ h dμ| ≦ ∫ |h| d|μ| であるから、
h → ∫ h dμ はノルム N_1 に関して連続である。
よって、∫ g dμ = lim ∫ (h_n)f dμ
0207１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 09:54:32g = lim (h_n)f (a.e.) であり、|(h_n)f| ≦ |f| であるから
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
L^1(X, C, μ) において、((h_n)f) は g に L^1 収束する。
一方、過去スレ010の322より、h ∈ L^1(X, C, μ) のとき
|∫ h dμ| ≦ ∫ |h| d|μ| であるから、
h → ∫ h dμ はノルム N_1 に関して連続である。
よって、∫ g dμ = lim ∫ (h_n)f dμ
0208１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 09:55:20g = lim (h_n)f (a.e.) であり、|(h_n)f| ≦ |f| であるから
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
L^1(X, C, μ) において、((h_n)f) は g に L^1 収束する。
一方、過去スレ010の322より、h ∈ L^1(X, C, μ) のとき
|∫ h dμ| ≦ ∫ |h| d|μ| であるから、
h → ∫ h dμ はノルム N_1 に関して連続である。
よって、∫ g dμ = lim ∫ (h_n)f dμ
0209Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 10:19:44μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
任意の f ∈ L^1(X, C, μ) と g ∈ L^1(X, C, μ) に対して
|∫ |f|d|μ| - ∫|g| d|μ|| ≦ ∫ |f - g| d|μ|
証明
∫ |f| d|μ| = ∫ |f - g + g| d|μ| ≦ ∫ |f - g| d|μ| + ∫ |g| d|μ|
よって、∫ |f| d|μ| - ∫ |g| d|μ| ≦ ∫ |f - g| d|μ|
同様に
∫ |g| d|μ| = ∫ |g - f + f| d|μ| ≦ ∫ |f - g| d|μ| + ∫ |f| d|μ|
よって、∫ |g| d|μ| - ∫ |f| d|μ| ≦ ∫ |f - g| d|μ|
よって、
|∫ |f|d|μ| - ∫|g| d|μ|| ≦ ∫ |f - g| d|μ|
証明終
0210Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 10:31:46μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
任意の f ∈ L^1(X, C, μ) に対して
∫ |f| d|μ| = sup { |∫ ψf dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
証明
過去スレ008の343より、L^1(X, C, μ) において K(X, C) は稠密である。
よって、f_n ∈ K(X, C), n = 1, 2, ... があり、(f_n) は f に L^1 収束する。
>>209より、
|∫ |f| d|μ| - ∫ |f_n| d|μ|| ≦ ∫ |f - f_n| d|μ|
よって、∫ |f| d|μ| = lim ∫ |f_n| d|μ|
一方、|ψ| ≦ 1 となる ψ ∈ K(X, C) に対して、
|∫ ψf dμ - ∫ ψf_n dμ| ≦ ∫ |ψf - ψf_n| d|μ| ≦ ∫ |f - f_n| d|μ|
よって、∫ ψf dμ = lim ∫ ψf_n dμ
>>205より、
∫ |f_n| d|μ| = sup { |∫ ψf_n dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
この両辺の lim をとって、
∫ |f| d|μ| = sup { |∫ ψf dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
証明終
0211Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 10:54:18μ を局所コンパクト空間 X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
g を局所可積分な複素数値関数とする。
このとき |gμ| = |g| |μ| となる。
ここで gμ は μ と g の積(過去スレ010の588)、
|g| |μ| は |μ| と |g| の積である。
証明
>>210より、任意の h ∈ K+(X, R) に対して
∫ |gh| d|μ| = sup { |∫ ψgh dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) } となる。
sup { |∫ ψgh dμ| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
= sup { |∫ ψh d(gμ)| ; |ψ| ≦ 1, ψ ∈ K(X, C) }
>>210より、この右辺は ∫ h d|gμ| に等しい。
一方、∫ |gh| d|μ| = ∫ |g|h d|μ| = ∫ h d|g||μ|
以上から ∫ h d|g||μ| = ∫ h d|gμ| となる。
よって、|gμ| = |g| |μ| である。
証明終
0212１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 13:06:42猫さん、代数的整数論に興味ありますか？
コンヌはリーマン予想を研究していますよね？
0213１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 13:07:46ラング欄図プログラムなんか、どーでしょうか？＞猫さん
0214１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 13:10:09１３２って素数なの？どうやって証明するの？＞猫
0215山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 13:18:45あのセンセは頑固者やさかい
そう言えばGeometrique Langlandsとかでも何か言うてはったですね
0216１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:01:30どしろうとの質問ですが、ペレルマンがポアンカレ予想を解くというのは
数学者的には、誰かが近いうちに解くんじゃないかというような
機が熟していたと、当時思っていましたか？
0217１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:03:39小田急線沿線に押すまいでしょうか？
0218山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 14:10:34そんな事は猫には全然判りません。それに「他の問題」だって、「もうスグだ、もうスグだ」
と言いながら、何時までも引き摺ってるのだって「ある」とか「あった」でしょう。だからどんな
問題でも決着するまではゼロって事じゃないんですか。あの「ワイルズのヤツ」だって、彼
は黙ってたんだから、誰にも判りませんよね。
0219山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 14:13:48まあ色々とありますから、精々想像をたくましくして下さい
小田急線というのは鶴巻温泉からの判断でしょ
どれが事実でどれが引っ掛けかくらいは自分で考えて下さい
0220１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:17:23お父さんは懲戒解雇の件、なんと言っていますか？
0221１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:18:58松木分解
これらについて、２次のリアルな正方行列だと何を言っていますか？
教えて下さい
0222１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:20:04へえ、おともだちって数学者ですか？
461 名前：１３２人目の素数さん ：2009/06/07(日) 14:10:26
徳島のことって、実は合意といことではないんですか？
0223１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:20:44駒場？
0224１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:23:330225１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 14:26:500226Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 14:36:34X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
ψ: X → [0, ∞] がすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分
(過去スレ010の504)であり、かつ (ψμ_i), i ∈ I が上に有界であるとする。
このとき、ψ は μ に関して局所可積分であり、
ψμ = sup {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
証明
任意の g ∈ K+(X, R) に対して、
>>86より ∫^e gψ dμ = sup {∫^e gψ d(μ_i); i ∈ I } である。
gψ は μ に関して σ-有限(過去スレ010の465)であるから
∫^e gψ dμ = ∫^* gψ dμ
gψ は μ_i に関して可積分であるから
∫^* gψ d(μ_i) = ∫ gψ d(μ_i)
よって、∫^* gψ dμ = sup {∫ gψ d(μ_i); i ∈ I }
右辺は仮定より有限である。
>>95より ψ は μ-可測であるから、gψ は可積分である。
よって、∫ gψ dμ = sup {∫ gψ d(μ_i); i ∈ I }
よって、>>82より ψμ = sup {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
証明終
0227山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 14:48:54恥ずかしくて、老人ホームでは「恥辱で身を縮めている」そうです
（それより遥か以前に「親子の縁はとっくに切った」と言っておきながら。
つまり矛盾ですな。）
0228山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 14:52:10彼のクレジットカードの現物を見た事がないので、何色かは知りません。
フィールズ賞のメダルだけ、ちょっと貸して貰いましたが。
0229１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:10:290230Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 15:20:40X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
ψ: X → [0, ∞] がすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分
(過去スレ010の504)であり、かつ (ψμ_i), i ∈ I が総和可能とする。
このとき、ψ は μ に関して局所可積分であり、
ψμ = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
証明
I の空でない有限部分集合全体をΦとする。
Φは包含関係で上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。
J ∈ Φ に対して λ_J = Σμ_i, i ∈ J とおく。
>>82 よりμ = sup {λ_J; J ∈ Φ} である。
>>97 より、ψ は λ_J に関して局所可積分であり、
ψ(λ_J) = Σψ(μ_i), i ∈ J である。
仮定より (ψμ_i), i ∈ I は総和可能であるから
sup {ψ(λ_J); J ∈ Φ} ＜ +∞である。
よって、>>226より ψ は μ に関して局所可積分であり、
ψμ = sup {ψ(λ_J); J ∈ Φ } = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
証明終
0231１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:33:150232１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:36:19お薦めの基礎的な本がありましたら、推薦してください
0233山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 15:40:39また行きたいですが、今は「引越し騒動」なんでしょうし、それに
猫は金もないし、まあ「故郷は遠きにありて想うもの」ですかね。
0234１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:47:210235１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:48:50思い出とか教えて下さい
0236山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 15:49:06自分で決めるものだと思います。もし「何々に就いて」というならば
知っている事はカキコしますが、でも「何をしたら良いでしょうか」
では答えようがありませんよ。
それで「参考までに」という意味ですが、猫は１～２年生の間は殆
ど物理しか勉強していません。数学は高木貞治先生の解析概論
を（ルベーグ積分を除いて）全部読みました。演習問題は全部解い
た方がいいと思います。
0237山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 15:52:12カナダの国際会議に参加した帰りにロスでＵＣＬＡに暫く置いて戴きました。
0238１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:52:24（１）解析学
（２）線形代数学
（３）多様体
（４）トポロジー（一般トポロジーは除く）
について、お薦めの本を教えて下さい
0239１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:54:15教えて下されば幸いです
0240１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:56:590241１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 15:58:26他にだれですか？
0242１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:00:32実は数学科なので、参考にさせてください
先生の習った本に限らず、今の状況でお薦め下さい
0243山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 16:05:36いう事で（阪大時代）：
（１）解析概論、高木貞治、岩波
関数解析、竹之内脩、朝倉
Functional Analysis, Kosaku Yoshida
竹崎正道、講義ノート
量子力学の数学的基礎、ノイマン、みすず
関数解析、コルモゴロフ＆フォーミン
Measure Theory, Halmos
常微分方程式、木村俊房、共立
積分方程式論、井川先生阪大講義
（２）忘れましたが、確か東大出版のヤツ
（３）Lie groups, Chevalley（英語版）
多様体、松嶋与三
（４）戸田宏先生阪大集中講義
川久保先生阪大学部講義
尾関先生阪大大学院講義
それと代数関係でつ
0244山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 16:07:13（３）Differential geometry of symmetric spaces, Helgasson
0245山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 16:09:59九大教授の前に岡山大助教授だったそうです。
0246山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 16:14:04確率論の藤田さん（猫の１級上）と一緒に
無限次元空間上の測度（上、下）、山崎泰郎、紀伊國屋
をセミナーで付き合って戴きました。かなりキツかったです。
藤田さんにはメチャメチャお世話になりました。
0247１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:15:150248１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:16:490249山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 16:20:39赤口さんと谷野さんは既に居ませんでした。
その他は：
キミオ、ムツミ、ムロ（ちょっとだけ）、モトヒコ、ヒラタ、ハマ、
マンダイ、タケゴシ、など
で、
ヤマガミ、トマリ、ヨネムラ、ホッタ
が同学年だったと思います。（以上、敬称略）
またそれ以外に「理学部の面々」も結構居ますね。
0250１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:21:400251１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:52:47あれは還暦のときのことですか？
逸話がありましたら、宜しくお願いします
0252１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:54:43辰馬先生は理学部であったのではないですか？
数理研の院生も理学部の先生に習うのですか？
たとえばセミナーとかしてもらえるのですか？
0253１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:56:050254１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:57:29兄弟かなんかで学者になられた人がいますか？
0255１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 16:58:440256１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 17:00:50既に学位は京都でとっておられたのでは？
0257１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 17:02:560258山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 17:06:11佐藤先生の阪大理学部での集中講義の時ですね。その時は現人神
だけじゃなくって、晴天の日にゴム長靴を履いた小林亜星先生も来て
ました。その後は数理研近くの飲み屋で猫が（神様とは知らずに）
現人神に酒に酔って絡んでいました。
0259山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 17:09:34今の京大がどんな雰囲気かは計り兼ねますが、数理研であろうと理学部
であろうと、好きな所に顔を出したら良いのではないでしょうか。
自分の好きな様にするのが「数学の定義」だと思います。
0261山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 17:15:16ウチで「学問」といえば、それは常に「実験科学」を意味していて、理論科学や
抽象科学、文科系は蔑まれていました。
親戚の叔父さんに京大文学部卒の哲学者が一人居ましたが、クソ親父は彼を
「学位が無い」と言って馬鹿にしていました。
0263山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 17:20:21数理研博士課程在学中にコンヌに強引に渡りを付けて、そしてIHESのビジター
に捩じ込んで貰いました。そんで、その時にポスドク（要は給費留学生）として
何とかして貰う話を直接につけて、それでなんとか後日にフランスに上陸しま
した。
0264山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 17:23:00IHESで知り合って、そんで彼の講義（とちょっとしたセミナー）に押しかけました。
英語で馬鹿な質問をするのは猫だけでしたね。
0265１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 17:28:50堂々とスレを荒らしに現れる猫が悪い
荒らし猫は失せろ
0266山猫軒 ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 17:38:27何がアカンの？
0267１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:02:44ここはクンマーのスレだ。雑談はスレチ。
0268１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:06:40荒らしに召喚されて開き直ってるお前もやはり荒らし。
0269Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 18:15:30X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに μ = sup {μ_i; i ∈ I} が存在するとする。
ψ: X → [0, ∞] が μ に関して局所可積分(過去スレ010の504)であれば、
ψ はすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分であり、
(ψμ_i), i ∈ I は上に有界である。
証明
>>86より、任意の g ∈ K+(X, R) に対して、
∫^e gψ dμ = sup {∫^e gψ d(μ_i); i ∈ I } である。
gψ は μ に関して σ-有限(過去スレ010の465)であるから
過去スレ010の472より ∫^e gψ dμ = ∫^* gψ dμ である。
ψ は μ に関して局所可積分であるから gψ は可積分である。
よって、∫^e gψ dμ = ∫ gψ dμ である。
gψ は、すべての i ∈ I に対して μ_i に関して σ-有限であるから
過去スレ010の472より ∫^e gψ d(μ_i) = ∫^* gψ d(μ_i) である。
一方、>>94より、ψ はすべての i ∈ I に対して (μ_i)-可測である。
よって gψ も (μ_i)-可測である。
よって ∫^* gψ d(μ_i) = ∫ gψ d(μ_i) である。
すなわち、∫ gψ dμ = sup {∫ gψ d(μ_i); i ∈ I } である。
∫ gψ dμ ＜ +∞ だから、
すべての i ∈ I に対して∫ gψ d(μ_i) ＜ +∞ である。
すなわち ψ は μ_i に関して局所可積分である。
よって、ψμ = sup {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
証明終
0270Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 18:21:54X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
ψ: X → [0, ∞] が μ に関して局所可積分(過去スレ010の504)であれば、
ψ はすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分である。
さらに (ψμ_i), i ∈ I は総和可能であり、
ψμ = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
証明
>>269より明らか。
0271１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:26:48IHESにおられたなんて、すごいですね。
フランスには何年おられたのですか？
フランスでの研究はセミナー以外では、図書館か何かにこもっておられた？
0272１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:28:37参考にします
0273１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:29:56クンマーが２ちゃんに個人的なスレをたてて、私物化していると言える
つまりクンマーが荒らし
0274１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:30:32荒らしは失せろ
0275１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:31:12そこでは誰を目当てに滞在されたのですか？
0276１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:31:590277１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:33:080278１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:33:520279１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:35:01阪大在学中、３、４年はどんな本を読んでいましたか？
0280１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:37:02あれって、猫さんが線形代数と書いていましたが、
どういう問題意識の論文なんですか？
0281１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 18:39:18上がって来たスレで質問する
なにが悪い？
0282猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 18:43:43別にIHES居たからと言って凄いって事にはならんでしょ、
だってアソコは数理研みたくで「皆の研究所」ですからね。
そんで猫の場合は（１ヶ月～３ヶ月とかの短期を除くと）
最初はIHESで２年ですね。それで、その後は味を占めて
何回も何回もで、まあフランス滞在を短いのまで全部併せ
ると５年～６年程度でしょうかね。
そんでフランスの図書室なんて何処も殆どアテにはなりま
せんよ、パリならば猫はJussieuのとOrsayのは良かったで
すが、IHESのなんてほんの「申し訳程度」ですよ。何もあり
ませんから。
0283猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 18:58:52どれだけ以上が長期なのかは判りませんが、まあMSRI, Berkeley
は最初の１年ですね。そんで３ヶ月以上ならば、そうですねぇ
Paris/Bures以外ではMarseilleとかTriesteとかWarsawとか
Philadelphiaとかね、またちゃんと思い出しておきますが。
そんで短いのだったら、それ以外にCambridge, ちょっとだけOxford,
Warwick, Leibzig, Dijon, しょっちゅう行くのがStrasbourg, Lyon,
Moscow, St.Petersbourg, 後は何処へ行きましたかねぇ
まあ、自分のテクではカバー出来ない人とかにメールで談判して話を
付けて「何とかして貰う」んですけどね・・・
ああ、そうそう、Bruxelleも行きましたな。Grenobleも、Lausanneも。
0284猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:05:56中神さんでしょ。最初に会ったのは数理研の修士になるちょっと前でしたかね、
中神・竹崎双対定理みたいな話だった記憶ですよ。そんで、猫がフランスから
追放されて帰国して、１９８８年の２月だったかに賢島でワークショップをやった
時に中神さんに「Woronowiczの仕事の紹介」をお願いしました。それ以来、
量子群の研究で「作用素環を使う部分」を全面的に助けて戴いています、猫は
作用素環は判りませんから。
0285猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:11:27「同じ分野」って何ですかねぇ、もし猫が独自に持っているテク（そんなモノは無いんですが）
があるとすればcyclic (co)homologyですかね。もし「そういう認識」だったら夏目さんが
一番近いんでしょうかね。彼とは一個だけ共著があります。そもそもcyclic homologyの
専門家なんて日本には居ませんよ。
0286猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:19:17お互いに顔は知ってますよ、彼がどう思ってるかまでは知らんけどね。
あそこで良く無駄話をしたのはCartierとかGromovとかGabberとか、
まあ「そんなん」ですかね。それに「夏休みの常連組」も居るしね。
生前のThom先生とも結構話しましたね、何となく「フランス語の練習
相手」みたいな時もありましたが。
0287猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:25:29その時期は物理を殆ど全部ぶん投げて、そんで「上に書いた様な本」とか、
基礎工数理竹之内研の先輩の「論文読みのセミナー」とかに出てましたね。
まあ酒ばっかり飲んで遊んでましたが、どちらかと言うと代数が一番好きで
したかね、細かい事はもう忘れましたが。
0288１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 19:26:50やはり力量を認められているんですね
才能にめぐまれて、うらやましいです
0289１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 19:28:08それは就職してからですか？
0290１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 19:29:20今は日本に戻られているのかな
0291猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:32:02いや、何も出来上がっていないのに偉そうな事は言いたくはないですが、
まあ「元ネタ」はOcneanuのparagroupですよ、其処から関数解析を
全部剥ぎ取って「淡中圏」みたいな話に仕上げたいと思っただけで、
今の所は「絵に描いた餅」ですね。
0292猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:38:56「知り合いが偉い」という事と「自分に才能がある」というのは完全に
独立で、それこそ相手に依っては「何時もお説教」ですよ。まあ
「オマエは何時まで経ってもアカンなあ」みたいな事をKaroubiなんか
に何時も言われてますね、彼は今でも猫に時々「フランス語の文法」
を講釈しますよ、猫がちっとも改善しないのがいけないんですが。
OlivieとかLodayなんてド下手なフランス語を聞いて時々顔が引きつ
ってますな。
0293猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:41:30就職してからは長くても１年、その代わり「ちょくちょく」だったんで、
管理職から毎回叱られました。
0295１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 19:50:330296猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 19:53:35それで、これは皆さんにお願いなんですが、「猫先生」ってのは嫌ですよ。
猫はあなた達に「何も教えてない」ので「先生」は取り外して下さい。
0297１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 19:54:580298１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 20:15:59聞きたかったのは猫先生.・・・猫さんが単独で研究するのか、
いろいろな人たちと共同研究をしてるのかです
0299猫は荒氏じゃない ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 20:40:25後は知らん顔だったり、またちょっとだけですが逆パタだったりとか、
各種様々ですかね。まあ「力が無い研究者」の一つのパターンでしょうな。
0300Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 22:02:32μを局所コンパクト空間 X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
このとき ∫^e f dμ = ∫^* f dμ である。
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460)であり、
∫^* f dμ は f の上積分(過去スレ008の146)である。
証明
g ≦ f となる g ∈ K+(X, R) を任意にとる。
K = Supp(g) とし、χ_K をその特性関数とする。
g ≦ fχ_K だから μ(g) ≦ ∫^* fχ_K dμ ≦ ∫^e f dμ
一方、∫^* f dμ = sup { μ(g); g ≦ f, g ∈ K+(X, R) } だから
∫^* f dμ ≦ ∫^e f dμ
他方、X の任意のコンパクト集合 L に対して fχ_L ≦ f だから
∫^* fχ_L dμ ≦ ∫^* f dμ
よって、∫^e f dμ ≦ ∫^* f dμ
証明終
0301Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 22:04:38X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
このとき、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で ψ の K への制限は連続 } とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
>>270より、ψ はすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分であり、
(ψμ_i), i ∈ I は総和可能であり、ψμ = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
>>80より、各 i ∈ I に対して ∫ f dψ(μ_i) = ∫ fψ d(μ_i)
f は下半連続だから ψ(μ_i)-可測であり、fψ は (μ_i)-可測である。
従って、∫^* f dψ(μ_i) = ∫^* fψ d(μ_i) である。
よって、>>300より ∫^e f dψ(μ_i) = ∫^e fψ d(μ_i) である。
>>88より、
∫^e f d(ψμ) = Σ∫^e f dψ(μ_i)
∫^e fψ dμ = Σ∫^e fψ d(μ_i)
よって、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ
証明終
0302１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:00:15K理論やっていた人でしたっけ？ 猫さんとはどちらで一緒？
0303１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:04:06あの共著（猫さんの）って、群論（有限）の人なんかも加わっていますね？
僕は読んでいないのですが、代数的なんですか？ 面白そうだな
0304１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:05:54そういう偉い人って、世代が違う若い人にも素朴に話してくれるんですか？
数理県の柏原先生なんか怖そうだな・・・
0305１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:07:15でもお説教はフランス語ですよね？ 数学ではリスペクトされているなら
数学者としてはそれで十分でしょうね
0306猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:07:27パリ大でやっているＫ理論と代数トポロジーのセミナーでつ
>>303
何も結果が無いから全然面白くないよ。定理は２個だけで、証明はアホみたいやしね
0307１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:10:46（猫さんではなくほかの人から）聞いたことがあるんです
そんでJOTだったか, Journal of Fuct. Analysisだったかに
載ったEvans？だったかの論文を読んだような記憶があります
結構、しょぼいモデルだなと当時（だいぶ前）に思いました
非可換幾何って当初の目論見通りに発展しているのですか？
僕は全然不勉強で、自分の専門と関係なかったので
その後、勉強していないので・・・
0308猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:12:05ちょっと追加。中身はバイパータイトグラフの隣接行列の固有値の話。
そんでヤング図形の組み合わせ論。
0309１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:13:16高次K理論かなんかを勉強したと思いますが、忘れてしまったorz
0310１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:16:02あそこは短期でどなたと研究されたのですか？
0311１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:17:04なるほど、だから群関係の人がはいっているんですね
面白そう
0312猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:19:37Cartierはねぇ、代数でも幾何でも解析でも「辞書みたいな人」だから、猫は
随分と頼りにさせて貰いましたね。また昔話も超オモロイよ、カルタンセミナー
の実況中継みたいなね。
そんで彼は量子群が好きで、「量子群セミナー」を主宰してたから、猫は其処で
何回か喋ったし、それに毎回彼の車に乗せて貰って参加してましたよ。
日本へ来た時も、通訳でもなかったけどずっと「話し相手」をさせて貰って、ウチ
へ来て貰って晩飯を出しましたね。
最後に一言。現人神は全然怖くないです。怖いのは数学だけ。
0313１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:20:060314猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:24:01いやね、数学に関する説教を早口のフランス語でやられるんですよ。これは
「人によって」ですが、最初はたとえ英語でも、こっちが口答えして相手が激昂
したら、何時の間にかフランス語になりますな。まあフランス人はアホやさかい。
0315猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:29:06Evansの論文なんて知りませんよ、何が書いてあるんですか？
そんで非可換微分幾何学ってのは「人によって定義が違う」
ので人の事は猫は知りません。
0316猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:32:38どっちだったかな、第６かなぁ
用事がある時は何時も家に電話するから覚えてないでつ
彼は知ってても何も言わないから、ちょっと「狸オヤジ」だ
ねぇ
0317Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/07(日) 23:32:38X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^* f d(ψμ) ≧ ∫^e fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
g : X → [0, ∞] を X 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数で
f ≦ g とする。
fψ ≦ gψ であるから、∫^e fψ dμ≦ ∫^e gψ dμ
>>301より、この右辺は ∫^e g d(ψμ) である。
>>300より、∫^e g d(ψμ) = ∫^* g d(ψμ)
よって、∫^e fψ dμ≦ ∫^* g d(ψμ)
一方、上積分の定義(過去スレ008の146)から
∫^* f d(ψμ) = inf {∫^* g d(ψμ) ; f ≦ g, g は下半連続 }
よって、∫^e fψ dμ≦ ∫^* f d(ψμ)
証明終
0318猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:36:25Francis Sergeraertのとこへ行って、ヤツの仕事をけなしたった
彼はとても面白い人ですよ
ホモトピー論の専門家で、ホモロジー代数がメチャ強いでつ
0320猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/07(日) 23:46:06カルビーはね、トポロジストだけど結構整数論が好きですよ
ボレルレギュレーターとか良く言ってましたな
0321１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:52:45猫さん、推薦状って書いたことありますよね？
いずれそういうところに行くとき、書いてほしいなと思いますが
0322１３２人目の素数さん
2009/06/07(日) 23:55:360325猫は知らんけど ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 00:11:54Illusieさんとかね、とても親切な人ですよ、もうリタイアしはったけど
それからSouleね、良く説教されたけど、でもちょっと気難しいかな
オマエ、そんなアホな事を言ったらアカン、ってね
0326１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 01:25:240327１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 01:27:56他でやれ。
0328Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 01:36:27X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)で Supp(μ) はコンパクトとする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で Supp(μ) において連続で
μ に関して局所可積分(過去スレ010の504)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
>>301より、∫^* 1 d(ψμ) = ∫ ψχ_K dμ ＜ +∞
よって、∫^* 1 d(ψμ) = ∫ 1 d(ψμ) となり、ψμ は有界である。
よって、f はψμに関してσ-有限(>>465)だから >>472より、
∫^e f d(ψμ) = ∫^* f d(ψμ) である。
>>317より、∫^* f d(ψμ) ≧ ∫^e fψ dμ である。
逆向きの不等式を証明すればよい。
fψ はμに関してσ-有限(>>465)だから ∫^e fψ dμ = ∫^* fψ dμ である。
fψ ≦ h となる下半連続な関数 h に対して
∫^* f d(ψμ) ≦ ∫^* h dμ を示せばよい。
任意の ε ＞ 0 に対して、u = (h + ε)/ψ とおく。
u は Supp(μ) において下半連続である。
x ∈ Supp(μ) に対して
ψ(x) = 0 のとき u(x) = +∞ だから u(x) ≧ f(x)
ψ(x) ＞ 0 のとき u(x)ψ(x) = h(x) + ε ≧ f(x)ψ(x)
よって u(x) ≧ f(x) である。
よって Supp(μ) において u(x) ≧ f(x) である。
任意の x ∈ Supp(μ) に対して u(x)ψ(x) ≦ h(x) + ε
Supp(μ) において f ≦ u だから ∫^* f d(ψμ) ≦ ∫^* u d(ψμ)
>>301より、∫^* u d(ψμ) = ∫^* uψ dμ ≦ ∫^* (h + ε) dμ
= ∫^* h dμ + εμ(1)
ε ＞ 0 は任意だから ∫^* f d(ψμ) ≦ ∫^* h dμ
証明終
03291 の代理
2009/06/08(月) 01:37:39代数的整数論 011
は Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
0330Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 01:41:36>ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で Supp(μ) において連続で
>μ に関して局所可積分(過去スレ010の504)とする。
Supp(μ) はコンパクトだから ψ が Supp(μ) において連続であれば
μ に関して可積分であるから、この局所可積分の条件は不要である。
0331１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 01:52:440332１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 01:57:30だったら２ちゃんでやるな
0333１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 02:04:40ほっとけこのやろ
くだらないスレは他に一杯あるだろ。
なんでここがほっとけないの？
ひょっとして興味あったりしてｗ
だけどわからないからくやしかったりするのかｗ
0334１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 02:06:35くだらないスレは上がってこないが。
0335１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 02:10:01ばかかお前は。
あんなもんと比較すんな
ここは雑談するとこじゃない
0336１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 02:12:39なこたあないだろ
0337１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 02:22:36どこに毎日ageてるオナニースレがある？
0338１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 03:35:29◆ghclfYsc82が気に入らなくて邪魔してやろうと思ってる奴が
衝突しちゃったな
0339１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 07:31:00数学板に◆g2BU0D6YN2と◆ghclfYsc82以外に
複数の書き手がいたのか。。。
0340１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 08:10:16それのどこが問題なんだよ
0341１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 08:19:15いやー愉快愉快
0342Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 08:48:00X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)で Supp(μ) はコンパクトとする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で ψ の K への制限は連続 } とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
>>270より、ψ はすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分であり、
(ψμ_i), i ∈ I は総和可能であり、ψμ = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
>>80より、各 i ∈ I に対して ∫ f dψ(μ_i) = ∫ fψ d(μ_i)
f は下半連続だから ψ(μ_i)-可測であり、fψ は (μ_i)-可測である。
よって、>>328より ∫^e f dψ(μ_i) = ∫^e fψ d(μ_i) である。
>>88より、
∫^e f d(ψμ) = Σ∫^e f dψ(μ_i)
∫^e fψ dμ = Σ∫^e fψ d(μ_i)
よって、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ
証明終
0343１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 09:03:54ゴレスキーと面識ありますか？
0344１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 09:05:16最近、害均質をやっていますよね？
0345１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 09:08:030346Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 09:18:15X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の関数で μ に関して連続とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^* f d(ψμ) ≧ ∫^* fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
g : X → [0, ∞] を X 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数で
f ≦ g とする。
fψ ≦ gψ であるから、∫^* fψ dμ≦ ∫^* gψ dμ
>>80より、この右辺は ∫^e g d(ψμ) である。
よって、∫^* fψ dμ≦ ∫^* g d(ψμ)
一方、上積分の定義(過去スレ008の146)から
∫^* f d(ψμ) = inf {∫^* g d(ψμ) ; f ≦ g, g は下半連続 }
よって、∫^* fψ dμ≦ ∫^* f d(ψμ)
証明終
0347１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 09:21:51>>344
>>345
ここは雑談するとこじゃないんだよ。
Kummerが代数的整数論について書くスレなの。
迷惑だから他に行ってやってくれ。
0348Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 09:30:51>ψ: X → [0, ∞) を X 上の関数で μ に関して連続とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続関数とする。
0349１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 09:34:16迷惑だから他に行ってやってくれ。
0350Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 09:46:11X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → (0, ∞) を X 上の連続関数で任意の x ∈ X で ψ(x) ＞ 0 とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^* f d(ψμ) = ∫^* fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
>>346より、∫^* f d(ψμ) ≧ ∫^* fψ dμ であるから
逆向きの不等式を証明すればよい。
h: X → [0, ∞] を下半連続で fψ ≦ h とする。
任意の x ∈ X に対し g(x) = h(x)/ψ(x) とおく。
g は下半連続で、任意の x ∈ X に対し g(x)ψ(x) = h(x) である。
任意の x ∈ X に対しψ(x) ＞ 0 だから f(x) ≦ g(x) である。
∫^* f d(ψμ) ≦ ∫^* g d(ψμ)
>>80より ∫^* g d(ψμ) = ∫^* gψ dμ = ∫^* h dμ
よって、∫^* f d(ψμ) ≦ ∫^* h dμ
上積分 ∫^* fψ dμ の定義より ∫^* f d(ψμ) ≦ ∫^* fψ dμ
証明終
0351猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 10:19:48Mark Goreskyでしょ。ヤツの顔は知ってますね、何時もニタニタしてるかな。
話した事は無い、っちゅうか二言三言かなぁ。それよりもMacPherson相手の
方がちょっと多い、四言五言ですかね。
0352猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 10:23:53David Kazhdanですか？ 彼は頭が良さそうな顔をしてますね。
そうですか、凱琴執をやってますか。凄いかどうかは知りませんね、
話した事も無いし。
0354１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 10:30:240355１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 10:43:24ここは雑談するとこじゃないんだよ。
Kummerが代数的整数論について書くスレなの。
迷惑だから他に行ってやってくれ。
0356355
2009/06/08(月) 10:45:03名前を教えてくれ
0357355
2009/06/08(月) 10:47:54会うこともないだろうが万一会ったらいやみを言ってやろう思ってな。
頭を軽くこずいてやろうかｗ
0358１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 14:23:330359１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:31:07予想を出して、それを解いてもらったら共著になるとか
あるいは討議したら共著になるとか？
数人で共著って、分担して、考えてくるんですか＞猫先生
0360１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:32:22レスのお礼が遅れてすみません＞猫先生
0361１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:33:400362Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 19:34:45X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
∫^e f dμ ＜ +∞ なら σ-有限(過去スレ010の465)な部分集合 A が存在して
f = fχ_A (局所 a.e.) となる。
ここで、∫^e f dμ は f の本質的上積分(過去スレ010の460, 461)である。
証明
∫^e f dμ = sup {∫^* fχ_K dμ; K はコンパクト} だから
コンパクト集合の増大列 (K_n), n = 1, 2, ... があり、
∫^e f dμ = lim ∫^* fχ_K_n dμ となる。
A = ∪K_n とおく。
関数列 (fχ_K_n), n = 1, 2, ... は単調増大で、
fχ_A = lim fχ_K_n である。
過去スレ008の150より、∫^* fχ_A dμ = lim ∫^* fχ_K_n dμ
よって、∫^e f dμ = ∫^* fχ_A dμ である。
過去スレ010の472より、∫^* fχ_A dμ = ∫^e fχ_A dμ である。
1 = χ_A + χ_(X-A) であり、χ_A と χ_(X-A) は可測だから
>>106より、∫^e f dμ = ∫^e fχ_A dμ + ∫^e fχ_(X-A) dμ
よって、∫^e fχ_(X-A) dμ = 0
過去スレ010の484より、fχ_(X-A) = 0 (局所 a.e.) である。
よって、f = fχ_A (局所 a.e.) となる。
証明終
0363Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/08(月) 19:46:00X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数でμ可測とする。
∫^e f dμ ＜ +∞ なら f は本質的に可積分である。
証明
>>362より、σ-有限な部分集合 A が存在して
f = fχ_A (局所 a.e.) となる。
過去スレ010の472より、∫^e fχ_A dμ = ∫^* fχ_A dμ である。
fχ_A は可測で ∫^* fχ_A dμ = ∫^e f dμ ＜ +∞ だから
fχ_A は可積分である。
よって、f は本質的に可積分である。
証明終
0365１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:50:13差し支えなかったら教えて下さい
0366１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:51:44２ちゃんのサーバーは貴方が金銭的に負担しているんですか？
そうでないなら、どこに書こうと自由でしょ
0367１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:53:20まあブログでやる必要もないわな
本を読むとき、ノートを作る人がいるが
そんなもん、自分のとこに置いておけばいい
0368１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:57:22会われましたか？
0369１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 19:59:26＞追加：
いや、前の「猫スレ」だったか、「論文書かない」だったか忘れましたが、
もし物理をブルバキみたいに纏めたら、物理としては空っぽになって
しまって、「何も面白くない」では元も子もありませんしね。
ヒルベルトの目指した（２３の問題にある？）物理の小売化って
数学者の妄想だったんでしょうかね？
0370１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:02:50馬鹿かお前は
俺がサーバー代金を負担してるかどうかなんて関係ないだろ
スレに関係ないことを書くなっての
0371くされ猫
2009/06/08(月) 20:05:21あってねえよ
氏ねよ
0372１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:05:40だからさあ、お前に命令される筋合いは無いって言っているんだよｗ
このスレって何様のつもりｗ
0373１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:07:040374猫また
2009/06/08(月) 20:07:39あんたの妄想ですよ
氏ね
0375１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:08:09他人様のゼニでおまえのノートを公開しないでいいよｗ
消えてくれｗ
0376１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:09:02面白い
もっとやれｗ
0377猫ごろし
2009/06/08(月) 20:11:37何開きなおってんだよ
ここはKummerだけのスレじゃない
ロムってる人がいるし、質問する人もいる。
その人たちの迷惑だから書くなっての
0378１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:12:02なんてのは「例外だらけ」ですよね。しかも、それを「学校で教える」というの
だから「訳が判らん」のは当然でしょうな。
猫さんは数学に適した言語はフランス語だとお考えですか？
数学の論文や本をフランス語で読むのは簡単ですね
0379１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:13:32はあ？それはおまえの見解に過ぎない
俺はそう思わないから、このスレに書くことにした
おまえが荒らせば荒らすほど、このスレに粘着するぜｗ
0380１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:15:02めったにないことだと思っています
0381猫また
2009/06/08(月) 20:15:38数学に適した言語は猫語ですよ
ミャーミャー言いながらやってます
0382１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:16:24数学を志す人にとって、またとないくらい有益だと思うぞ
0383１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:17:34ずーっといてくれ
俺はかまわれるのが大好きでな
アラシが無くて寂しかったぜ
0384１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:18:03ずうっといてやるよｗ
0385１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:19:02貼り付けることにしても、いいですか？
0386１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:21:04たまにはいいかｗ
なんでお前等がここを選らんだのかは分からんが
アホの考えることは分からん
0387１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 20:26:410388猫ごろし
2009/06/08(月) 20:30:01アランはコンヌと言われて帰りました
氏ね
0389猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 20:37:50何人かが集まって数学を議論するって状況は何種類もあるでしょう。
それに「何が一番大事だと考えるか」でさえ人によって違いますよね、
アイデアなのか、技術なのか、ツメなのか、とかですね。
まあ猫の場合は「得意技が違う人の集まり」ってのが好きですかね。
それに人が集まって論文を書いても、それぞれ各人が「自分こそが
一番重要な役割を果たした」てな認識もあり得ますから、事情はいき
おい複雑になり得ますよ。まあ「喧嘩の元」という認識もありますしね。
0390猫ごろし
2009/06/08(月) 20:47:32こんなとこで油売ってないで仕事したらどうだ
共著でもいいよ
迷惑だしな
氏ね
0391猫ごろし
2009/06/08(月) 20:49:270392猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 20:52:21瑠麗教授を「見た」のは、後にも先にも「一回だけ」でして、それはポリテクの旧校舎
であった研究会でしたよ。彼は既にヨボヨボの爺でしたが、何やら講演をしたのを、
若造が撃ち落しましてね、それで猫は「あの大数学者が何と！！」と思ってショック
を受けました。でも後で考えると、あの歳で、しかも撃ち落されても、それでも数学を
やるお姿に感動しました。本当に偉い数学者というのはこういうモンかなぁ、と思いま
したね。
猫が読んだ論文は数ページでスペクトル系列を導入した、訳が判らないヤツだけです。
何でこんな事を考えたかと思うと、ビックリです。
小平、ヴェイユ、ルレイがこの世を去った１９９８年のノエルには、大きな蝋燭を三本
買って、名前を刻んで、パリのアパートで祈りを捧げましたし、ノートルダムにも出向
いて蝋燭を献上しました。そのせいか、同行していたコピーヌを放ったらかしたので、
彼女はかなり気分を害していましたね。
0393猫ごろし
2009/06/08(月) 20:59:07ねえ、あんたなんでここに書くの、よりによって。
ここはKummer氏が代数的整数論について書くスレですよ。
ロムってる人に迷惑だからやめてくれ。
0394猫ごろし
2009/06/08(月) 21:03:17>本当に偉い数学者というのはこういうモンかなぁ、と思いま
したね。
あんたも偉くなりたかったらまずスレ荒らしをやめな
0395猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 21:04:42記憶しているのは、彼は「跡公式」をいじくるんですよ。そんで、それが
数学の話だけで閉じてなくって、物理がどうたら言うから訳が判りません
とにかく猫は「判らん事は全部訊く」という方針でしたが、そんでも彼の
話は、その場では何となく言いくるめられた感じがするものの、後で考え
たら「何も判らん」てな感じですな。更に後でほじくっても、彼は「忘れた」
とか言うから、どうにもなりません。
一応の「公式記録」はCollege de FranceのＨＰからも落とせたりもしま
すが、まあ「講義そのもの」の原型を留めているのは殆ど無いでしょうな。
アレが面白いのは、彼の講義というよりも、其処で出る質問やら議論やら
喧嘩が面白いですね。
0398猫ごろし
2009/06/08(月) 21:11:14いいから他でやれって
人に迷惑を与えておいて、大手を振って歩けると思うなよ。
0399猫ごろし
2009/06/08(月) 21:13:39律儀にいちいち答えるんじゃねえよ
他でやれって
わかんねえのか、このハゲ
0400猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 21:14:28フランス語が好きな人はフランス語を使えばいいんだろうし、
またそうでない人は英語でも何でもいいんじゃないでしょうか
でもまあ「皆が読む」という意味では英語がいいんじゃないで
しょうかね
0401猫ごろし
2009/06/08(月) 21:14:55>何も出ないという保障は何処にもありませんから
こんなことしか言えないなら、分かりませんと素直に言えよｗ
0402猫ごろし
2009/06/08(月) 21:16:53>でもまあ「皆が読む」という意味では英語がいいんじゃないで
しょうかね
あたりめえだ。
くだらねえ質問にいちいち答えるな。
他でやれって
0403１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 21:21:000404猫ごろし
2009/06/08(月) 21:21:31>そのせいか、同行していたコピーヌを放ったらかしたので、
>彼女はかなり気分を害していましたね。
さりげなく、僕ちゃんもてるもんねアピールかよｗ
まあ、美人かどうかもわからんし、女もいろいろあるからｗ
俺的にはフランス女はいまいち、いまにだな、一般的に
0405１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 21:22:580406１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 21:29:57このスレで聞かれたからこのスレに書き込んでいるだけ
わるいのは猫と遊んでるやつ
0407猫ごろし
2009/06/08(月) 21:31:53猫も同罪
答えるから質問がどんどん来る
0409１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 21:44:040410１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 21:45:45シャキシャキで話しやすかった
その奥の席の資料整理係の彼女は
ものすごい美人であった
（今昔物語）
0411猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 22:12:55猫はオルセーにはセミナーに行ってただけで、
本を借りる時はＩＨＥＳから頼んでいました。
尤もオルセーは「散歩の場所」でしたけど。
建物の番号は４２５でしたっけね
0412猫ごろし
2009/06/08(月) 22:19:42>その奥の席の資料整理係の彼女は
>ものすごい美人であった
ごめん
彼女の名前はアンヌと言ってな、俺がおいしくいただきました
フェラが絶品
0413猫ごろし
2009/06/08(月) 22:26:48チェコとかハンガリーがよい
あのあたりは適度にアジアの血が入っていてそれがいいのだ
有名モデルも多いしな
ＡＶ女優も多いがｗ
0414猫ごろし
2009/06/08(月) 22:28:57>猫はオルセーにはセミナーに行ってただけで、
うるせー(オルセーにかけてる）
おめーのことなんぞ、どうでもいい
0415１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 22:37:03名前は忘れた
0416猫ごろし
2009/06/08(月) 22:49:37人違いだったな
俺の場合は1980年代半ば
0417猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/08(月) 23:06:05Alain ConnesがProfesseur Leon Mochanになったのが1979年、
Fields prize, Deligneが1978年, Connesが1982年（授賞式は翌年）
てな時代でしたね。また、当時は所長がKuiperで、Sullivanも居ましたしね。
因みに猫の阪大卒業/数理研入院が1979ですよ。まあ、その頃の
「あそこの日本人の住人」だと、猫が知るのは某先生ですかね。
（大昔の学会の時に階段で転んでお怪我をされた大先生ですかね。）
0418猫でつ
2009/06/08(月) 23:18:09ハンガリー生まれ (1951～ )
http://www.youtube.com/watch?v=cahloGsdkkU 01:07
"Viva86 (TVE-1986)"
http://www.youtube.com/watch?v=EuVG0F_oorM 04:53
"Political Woman"
http://www.youtube.com/watch?v=fx221POxhtU 01:00
"Come un Angelo"
http://www.youtube.com/watch?v=BTLN_TTdEjo 03:47
"Ska Skatenati"(1981)
0419１３２人目の素数さん
2009/06/08(月) 23:27:29P(n) = Π[k=1,n-1] {gcd(k,n)=1} k,
とおくとき
P(n) ≡ -1 (mod n) n=2,4,p^e,2p^e (pは奇素数、eは自然数)
P(n) ≡ 1 (mod n) それ以外(n=2は含む)。
を初等的に証明してくださいです。。。
http://mathworld.wolfram.com/WilsonsTheorem.html
土岡氏(呉市): 数セミ, 通巻 462号, NOTE p.69 (2000/3)
0420猫ごろし
2009/06/08(月) 23:41:14>因みに猫の阪大卒業/数理研入院が1979ですよ。
誰もそんなこと聞いてねえよ
自分語りしなくていい
>（大昔の学会の時に階段で転んでお怪我をされた大先生ですかね。）
おめーも気をつけろ
こんなとこで自分語りしてる時点でもう始まってるが
つーか他所でやれ
皮はいで三味線にしちゃうぞ
0421猫ごろし
2009/06/08(月) 23:42:25劣化すぎだろ
もっと若いときのを見せろ
0422１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:16:330423１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:19:54おまえがうるさい！
猫さんは優れた数学者
彼の体験談を聞くことは、有意義だ
0424１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:21:54数学者は論文が全て
セクハラがどうたらなんてたいしたことではないと思う
0425１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:25:23ノエル・・・すごくいい話です
なるほど・・・・瑠例先生、坂本竜馬みたいですね
あれほどの先生、前のめりに死ぬものですね
0426１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:26:120427猫ごろし
2009/06/09(火) 00:26:35どこが優れてる？
２ｃｈで自分語りしてる時点で期待出来ないわけだが
>彼の体験談を聞くことは、有意義だ
聞いたからっておめーはどうにもならない
アホはアホ
死ぬまでなおらない
諦めろ
つーか他所でやれよ
0428猫ごろし
2009/06/09(火) 00:28:07だから他所でやれよ
俺も他所では干渉しない
0429１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:28:33はあ？おまえがどうたらいうことじゃねえんだよ
どしろうとはどうせ分からないことなんだから
すっこんで泣いていればいいんだよｗ
0430１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:29:28こいつが消えろｗ
0431猫ごろし
2009/06/09(火) 00:30:01>ノエル・・・すごくいい話です
どこがいいんだよ
単なるアホだろ
何がノエルだ
カエルでも食ってろ
0432猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 00:30:06騒がなくても、放っておけばいいと思いますよ。
ちゃんとした数学の知識があればコードは破れる
と思いますから。
0433１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:30:15ここでやるよ
藁
0434１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:31:25はい、どうもすみませんでした
色々と教えて下さい
0435猫ごろし
2009/06/09(火) 00:31:57お前が聞いたからってどうにもなんねえよ
アホはアホ
死ぬまでなおらない
0436１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:32:380437１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:34:22でも楽しいから、ね
あんたはここで話されていること、全然分からないんだねー
女のことしか興味ないんだねー お気の毒だす
0438猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 00:35:01「結果オーライ」なんて当たり前で、わざわざ言わなくてもいいので
しょうが、その一方で余りにも「身も蓋もない話」ですよね。
0439猫ごろし
2009/06/09(火) 00:35:46わかんねえな
興味ないし
つまらんやつということはわかった
0440猫ごろし
2009/06/09(火) 00:40:13>あんたはここで話されていること、全然分からないんだねー
はあ？
分かりすぎてあくびが出るぜ
第一、数学の話じゃないじゃん
ルレイがどうたらこうたら
だれそれが転んだとか
ロウソクで女と遊んだとか
0441猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 00:41:13いやいや、あの年はル・モンドその他にも死亡記事も出たし、
数学にとっては「大先輩達が天に帰った」感じがして、
何とも言えなかったですね・・・
0442１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 00:42:090443猫ごろし
2009/06/09(火) 00:48:30別に年寄り数学者が死んだのはその年だけじゃないだろ
何、感傷にひたってんだよ
僕チャンこうみえても心が温かいですアピールか？
それだったら身銭切って遺族に１００万やれ
そしたら見直してやる
口先だけなら簡単だからな
0444猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 01:20:48そっちじゃないでしょうね・・・
0445１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 01:21:20数学板にはこういう粘着荒らしが湧くんだよね。
工作員の仕事風でもあるが、金の出所も無さそうだし、気違いとしか良いようが無いな。
暗い未来を見つめて、病んでいるんだろうね。
0446猫ごろし
2009/06/09(火) 07:49:48猫とその追従者たちのことを言ってるんだよな？
0447猫ごろし
2009/06/09(火) 07:54:07そいうことじゃなくて、口先だけならなんとでも言えるってこと
金じゃなくても遺族または故人のためにしてやれることはあるわな
しかもだまってやれよ
僕ちゃん、してあげちゃたもんねなんてここで宣伝するなよ
お前のことだから黙っていられないのは見えてるが
0448黙ってない猫 ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 07:57:140449１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 07:59:350450猫ごろし
2009/06/09(火) 08:10:49それより今すぐここを出ろ
0451猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 08:21:20「その時のデータ」はきっちり記録させて貰いますんで
0452猫ごろし
2009/06/09(火) 08:29:02なんでここにこだわる？
スレは他にいっぱいあるだろ
雑談スレなら迷惑にならないだろ
0453猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 08:45:38猫は唯誠実に答えただけで、
何でこうなったかは猫は知らへんがな
そやけどアンタもしつこいなぁ
そのクソ頭で何考えてんねん
P.S.アンタは「ノエル」の意味を知らへんのか？
「カエルの親戚」とちゃうで！
0454猫ごろし
2009/06/09(火) 08:48:37あんたが答えなければいいんだよ
または、答えを雑談スレに書けばいい
>「カエルの親戚」とちゃうで！
フランス人は両方好きだろｗ
0455猫ごろし
2009/06/09(火) 08:57:23使うなら関西でつかえ
方言はその土地だけでつかうのがマナー
関東弁は例外だけどな
0456猫ごろし
2009/06/09(火) 09:00:13女は別だけどなｗ
女の関西弁はけっこういい
0457猫ごろし
2009/06/09(火) 09:22:53小平の調和積分に関する最初の論文はHodgeをFollowしたもので
そこには何のオリジナリティもないとか言ってる。
それからモースは無能な数学者だが生涯にひとつだけいいアイデアを
見つけたとかｗ
0458猫ごろし
2009/06/09(火) 09:26:430459猫ごろし
2009/06/09(火) 09:32:200460猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 09:33:05アンタの「最後の一行」だけはどうかしてるで
0461猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 09:35:05そんで４５９は「知識のひけらかし」か
0462猫ごろし
2009/06/09(火) 09:40:18そりゃ猫が知らないだけ
0463猫ごろし
2009/06/09(火) 09:41:35なんだそうか
でどこが違うの？
0464猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 09:47:27ほんなら説明してみい
豊富な知識と深い理解で詳述せんでもエエから
0466猫ごろし
2009/06/09(火) 09:58:250467１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:01:17単なる数学趣味ってな感じやな
数学することとは全然違うわけでｗ
0468１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:02:250469１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:02:31猫ごろし＝Kummer ◆g2BU0D6YN2
という理解でいいんだねｗ
クンマーってどんな仕事しているの？
0470１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:03:36まあどうでもいいや
ここで猫さんと話をすることにしているので
0471猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 10:03:55>でどこが違うの？
ってどういう見識してんねん？
0473１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:10:00>>258 前に京大の食堂の近くでお見かけしましたが
ちょっとお気の毒なくらいヨタヨタしておられました
ところで迎変換の勉強は進んでいますか？
0474１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:11:53座高が高い人向けだとおもうたｗ
0475猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 10:12:02４５９とかで「当たり前の事」を言うて恥ずかしいんだろうけどサ、
そもそもKummerが何をやったか、それこそ「豊富な知識と深い理解」
で説明してみんかい！ そやなかったらとても恥ずかしゅうて自分の
コテなんかに出来へんやろ！ ちゃうか？
0476１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:13:000477１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:14:33どんな定理を証明したんですか？
0478１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:15:37コンツエビッチも何やら書いていなかったっけ？
0479猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 10:16:31美和さんでっか？
0481１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:20:500482猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 10:21:39いや～ 猫もお見かけしたんですがね、確かに「そんな感じ」もありましたね。
先生にもお世話になりましたから、何時までもお元気でいて欲しいですね。
いや「解説論文」はネットから落として印刷したんだけれど、焼酎をかけてしもうた
0483１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:21:44猫さんとレベル違い過ぎる
0484猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 10:28:03そうですか、テニスをしはるんですか。知りませんでしたな。
でも「テニスをする人」全部が迎先生みたいな大数学者とは
違いますからね。
何処かの大学では、「忙しい、忙しい」と言いながら真昼間から
テニスで忙しい大先生も居てはったしね、まあ比べる方が
「どうかしてる」んだろうけれどサ
0486猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 10:36:30蛇予想と言えば日本では何と言っても宮西先生ですわな。
先生の昔の阪大の講義は「猛烈」で、命題だけ板書して、
そんで証明は全部口で言うてはったさかい、学生時代の
猫は何も判らへんかったですな、まあ「秀才の代表」みたい
な数学者に見えましたね。
それに蛇予想なんて力が無かったらとても出来ないでしょう。
そんでコンセビッチは「そんな事」でも何でも言うんでしょうな、
アレは「化け物」やさかい。
0487１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 10:39:310488猫ごろし
2009/06/09(火) 11:41:06もっとも彼が全集を編集して出版したという事実だけで十分だが。
0489猫ごろし
2009/06/09(火) 12:48:15>拘ったんは猫とちゃうで
>猫は唯誠実に答えただけで、
>何でこうなったかは猫は知らへんがな
お前はガキか
そんな理屈は世間では通用しない
0490Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 12:56:58X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数でμ可測かつσ-有限(過去スレ010の465)とする。
このき、有界でμ可測かつσ-有限な正値実数値関数列 (f_n), n = 1, 2, ...
が存在し f = Σf_n となる。
証明
f_n = inf(f, n+1) - inf(f, n) とおけばよい。
0491Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 13:16:56X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数でμ可測かつσ-有限(過去スレ010の465)とする。
このとき、各 n ≧ 0 に対し μ(A_n) ＜ +∞ となる可測集合 A_n と、
有界でμ可測かつσ-有限な正値実数値関数 f_n で A_n の外では 0 になるものが
存在し、f = Σf_n となる。
証明
>>490より f は有界と仮定してよい。
A = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } とおくと、A は可測かつσ-有限である。
よって、μ(A_n) ＜ +∞ となる可測集合列 (A_n), n = 0, 1, 2, ...
で互いに交わらないものが存在する。
f_n = fχ_(A_n) とおけばよい。
証明終
0492１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 13:34:05うるせえな クンマー
２ちゃんはおまえの数学日記じゃねえんだよ
0493１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 13:37:08高騰で証明ですかあ それは初耳です
あの先生は僧侶ではなかってですか？
コンッエが蛇媚っていうのが、彼の芸風からナチュラルとは思えなかったので
記憶に残っとります
0494１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 13:39:01てか、こういう質問には答えてもらえないんですよね
ゴルフしてはる先生もいますね
数学者でゴルフは日本で珍しいですが？
0495１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 13:44:370496１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 13:50:04お前は馬鹿か
うざいならここを見るなよ
0497猫ごろし
2009/06/09(火) 13:53:52>あの先生は僧侶ではなかってですか？
数学に関係ねーだろ、そんなこたあ
ここは、週刊誌のゴシップ欄じゃねえんだよ
0498猫ごろし
2009/06/09(火) 13:54:34うせろ
0499Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 14:22:03X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とする。
このとき、E に含まれるコンパクト集合の列 K_n で互いに交わらないものがあり
F = ∪K_n とおくと μ(E - F) = 0 となる。
証明
過去スレ008の30より E は内正則である。
すなわち任意のε ＞ 0 に対してコンパクト集合 K ⊂ E が存在し、
μ(E - K) ＜ ε となる。
まず、任意の整数 n ＞ 0 に対して μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n)) ＜ 1/n となる
コンパクトな K_1, ..., K_n で互いに交わらないものがあることを
証明すればよい。
n に関する帰納法で証明する。
K_1, ..., K_n が存在したとする。
μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n)) = 0 なら K_(n+1) を空集合とする。
μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n)) ＞ 0 なら
K_(n+1) ⊂ E - (K_1∪ ... ∪K_n) かつ
μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n∪K_(n+1))) ＜ 1/(n+1) となるコンパクトな
K_(n+1) が存在する。
証明終
0500１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:31:57残念だね
基地外の頭の中身が分かるねｗ
0501１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:32:39おまえにはそうだろうねｗ
0502１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:34:56Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
0503１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:35:37Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳 Kummer ◆g2BU0D6YN2 低脳
0504１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:39:13私の息子が小年野球をしていた頃、途中でI君親子
が同じチームに入って来ました。
I君の父親は大学時代まで野球をしており、実際に野球の
話をしていても、失礼なのですが、チームのコーチや
監督よりも野球の指導方法や理論に長けているという
感じがしていました。
I君は気さくな子供でチームにも直ぐに溶け込み
父親の指導方法も良いのか、野球センスも抜群で
当時キャッチャーをしていた私の息子と大の仲良しになり
校区は違うものの、息子同士も学校が終わった後にお互い
の家へ行き来するようになり、家族ぐるみでの付き合いも
始まりました。とは言ってもIさんはそれより2年程前に
離婚しており、父子家庭です。
私とIさんは同年齢で打ち解けるのも早く、話も合い
暇を見つけては食事や酒も一緒にするようになり
お互いの家庭の話や息子の野球や将来の事、離婚の経緯
等、時には冗談も交えながらも真剣に話をするよう
な間柄となってきたのです。
0505１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:40:04n ≧ k なら a-ε ≦ a[n]-a[n-1] ≦ a+ε。
この関係から、
a-ε ≦ a[n]-a[n-1] ≦ a+ε
a-ε ≦ a[n-1]-a[n-2] ≦ a+ε
.
.
a-ε ≦ a[k]-a[k-1] ≦ a+ε
加えて、(n-k)(a-ε）≦ a[n]-a[k-1] ≦ (n-k)(a+ε).
nで割って整理すれば、どんな εにも 有限の kを選べて
(1-k/n)(a-ε) + a[k-1]/n ≦ a[n]/n ≦ (n-k)(a+ε) + a[k-1]/n
となるわけだが、ここであらためて n→∞とすれば a-ε ≦ a[n]/n ≦ a+εである。
(n ≧ k’≧k なる k’を選べて、a-ε-ε' ≦ a[n]/n ≦ a+ε+ε’とできる).
0506１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:41:13E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とする。
このとき、E に含まれるコンパクト集合の列 K_n で互いに交わらないものがあり
F = ∪K_n とおくと μ(E - F) = 0 となる。
証明
過去スレ008の30より E は内正則である。
すなわち任意のε ＞ 0 に対してコンパクト集合 K ⊂ E が存在し、
μ(E - K) ＜ ε となる。
まず、任意の整数 n ＞ 0 に対して μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n)) ＜ 1/n となる
コンパクトな K_1, ..., K_n で互いに交わらないものがあることを を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とする。
このとき、E に含まれるコンパクト集合の列 K_n で互いに交わらないものがあり
F = ∪K_n とおくと μ(E - F) = 0 となる。
証明
過去スレ008の30より E は内正則である。
すなわち任意のε ＞ 0 に対してコンパクト集合 K ⊂ E が存在し、
μ(E - K) ＜ ε となる。
まず、任意の整数 n ＞ 0 に対して μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n)) ＜ 1/n となる
コンパクトな K_1, ..., K_n で互いに交わらないものがあることを
0507１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 14:42:20証明
過去スレ008の30より E は内正則である。
すなわち任意のε ＞ 0 に対してコンパクト集合 K ⊂ E が存在し、
μ(E - K) ＜ ε となる。
まず、任意の整数 n ＞ 0 に対して μ(E - (K_1∪ ... ∪K_n)) ＜ 1/n となる
コンパクトな K_1, ..., K_n で互いに交わらないものがあることを
-ε ≦ a[k]-a[k-1] ≦ a+ε
加えて、(n-k)(a-ε）≦ a[n]-a[k-1] ≦ (n-k)(a+ε).
nで割って整理すれば、どんな εにも 有限の kを選べて
(1-k/n)(a-ε) + a[k-1]/n ≦ a[n]/n ≦ (n-k)(a+ε) + a[k-1]/n
となるわけだが、ここであらためて n→∞とすれば a-ε ≦ a[n]/n ≦ a+εである。
(n ≧ k’≧k なる k’を選べて、a-ε-ε' ≦ a[n]/n ≦ a+ε+ε’とできる).
0508Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 15:02:50X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数でμ可測かつσ-有限(過去スレ010の465)とする。
このとき、各 n ≧ 0 に対し f_n: X → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で有界であり、
K_n の外では 0 となる。
証明
>>491より f は有界で、μ(E) ＜ +∞ となる可測集合 E の外では 0 と
仮定してよい。
>>499より、E に含まれるコンパクト集合の列 (K_n), n = 1, 2, ... で
互いに交わらないものがあり F = ∪K_n とおくと μ(E - F) = 0 となる。
f_0 = fχ_(E - F)
n ＞ 0 のとき f_n = fχ_(K_n) とおけばよい。
証明
0509Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 15:13:43X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数でμ可測かつσ-有限(過去スレ010の465)とする。
このとき、各 n ≧ 0 に対し f_n: X → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で
有界かつ連続であり、K_n の外では 0 となる。
証明
>>508より f は有界で、コンパクト集合 L の外では 0 と
仮定してよい。
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で f の K への制限は連続 } とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
>>50より、μ零集合 N とコンパクト集合の列 (K_n) があり、
各 K_n ∈ Φ であり、L = N ∪ K_1 ∪ K_2 ∪ ... となる。
ここで、N ∩ K_n = φ, n = 1, 2, ...
i ≠ j のとき K_i ∩ K_j = φ
f_0 = fχ_N
n ＞ 0 のとき f_n = fχ_(K_n) とおけばよい。
証明終
0510１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 15:40:23海外流出が加速していることが、大阪府立大の浅野雅子准教授（素粒子論）の調査で分かった。
国が常勤職を確保しないままポスドクを増やした計画が背景にある。素粒子論分野のみの調査だが、
海外在住の研究者を含めてほぼ全数を調査した例は珍しく、他分野でも同様の傾向があるとみられる。
日本の将来の科学技術発展への影響が懸念されそうだ。【石塚孝志】
◇就職まで６．４年
素粒子論研究者で作る学術団体（素粒子論サブグループ）の９８～０８年度までの名簿を基に調べた。
それによると、全体の人数は７００人前後で推移しているが、ポスドクの人数は１０７人から１９３人と
１．８倍に増え、逆に博士課程に進学する人は８５人から４７人に減った。
博士号取得後にポスドクを続けている期間は９８年度の平均３．４年から０８年度の平均６．４年と増加。
海外流出したポスドクは９８年度の３％弱から０４年度２８％、０８年度４１％と急増した。
◇基礎科学先細り
０３年以前の同団体の会員制度は現在と異なるために単純な比較はできないが、ポスドクが海外に職を求め、
昨年秋のノーベル物理学賞受賞者の南部陽一郎さんが米国籍だったことで話題になった頭脳流出が
年々増えている傾向を示唆した。特に、台湾や韓国など東アジアへの流出が目立つという。
浅野准教授は「若者が就職難を心配し、博士課程に進んで研究を続けなくなっている。
このままでは日本の基礎科学は先細りしかねない」と危機感を募らせている。
（毎日ｊｐ）
http://mainichi.jp/select/science/news/20090530k0000e040077000c.html
0511Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 18:58:46>>342
>μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)で Supp(μ) はコンパクトとする。
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
0512Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 19:00:23命題
X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ である。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
証明
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で ψ の K への制限は連続 } とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
>>270より、ψ はすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分であり、
(ψμ_i), i ∈ I は総和可能であり、ψμ = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
>>80より、各 i ∈ I に対して ∫ f dψ(μ_i) = ∫ fψ d(μ_i)
f は下半連続だから ψ(μ_i)-可測であり、fψ は (μ_i)-可測である。
よって、>>328より ∫^e f dψ(μ_i) = ∫^e fψ d(μ_i) である。
>>88より、
∫^e f d(ψμ) = Σ∫^e f dψ(μ_i)
∫^e fψ dμ = Σ∫^e fψ d(μ_i)
よって、∫^e f d(ψμ) = ∫^e fψ dμ
証明終
0513１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 19:04:370514１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:12:46カトリーヌどぬーブは太ってしまいましたなあ
猫さんはフランス映画をお好きですか？
0515猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 20:14:460516１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:16:02山純さんの本を読んでもよくわかりませんな
IHESではどんな風評だったんですか？
そもそもIHESは軍関係からお金を貰っていたとか？
Grothendieckはそれに抗議して病めたとか？
それからWeil予想をDeligneにやられたのがショックだったとか？
「埋葬」ではさかんに、Deligneを攻撃しているように見えますが
あれって、 Deligneにはショックだったんじゃないですか？
0517１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:16:590518１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:17:30http://www.youtube.com/watch?v=sfFeKR3EvKY 02:50
"C'era due volte" --- rara song
http://www.youtube.com/watch?v=okO53C-DVuw
"La Banana"(1986)
0519１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:18:38ジャーナルがあんまりないｗ
0520１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:19:340521１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:20:54後者は知らんがなｗ
0522猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 20:21:31この関係の話題に関する個人見解は「初代猫スレ」のどっかに詳しく書きました
から、もうリピートはしません。「そっち」を読んで下さい。
0523１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:23:07なのに、フランスのどこだかの出版社がSGAとかどんどん再販していますよね？
どうしてなんだろ？どだいPDFがネットに転がっているし
0525１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:24:15まあしゃあないですな
0526１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:25:42有名どころで差し支えないなら教えて下さい
自殺する数学者って欝だったんですかね？
0527１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 20:27:290531猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 20:36:12まあ出版物で金取って儲かるのはＩＨＥＳとか、そんなんでしょ
だから全部をパブリックにしたらエエと思いますね
0533猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 20:41:35有名なケースではマクパーソンとゴレスキーですかね
そんでフランスにはもっともっと居ますわな
フランスでは正式に結婚する権利を求めて
定期的にデモ行進があるしねぇ
0535１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 21:13:11>480 名前: 猫ごろし Mail: 投稿日: 2009/06/09(火) 10:18:29
>>>475
>俺はKummerじゃねえよ
糞ワロタwwwwwwwwwwwwwwww
0536Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 21:44:39X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
F を位相空間とし、f を X から F への写像とする。
g: X → F をμ可測写像とし f = g (局所 a.e.) とする。
このとき f はμ可測である。
証明
N = {x ∈ X ; f(x) ≠ g(x) } とおく。
仮定より N は局所零集合(過去スレ008の58)である。
任意の x ∈ X に対して x のコンパクト近傍 V をとる。
V ∩ N は零集合であり、V - (V ∩ N) において f = g である。
すなわち V において f = g (a.e.) である。
よって可測関数の局所性(過去スレ010の500)より f はμ可測である。
証明終
0537Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 22:03:29X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
f : X → [0, ∞] を ν-可測でνに関してσ-有限(過去スレ008の8)とする。
このとき、fψ はμ-可測である。
証明
>>509より、各 n ≧ 0 に対し f_n: X → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (ν-a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で
有界かつ連続であり、K_n の外では 0 となる。
>>512より ∫^e f_0 dν = ∫^e (f_0)ψ dμ
∫^e f_0 dν = 0 であるから ∫^e fψ dμ = 0 である。
よって、過去スレ010の484より (f_0)ψ = 0 (μ-a.e.) である。
>>536より、(f_0)ψ はμ-可測である。
各 n ＞ 0 に対して f_n はμ-可測であるから (f_n)ψ もμ-可測である。
よって、fψ = Σ(f_n)ψ もμ-可測である。
証明終
0538１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:05:150539１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:13:36そうですよ
0540１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:21:22論文集が出た時、バークレーにいたので
それなりに感慨がありました
0541１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:22:55コピーが見つかったらよろしくお願いします
0542１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:25:440543１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:29:00学習経過を世に問いたいってことですか？
まあ勝手ですが、自分のとこの学生なら、そんな無駄なことせずに
勉強（研究？）しろって言いますけどね
要領の悪い学生みたいな感じですね
0544１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:32:36全然評価されませんよ
0545１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:41:46代数的整数論より関数解析に近い気がするのだけど…
そもそもこのスレのKummer氏のレスで整数の性質も
多項式すら使ってないと思うが
どうなっているの？
0546１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:46:00現代数学における代数的数論ってのは、ふつうは表現論バリバリですが……？？
0547１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:48:33>1を読め
0548１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:49:31だから何？
0549１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 22:50:24あんたのやってることは意味あんの？
0550猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 22:57:48>>81
実はGrothendieckの話の前に思い出すのがピアニストのVladimir Horowitzで
すが、僕が聞いた話では、彼は練習中に「鍵盤に突っ伏して」亡くなったそう
ですね。また同じくピアニストのSviatoslav Richterですが、ネットから次を
引用しておきます：
大変な練習魔としても知られ、弟子入りを志願した者に対し「何か教えること
があるのだとすれば、それは自分に対してなので」との理由で断ったことがあ
るという。このほか、なぜ指揮をしないのかと問われ「ピアノを弾く時間が減
ってしまうので」と答えたり、年老いてかつてのような指捌きができなくなる
とその悔しさに泣き出した等のエピソードが残っている。
（引用終わり：出典はウィキペディア日本語版）
（続きます）
0551猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 22:59:50続き：
これは僕が個人的にGrothendieckを美化し過ぎかも知れませんが、僕は次の様
に解釈しています。
彼が研究所を去った表向きの理由は「研究所が軍事関係の機関から財政援助を
受けていた」というものだとされています。（説明としては彼が「反戦主義者」
というもの。）ある筋から聞いた噂話では「数学が余りにも思い通りになり過
ぎて興味を失った」という解釈があるそうです。
僕の解釈はこれとは違っています。彼はある時点で「周囲の数学者が（無批判
に）彼を受け入れる」事に気付いて、その危険性を考えたのではないか、と僕
は解釈しています。（Deligneの行動等を考えると「この解釈」に無理がある
という批判は当然あるでしょう。）
もし仮に今「神が聖書を執筆している」としましょう。幾ら神とは言えども、
全ての構造を見通したと考えると（これが錯覚である場合も十分にあるでし
ょうが）、それを論理という言語で書き下す気をなくすという事は十分にあ
り得るのではないでしょうか。或はまた彼は自分の表現の忠実性を疑ったの
かも知れませんし、また自分が見通したものの欠陥を自分で知ってしまった
からかも知れません。また普遍構造の単一性を疑ったのかも知れません。
これ以上僕が何かを語るのは余りにも不遜なので、これで止めておきます。
0552Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/09(火) 23:12:04X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
f : X → [0, ∞] を ν-可積分とする。
このとき、fψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明
>>512より、∫^e f dν = ∫^e fψ dμ である。
f はν-可積分だからσ-有限(過去スレ008の8)である。
過去スレ010の472より ∫^e f dν = ∫^* f dν ＜ +∞
よって ∫^e f dν = ∫ f dν である。
よって ∫^e fψ dμ ＜ +∞ である。
>>537より、fψ はμ-可測である。
よって >>363より fψ は本質的に可積分である。
すなわち fψ = g (局所 a.e.) となる可積分な g が存在する。
過去スレ010の485より、∫^e fψ dμ = ∫^e g dμ である。
g はσ-有限だから、過去スレ010の472より
∫^e g dμ = ∫ g dμ = ∫ fψ dμ
以上から ∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明終
0553猫ごろし
2009/06/09(火) 23:18:28>彼が研究所を去った表向きの理由は「研究所が軍事関係の機関から財政援助を
>受けていた」というものだとされています。
これは理由としては十分すぎだろ。
Grothendieckはナチの被害者だから極端に軍事関係を嫌うのは至極もっとも。
0554１３２人目の素数さん
2009/06/09(火) 23:31:170555猫ごろし
2009/06/09(火) 23:42:30このあいだ酒のつまみにスルメイカをコンビニっで買って食いながら
歩いてたら猫が３匹くらいぞろぞろついてきた。
0556猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/09(火) 23:52:580557猫ごろし
2009/06/10(水) 00:09:55パリで冬に食って、こんなうまいものがあるのかって思ったぜ
夢中で食った。
0558１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 00:27:41食用軟体動物・うにの類？
0559やんやん ◆yanyan72E.
2009/06/10(水) 02:35:38Secheeは乾物という意味。
日本の方がfruit de merは美味しいよね。
0560１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 06:18:290561猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/10(水) 06:33:350562猫ごろし
2009/06/10(水) 07:23:20その笑いは何だよ
0563１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 07:32:15何やってんだお前
0564猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/10(水) 08:16:220565猫ごろし
2009/06/10(水) 08:47:55俺はKummerじゃないが
0566猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/10(水) 09:08:440567猫ごろし
2009/06/10(水) 09:11:00何それ
0568猫ごろし
2009/06/10(水) 09:17:160569猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/10(水) 09:47:410570猫ごろし
2009/06/10(水) 09:58:30何をいまさらｗ
さんざん先生風吹かしておいて
0571猫ごろし
2009/06/10(水) 10:00:22研究費でフランスに行ったのが自慢でしょうがないらしいな
それが唯一のプライドの元だったりしてｗ
つーか、言葉の端からみえみえだが
0572猫ごろし
2009/06/10(水) 10:05:31偉い先生とフランス語で話しちゃったもんね
すごいでしょ
ｗｗｗ
0573１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 10:51:24やっぱKummerさん名無しで書き込んでるんじゃ...
0574猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/10(水) 11:35:57「ふらんす仕込みの数学」なんだそうで、ぶる履きを含めた「豊富な知識と深い理解」で
是非ともやって欲しいですよ。そしたら呆れてたKummerさんも、聴衆の一人なんか知
りませんが、「猫ごろし先生」が活躍する姿が見れますしね。
0575猫ごろし
2009/06/10(水) 12:07:11その前に、tohokuのどこがオリジナルなのよ
0576猫ごろし
2009/06/10(水) 12:27:18>「ふらんす仕込みの数学」なんだそうで、ぶる履きを含めた「豊富な知識と深い理解」で
「ふらんす仕込みの数学」とか「豊富な知識と深い理解」なんて俺に関係ねえし
かってに拡大解釈して見えない敵を作るなと何度言えば
アホならしかたないがｗ
0577１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 12:55:59tohokuって何じゃ
0578猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/10(水) 16:20:14Sur quelques points d'algebre homologique, Tohoku Mathematical Journal,
Deuxeme Serie 9, (1957), pp119 a 221
0579１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 18:04:16日がな一日数オナやってるような肝男なんだもん
コテと名無しの使い分けなんてしてない人ってKingだけだと思う
つかKing最近いる？
0580１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 18:16:270581GiantLeaves ◆zkraGArAss
2009/06/10(水) 19:29:530582１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 19:49:010583GiantLeaves ◆zkraGArAss
2009/06/10(水) 19:55:300584１３２人目の素数さん
2009/06/10(水) 20:05:15なんだその数学以外にバージョンがあるみたいな言い方は
0585Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/10(水) 20:15:16X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
X から実数体 R への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(X, R) とする(過去スレ009の21)。
K(X, R) の有限個の元 ψ_1, ..., ψ_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1ψ_1 + ... + c_nψ_n 全体 K[F] は
L^p(X, F, μ) (過去スレ008の299)においてノルム N_p(過去スレ008の298)
に関して稠密である。
証明
f を L^p(X, F, μ) の任意の元とし、ε ＞ 0 を任意の実数とする。
過去スレ008の343より、コンパクトな台をもつ連続関数 g : X → F 全体
K(X, F) は L^p(X, F, μ) (>>299) において N_p に関して稠密である。
従って、N_p(f - g) ＜ ε となる g ∈ K(X, F) が存在する。
K = Supp(g) とおく。
φ: X → [0, 1] を K 上で 1 となる K(X, R) の元とする。
過去スレ010の265より、Supp(ψ) ⊂ K となる K(X, R) の元 ψ の
F の元を係数とする有限個の一次結合全体は K(X, K, F) において
ノルム |f| = sup{|f(x)| ; x ∈ X} に関して稠密である。
よって、|g - h| ＜ ε/N_p(φ) となる h ∈ K[F] で Supp(h) ⊂ K と
なるものがある。
すべての x ∈ X に対して |g(x) - h(x)| ＜ (ε/N_p(φ))φ(x) となる。
よって N_p(g - h) ≦ (ε/N_p(φ))N_p(φ) = ε となる。
よって、N_p(f - h) ≦ N_p(f - g) + N_p(g - h) ≦ 2ε
証明終
0586Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/10(水) 22:17:43X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
X から実数体 R への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(X, R) とする(過去スレ009の21)。
K(X, R) の有限個の元 ψ_1, ..., ψ_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1ψ_1 + ... + c_nψ_n 全体を K[F] とする。
任意の f ∈ L^p(X, F, μ) (過去スレ008の299) に対して
K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を満たすものが存在する。
1) lim N_p(f - f_n) = 0
2) 列 (f_n) は X 上で a.e. に f に収束する。
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、N_p(g) ＜ +∞
0587Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/10(水) 22:19:09>>585より K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で
lim N_p(f - f_n) = 0 となるものが存在する。
(f_n) はCauchy列だから部分列 (f_(n_k)) で
N_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ＜ 1/2^k となるものが存在する。
部分列 (f_(n_k)) を改めて (f_n) と書くことにする。
すなわち N_p(f_(n+1) - f_n) ＜ 1/2^n, n = 1, 2, ... となる。
g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおく。
N_p の可算凸性(過去スレ008の299)より、
N_p(g) ≦ N_p(f_1) + ΣN_p(f_(n+1) - f_n) ＜ +∞
過去スレ007の486より、g は a.e, に有限である。
よって級数 f_1 + Σ(f_(n+1) - f_n) = lim f_n は a.e, に収束する。
h = lim f_n (a.e.) とおく。
|h| ≦ |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| = g
よって N_p(h) ≦ N_p(g) ＜ +∞
よって h ∈ L^p(X, F, μ) である。
|h - f_n| = |h - (f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f_(n-1))|
≦ |f_(n+1) - f_n| + |f_(n+2) - f_(n+1)| + ...
よって、
N_p(h - f_n) ≦ N_p(f_(n+1) - f_n) + N_p(f_(n+2) - f_(n+1)) + ...
よって、lim N_p(h - f_n) = 0 である。
lim N_p(f - f_n) = 0 であったから f = h (a.e.) である。
証明終
0588Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/10(水) 22:49:58X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
f : X → [-∞, ∞] を ν-可積分とする。
このとき、fψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明
f(+) = sup(f, 0), f(-) = sup(-f, 0) とおく。
f = f(+) - f(-), |f| = f(+) + f(-) である。
f(+) ≦ |f| かつ f(-) ≦ |f| だから f(+) と f(-) はν-可積分である。
>>552より、f(+)ψ と f(-)ψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ f(+) dν = ∫ f(+)ψ dμ である。
∫ f(-) dν = ∫ f(-)ψ dμ である。
fψ = f(+)ψ - f(-)ψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ f(+) dν - ∫ f(-) dν = ∫ f(+)ψ dμ - ∫ f(-)ψ dμ
= ∫ (f(+) - f(-))ψ dμ = ∫ fψ dμ
証明終
0589１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:29:39いえまだ受付で写真を見ただけで確信持てません。
でもあそこまで似てると本人だと思います。
隣ですからすれ違うと挨拶しますし、エレベータの前で立ち話もします。
そんな隣の奥さんなのですが、ベランダに洗濯物干してあるのが見えてしまうんです。
うちの妻と違って、セクシーなレースのカラフルな下着が干してあります。
ピンクのとか、黄色のとか赤のとか。
受付でその奥さんの写真を見つけてしまった時、心臓が高鳴りました。
まさかとは思いました。一回はアルバムの次のページをめくったのですが、
もう一度他のページを見るふりをしながら見ました。
一枚は普通のワンピースを着てる写真。
そしてもう一枚、真っ赤な下着だけの写真。
うわの空で別の女性を頼みましたが、頭の中はあのムッチリした体を
真っ赤な下着に包み込んだあの写真でいっぱいでした。
多分、人違いだとは思うのですが、いろんな妄想が頭の中で駆け巡ってます。
0590１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:30:51全く想像でけへんしね。そんでもまあ５億だか１５億だか知らんけど、そんだけ
あったら、その金で何買ったらええのかさえ判らへんしね、そやけどもうちょっと
だけあったら潰れる直前の北朝鮮でも脅して巧い事買い叩いて、そんでド阿呆の
大将を潰して天然資源を全部吸い取ってから、空っぽになったヤツをゴミと共に
韓国か中国にでも高値で転売するんやけどね、まあそうはいかんか。
0591１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:31:44日本の偉大な数学者 １８０名限定
http://ja.wikipedia.org/wiki/Category:%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85
0592１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:33:46私の息子が小年野球をしていた頃、途中でI君親子
が同じチームに入って来ました。
I君の父親は大学時代まで野球をしており、実際に野球の
話をしていても、失礼なのですが、チームのコーチや
監督よりも野球の指導方法や理論に長けているという
感じがしていました。
I君は気さくな子供でチームにも直ぐに溶け込み
父親の指導方法も良いのか、野球センスも抜群で
当時キャッチャーをしていた私の息子と大の仲良しになり
校区は違うものの、息子同士も学校が終わった後にお互い
の家へ行き来するようになり、家族ぐるみでの付き合いも
始まりました。とは言ってもIさんはそれより2年程前に
離婚しており、父子家庭です。
私とIさんは同年齢で打ち解けるのも早く、話も合い
暇を見つけては食事や酒も一緒にするようになり
お互いの家庭の話や息子の野球や将来の事、離婚の経緯
等、時には冗談も交えながらも真剣に話をするよう
な間柄となってきたのです。
0593１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:35:17と誘うとIさんは「良いですね、是非奥さんの手料理を
ご馳走して下さい、楽しみにしています」との事。
早速妻にその事を伝えると妻は
「息子もお世話になっている事ですし良いじゃない。
腕によりを掛けておもてなしするわ」との返事です。
妻が「あなた、Iさんはお魚が好きなのかしら？
それともお肉かしら？」と訊くので「どちらでも良いはず
だよ」と言うと「ではどちらも用意しておきますね」と
答えました。
私の妻は家庭的で料理も手早く上手に造り、
顔は元アナの近藤サト似の社交的で若い頃はとてもモテて
いました。今は少し肉体的な衰えは有るもののそれ程の
衰えも無く所謂“自慢の妻”です。勿論SEXも大好きです。
その夜、我が家の4人とIさん一家2人の楽し食事会は
無事平穏に終了し、Iさん親子も満足している様子でした。
子供はTVゲームに夢中になり、3人でお酒を飲んでいる時
にIさんがふと「Yさんが羨ましいですよ、こんな綺麗な
奥さんで、しかも、料理も美味くて・・・。私もこんな
奥さんなら絶対に離婚しないだろうな」と淋しそうに
呟いていました。妻は褒められた事が満更でもなく
「そう言って貰えてうれしいですわ、Iさんと家の都合が
合えばまた食事をご一緒しましょう」と答えていました。
妻がIさんの事を気に入っている様子は会話の中でも
受け取ることが出来ました。
0594１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:37:26した為、監督コーチを交えて緊急父兄会を開催する事が
有り、その話し合いもスムースに終了したので。その後
近くのスナックで一杯どうですか？と言う話になり二人で
出掛け、チームの揉め事も一件落着し安堵したのと少し
酒が回ってきたのか、女性の話題となり盛り上がりました。
その中でIさんは私の妻をベタ褒めで「Yさんの奥さんいい
ですね〜、好みのタイプですよ。今一番抱きたい女性は？
って訊かれたら迷わずCちゃんって答えますよ」と臆面も
無く言う始末です。私はハハハと笑って答えるしかありま
せんでした。しかし、私はIさんなら妻を抱いても私自身
後悔しないだろうなと妙な納得をし、私はこの時に、もし
Iさんと妻がSEXしたら？と想像しとても興奮したのを
覚えています。私は帰り間際Iさんに「妻は徐々に激しくな
るSEXが好みで感度抜群だよ」言うと、Iさんが嬉しそうに
うなずいていたのを鮮明に覚えています。
その夜、洋裁をしていた妻が珍しく遅くまで起きていたの
でSEXの後妻に
私「Iさんは君の事をとても気にいっているみたいだよ」
妻「えっ？？？」
私「今この世の中で一番抱きたいのは君だって」
妻「へ〜そうなの？私も満更捨てたものじゃ無いわね。
SEXは別にして女として嬉しいわ」
私「もしIさんが迫って来たら君はどうする？」
妻「Iさんは素敵だし、考えちゃうわ？でもSEXは出来な
いと思うわ」
私「じゃどこまでなら許すの？」
妻「意地悪！何もしません！」
私「ハハハ・・・。」
0595１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:38:41姿を想像し第2ラウンドに突入したのです。第2ラウンドには妻を焦らしながら
私「IさんとのSEXはどう？」
妻「ダメ〜、あなたなの」
私「Iさん、気持ちいいわって言ってごらん？」
と妻の敏感な部分を焦らしつつ、攻めながら執拗に耳元でささやくと妻は根負けしたのか、ついに
「Iさん〜もっと強く〜」と叫んだのです。
妻のその言葉だけで私は絶頂に達し白濁した液を妻の中へ放出したのです。
それから少しして別の用件も有ったので電話でIさんに
私「今度の土曜日は野球も休みだから家で一杯
やりませんか？子供は近くの父母の実家に預ける
ので大人だけでゆっくり美味い食事とお酒をしま
しょう」と誘うと
I 「本当ですか？いいですね、じゃ私の息子も近くの姉の
家で預かって貰えるよう話しましょう」
その夜妻に「土曜日Iさんが食事に来るよ、また料理を
頼むね」
と言うと妻は「分かりました。今回のお料理は何にしよう
かな？」と楽しみな様子で答えていました。
その間SEXの最中やピロー・トークで妻にIさんとのSEXを
想像させ、Iさんに抱かれる抵抗を無くするように仕向けて
いました。妻が段々その気になり抵抗も薄れていることを
私はヒシヒシと感じ興奮していました。
0596１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:40:14その間にモーションをしてみれば？」と言っていましたがコンビニでの30分は
異様に長く感じられ、雑誌を捲っても今起きているであろう妻とIさんの
痴態を想像し全く内容も頭に入って来ません。しかも情けない事に私の心臓はバクバクし、
喉はカラカラに乾き下半身は既に堅く鋭く屹立していました。
やがて時間も過ぎたので缶チューハイを片手に家に帰る事にしましたが、コンビニの
レジでお金を渡す時と貰う時に興奮で私の手が震えており従業員から少し怪訝な顔をされ
たのを覚えています。それ程私は興奮していたのです。玄関を開けて居間へ行くと二人は笑って
談笑しておりIさんと妻は声を揃えて「随分遅かったじゃない？」等と言う始末で、私はこれは何も
無かったのかな？と少しガッカリしましたが、部屋の匂いは誤魔化せません。
居間には女の匂いというより、雌の匂いが充満しています。
Iさんの唇を見ると妻のルージュが付いているのを発見し、
妻の唇のルージュが完全に剥がれ落ちているのを確認し、
激しいキスを交わしたのだなと想像出来ました。
もうそれだけで私の心臓は早鐘のように鳴り出し、頭はくらくらとまるで
夢遊病者のような気分でした。Iさんがトイレに立った隙に妻の股間へ手を伸ばすと、
既にTバックは剥ぎ取られ妻の蜜壷は愛液で溢れています。
私「触られたの？」
妻「うん・・・。あなた本当にいいの？」
私「今夜CちゃんはIさんの物になるんだよ」
妻はただ俯いてうなずくだけでした。
妻にベッドルームへ行くよう促し、トイレから出て来たⅠさんにその旨伝えると
Ⅰ「本当にいいのか？」
私「いいよ、Cも納得してるし、君もそのまま帰れない
だろう？」と言うと苦笑いをしながらベッドルームへと消えていきました。
0597１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 00:42:04きます。これは妻が十分感じている時の喘ぎ声です。
Iさんが何か妻に言っているのですが、いくら聞き耳を
立てても聴き取る事が出来ません。そのうち妻の「その
まま入れて〜」と言う声が聞こえました。
ゴムを着けるか、生で入れるのか妻に聞いていたようです。
暫くすると妻の「アッアア〜ン」と言う喘ぎ声が徐々に
リズミカルになります。Iさんのペニスを受け入れているの
だなと想像しましたが、その時私は居ても立っても我慢
出来ずベッドルームへの禁断の扉を開けてしまいました。
そこには妻は大きく足を拡げられ、その中に中腰で奥深く
妻の中へペニスを出し入れしているIさんと妻の痴態が
薄闇の中に見ることが出来ました。
暫くして私が入って来たのを二人は気付きましたが、
私の事など眼中に無く、まるで自然の中で求め合う
野性的な二匹の雄と雌のSEXに圧等された私でした。
延々3時間ほど抱き合った二人は仲良くシャワーを浴び
Iさんは帰り間際「ありがとう、今夜の出来事は一生忘れ
ません」Yさんご夫婦に感謝します。とタクシーで帰って
行きました。
その夜は夫婦で燃えに燃えてたっぷり愛し合った事も
申し添えておきます。
0598Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/11(木) 00:51:42X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
ここで、ψμ は μ と ψ の積(過去スレ010の588)である。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : X → F を ν-可積分とする。
このとき、fψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
0599Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/11(木) 00:52:37>>586より、K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。
1) lim ∫ |f - f_n| dν = 0
2) 列 (f_n) は X 上で a.e. に f に収束する。
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∫ g dν ＜ +∞
g はν-可積分だから、>>552より gψ は本質的にμ-可積分である。
|f_n| = |f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f(n-1))|
≦ |f_1| + |f_2 - f_1| + ... + |f_n - f(n-1)| ≦ g
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∫ f dν = lim ∫ f_n dν
|(f_n)ψ| ≦ gψ で gψ は本質的にμ-可積分であるから
μ-可積分関数 h があり gψ = h (局所 μ-a.e.) となる。
よって、X のμ-可測集合 E で X - E がμ-局所零集合となるものがあり
|(χ_E)(f_n)ψ| ≦ h
Lebesgue の項別積分定理より
∫ (χ_E)fψ dμ = lim ∫ (χ_E)(f_n)ψ dμ
(f_n)ψ はμ-可積分であるから、過去スレ010の455より、この右辺は
lim ∫ (f_n)ψ dμ に等しい
一方、>>588より
lim ∫ (f_n)ψ dμ = lim ∫ f_n dν = ∫ f dν
よって、∫ (χ_E)fψ dμ = ∫ f dν
すなわち、fψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ fψ dμ = ∫ f dν となる。
証明終
0600猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/11(木) 01:11:21ほんで「代数的整数論」はどうなったん？
0601１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 01:24:35専門から遠すぎます？
0602１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 01:26:285分もすると妻の悲しそうな哀願するような声が聞こえて
きます。これは妻が十分感じている時の喘ぎ声です。
Iさんが何か妻に言っているのですが、いくら聞き耳を
立てても聴き取る事が出来ません。そのうち妻の「その
まま入れて
0603猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/11(木) 01:38:04ありますね。それに表現論も好きだしね。
うん、何処か安全な場所に退避してまとまった時間が確保出来たら
数論幾何を何とか齧ってみたいと考えてますよ、何時の事になるや
ら知らんけどサ
0604１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 02:03:56今の整数論の中心的なトピックって…？
0605猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/11(木) 02:28:090606１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 08:43:160607Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/11(木) 09:58:54>一方、>>588より
>lim ∫ (f_n)ψ dμ = lim ∫ f_n dν = ∫ f dν
ここは論理の飛躍があった。
f_n は K[F] の元であるから
K(X, R) の有限個の元 s_1, ..., s_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1s_1 + ... + c_ns_n である。
>>588より ∫ (f_n)ψ dμ = ∫ f_n dν を言うには
各 i について ∫ (c_is_i)ψ dμ = c_i∫ (s_i)ψ dμ を示す必要がある。
これは次の命題から得られる。
0608Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/11(木) 09:59:42X を局所コンパクト空間とし、
μを X 上の実または複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
F を実または複素Banach空間とする。
ただし、μが実Radon測度でないときは F は複素数体上のBanach空間とする。
c ∈ F, f ∈ L^1(X, R, μ) のとき cf ∈ L^1(X, F, μ) であり、
∫ cf dμ = c∫ f dμ である。
証明
実数 t に ct ∈ F を対応させる写像を u: R → F とする。
|ct| = |c||t| だから u は連続である。
過去スレ010の394より、uf ∈ L^1(X, F, μ) であり、
∫ uf dμ = u(∫ f dμ) である。
証明終
0609１３２人目の素数さん
2009/06/11(木) 11:16:075分もすると妻の悲しそうな哀願するような声が聞こえて
きます。これは妻が十分感じている時の喘ぎ声です。
Iさんが何か妻に言っているのですが、いくら聞き耳を
立てても聴き取る事が出来ません。そのうち妻の「その
まま入れて
0610１３２人目の素数さん
2009/06/12(金) 00:30:38まんこ
0611Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/12(金) 19:53:33X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続な関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
このとき、∫^* f dν ≧ ∫^* fψ dμ である。
証明
g : X → [0, ∞] を X 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数で
f ≦ g とする。
fψ ≦ gψ であるから、∫^* fψ dμ≦ ∫^* gψ dμ
>>80より、この右辺は ∫^* g dν である。
一方、上積分の定義(過去スレ008の146)から
∫^* f dν = inf {∫^* g dν ; f ≦ g, g は下半連続 }
よって、∫^* fψ dμ≦ ∫^* f dν
証明終
0612Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/12(金) 20:44:45X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続な関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
f : X → [0, ∞] を ν-可積分とする。
このとき、fψ はμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明
>>509より、各 n ≧ 0 に対し f_n: X → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (ν-a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で
有界かつ連続であり、K_n の外では 0 となる。
>>611より ∫^* f_0 dν ≧ ∫^* (f_0)ψ dμ である。
∫^* f_0 dν = 0 であるから ∫^* (f_0)ψ dμ = 0 である。
各 n ＞ 0 に対して
U_n を K_n ⊂ U_n で ν(U_n) ＜ +∞ となる開集合とする。
M_n = sup{f(x); x ∈ } とおく。
h_n = M_nχ_(U_n) とおけば、f_n ≦ h_n である。
g_n = h_n - f_n とおく。
h_n は下半連続である。
f_n は上半連続であるから g_n は下半連続である。
(続く)
0613Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/12(金) 20:45:27>>80 より
∫ h_n dν = ∫ (h_n)ψ dμ
∫ g_n dν = ∫ (g_n)ψ dμ
である。
h_n と g_n は有界であるから
∫ h_n dν ＜ +∞
∫ g_n dν ＜ +∞
である。
f_n = h_n - g_n であるから
∫ f_n dν = ∫ h_n dν - ∫ g_n dν
= ∫ (h_n)ψ dμ - ∫ (g_n)ψ dμ = ∫ (f_n)ψ dμ
よって
∫ f dν = ∫ (Σf_n) dν = Σ∫ f_n dν = Σ∫ (f_n)ψ dμ
= ∫(Σf_n)ψ dμ = ∫ fψ dμ
証明終
0614Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 00:49:42X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続な関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : X → F を ν-可積分とする。
このとき、fψ はμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
0615Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 00:50:45>>586より、K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。
1) lim ∫ |f - f_n| dν = 0
2) 列 (f_n) は X 上で a.e. に f に収束する。
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∫ g dν ＜ +∞
g はν-可積分だから、>>612より gψ はμ-可積分である。
|f_n| = |f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f(n-1))|
≦ |f_1| + |f_2 - f_1| + ... + |f_n - f(n-1)| ≦ g
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∫ f dν = lim ∫ f_n dν
|(f_n)ψ| ≦ gψ で gψ はμ-可積分であるから
Lebesgue の項別積分定理より
∫ fψ dμ = lim ∫ (f_n)ψ dμ
一方、>>612と>>608より
lim ∫ (f_n)ψ dμ = lim ∫ f_n dν = ∫ f dν
よって、∫ fψ dμ = ∫ f dν
すなわち、fψ はμ-可積分であり、
∫ fψ dμ = ∫ f dν となる。
証明終
0617Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 00:59:25X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続な関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
f : X → [-∞, ∞] を ν-可積分とする。
このとき、fψ はμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明
f(+) = sup(f, 0), f(-) = sup(-f, 0) とおく。
f = f(+) - f(-), |f| = f(+) + f(-) である。
f(+) ≦ |f| かつ f(-) ≦ |f| だから f(+) と f(-) はν-可積分である。
>>612より、f(+)ψ と f(-)ψ はμ-可積分であり、
∫ f(+) dν = ∫ f(+)ψ dμ である。
∫ f(-) dν = ∫ f(-)ψ dμ である。
fψ = f(+)ψ - f(-)ψ はμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ f(+) dν - ∫ f(-) dν = ∫ f(+)ψ dμ - ∫ f(-)ψ dμ
= ∫ (f(+) - f(-))ψ dμ = ∫ fψ dμ
証明終
0618Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 10:52:19X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
S = {x ∈ X; ψ(x) ≠ 0} とおく。
このとき、X の部分集合 N がνに関して局所零集合であるためには
N ∩ S がμに関して局所零集合であることが必要十分である。
証明
>>512より
∫^e χ_N dν = ∫^e (χ_N)ψ dμ である。
N がνに関して局所零集合であるとする。
過去スレ010の485より、∫^e χ_N dν = である。
よって ∫^e (χ_N)ψ dμ = 0 である。
過去スレ010の484より、(χ_N)ψ = 0 (局所 μ-a.e.) である。
よって、N ∩ S はμに関して局所零集合である。
逆も同様にして証明される。
証明終
0619１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 12:30:27私の息子が小年野球をしていた頃、途中でI君親子
が同じチームに入って来ました。
I君の父親は大学時代まで野球をしており、実際に野球の
話をしていても、失礼なのですが、チームのコーチや
監督よりも野球の指導方法や理論に長けているという
感じがしていました。
I君は気さくな子供でチームにも直ぐに溶け込み
父親の指導方法も良いのか、野球センスも抜群で
当時キャッチャーをしていた私の息子と大の仲良しになり
校区は違うものの、息子同士も学校が終わった後にお互い
の家へ行き来するようになり、家族ぐるみでの付き合いも
始まりました。とは言ってもIさんはそれより2年程前に
離婚しており、父子家庭です。
私とIさんは同年齢で打ち解けるのも早く、話も合い
暇を見つけては食事や酒も一緒にするようになり
お互いの家庭の話や息子の野球や将来の事、離婚の経緯
等、時には冗談も交えながらも真剣に話をするよう
な間柄となってきたのです。
0620Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 13:15:25X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
S = {x ∈ X; ψ(x) ≠ 0} とおく。
f を X から位相空間 G への写像とする。
f がν-可測であるためには f が S においてμ-可測であることが
必要十分である。
証明
f がν-可測であるとする。
過去スレ008の177より、
f の制限が連続となるような X のコンパクト集合全体はν密(>>48)である。
>>50より、S の任意のコンパクト集合 L に対して ν零集合 N と
コンパクト集合の列 (K_n) があり、
L = N ∪ K_1 ∪ K_2 ∪ ... となる
ここで、i ≠ j のとき K_i ∩ K_j = φ
>>618より、N はμ局所零集合である。
N はコンパクト集合 L に含まれるからμ零集合である。
よって、>>122より、f は S においてμ-可測である。
（続く）
0621Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 13:16:15逆に f が S においてμ-可測であるとする。
f の制限が連続となるような X のコンパクト集合全体をΨとおく。
N を X の部分集合で、任意の L ∈ Ψ に対して N ∩ L がν零集合と
なるようなものとする。
N が局所ν零集合であることを示せばよい。
何故なら、>>50よりΨはν密となり、過去スレ008の177より f はν-可測である。
S のコンパクト部分集合で f の制限が連続なもの全体をΦとする。
f は S においてμ-可測であるから >>122より Φ は S においてμ密である。
任意の H ∈ Φ に対して、H ∈ Ψ だから N ∩ H はν零集合である。
>>618より、N ∩ H ∩ S = N ∩ H がμに関して局所零集合である。
H はコンパクトだから N ∩ H はμ零集合である。
>>50より、N ∩ S は局所μ零集合である。
よって、>>618より、N は局所ν零集合である。
証明終
0622１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 13:18:12女には全員マンコがついているという。
だがちょっと待って欲しい。
女全員にマンコがついているとすると、日本だけで約6000万個のマンコが存在することになる。
俺の住んでる東京都だけでも600万個以上のマンコが存在する計算だ。
だが、俺は２８年東京に住んでいるがいまだかつて一度もマンコを目撃したことがない。
例えば東京都のコンビニの数は５０００店と言われている。
５０００店のコンビにでさえ少し歩けば２，３店は見かけるくらいの数である。
それにもかかわらず、６００万個も存在するマンコを２８年間一度も見たことがないというのは、
確率的にありえないのではないか
0623１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 13:41:21>>620の続き。
マンコは都市伝説だと思う。
女には全員マンコがついているという。
だがちょっと待って欲しい。
女全員にマンコがついているとすると、日本だけで約6000万個のマンコが存在することになる。
俺の住んでる東京都だけでも600万個以上のマンコが存在する計算だ。
だが、俺は２８年東京に住んでいるがいまだかつて一度もマンコを目撃したことがない。
例えば東京都のコンビニの数は５０００店と言われている。
５０００店のコンビにでさえ少し歩けば２，３店は見かけるくらいの数である。
それにもかかわらず、６００万個も存在するマンコを２８年間一度も見たことがないというのは、
確率的にありえないのではないか
0624Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/13(土) 14:09:38X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
X の部分集合 N がμ局所零集合であるためには、各 i に対して
N が (μ_i)-局所零集合であることが必要十分である。
証明
>>88より、∫^e χ_N dμ = Σ∫^e χ_N d(μ_i) である。
過去スレ010の484と485より
∫^e χ_N dμ = 0 と χ_N = 0 (μ-局所 a.e.) は同値である。
同様に
∫^e χ_N d(μ_i) = 0 と χ_N = 0 ((μ_i)-局所 a.e.) は同値である。
これから本命題はただちに得られる。
証明終
0625１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:06:25私「ええ、良いわ きて！」
彼「うっ 出る！」
彼は1時間ほど私の中に入っていた、 久しぶりに彼の感触を腟一に感じなが
ら今日最初の精を私の腟深くに注ぎこんだ。
私は41歳。主人は市役所勤めで一回り年上、子供は二人で中学生の女の子と
小学校に通う男の子。
私は結婚前も結婚後も男は主人のみ。
主人は公務員、堅物で家ではすごく威張っている。
家ではストレスが溜まり唯一リラックス出来るのがパート勤めを了解してく
れている事で週3〜4日働いている。時には遅くなる時間帯もありその時は主
人に子供の面倒をお願いしてる。
夫婦生活は最近は嫌でなるべく主人が寝た後に布団に入るようにして居ま
す。
そんな私が不倫をするなんて・・・墓場まで持っていく私の秘密。
0626１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:07:55久しぶりに同僚と飲み、そのまま勢いで自宅に同僚も連れて帰った。
妻はいきなりの来客に驚いた様子だったが、嫌がるそぶりも見せずに応対した。
早速飲み直しとなったが、いかんせん出張の疲れのせいか、１時間ほどで私がダウンしてしまった。
ふと目を覚ますと、ベッドの上だった。どうやら妻と同僚が運んでくれたらしい。
隣を見るとまだ妻の姿はない。まだリビングで飲んでいるのだろうか？
のそのそと起き上がり、リビングに下りていく。
階段の途中で、妻の声が聞こえた。
「ああっ・・だめっ・・ひいぃっ」
明らかに嬌声とわかる。同僚が妻を犯しているのだろうか？
鼓動が早くなる。ゆっくりと物音を立てないようにしてリビングの前まで進んだ。
耳を澄ませて中を伺う。ぴちゃぴちゃという水音と妻の喘ぎ
時々ぎしっとソファのきしむ音が聞こえる。
僅かにリビングの扉を開け、覗いてみた。
0627１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:08:50ベージュのスカートは捲り上げられ、ブルーのパンティは既に片足から外れて
もう一方の膝に引っかかっているだけだった。
ブラウスのボタンはほとんどが外されており、
ずり下げられたブラから露出した乳房を下から同僚の手がもみしだいている。
同僚のもう一方の手は妻の膝裏のあたりを掴み高く上げ、
ちょうど股間に潜りこむ格好で妻の秘部を舐めているようだった。
恥ずかしいからだろうか、妻は両手で顔を覆っている。
それでも乳首を摘まれたり激しく秘部をすする音がする度に
「ひっ」と喘ぎ声を上げて首をのけぞらせている。
この状況に私はひどく興奮していた。自分の妻が同僚によって感じさせられている・・・
確かに妻の肉体は敏感なほうだ。私の愛撫でも十分に反応し、いつも愛液を溢れさせていた。
さらに妻はこの３週間のあいだセックスをしていない。
どちらかと言えば性欲の強い妻にとってこの禁欲期間は辛い。
そしてこの同僚は社内でも名うてのプレイボーイとして有名な男だ。
0628１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:10:04バツイチになってからは出世をあきらめ、社内外の女を片っ端から食いまくっているテクニシャンだ。
そんな男の手にかかれば、ただでさえ性欲をもてあまし気味の妻だ。一たまりもあるまい・・
同僚が顔を上げ、硬くしこった乳首に吸い付いた。びくっと妻は身体をのけぞらせる。
いつも間にか同僚の手は妻の股間に忍び込み、秘部にさし込まれているようだった。
くちゃくちゃとかき回す音が響く。妻の肉体はびくびくと痙攣し、指の動きにあわせるように腰が上下する
「ああっ、いやっだめっ・・イっちゃうっ」
「いいんだよ奥さん、何度でもイカせてやるから・・いつか奥さんとやってみたかったんだよ」
「ああっ、そこだめっ・・変なのぉ、変な感じなのぉっ、
主人のときとは違う・・漏れちゃう、漏れちゃうよおっ・・」
「そうか奥さん、潮吹いたことないんだ・・じゃあ思いっきり潮吹きさせてあげる・・そらっ」
同僚の手が一際激しく動くと、妻は全身をのけぞらせて「ひいいぃっ」という悲鳴にも似た声を上げた。
次の瞬間妻の股間から透明な液体が飛び散り同僚の腕を濡らし、
一部はソファの前のテーブルまで汚したようだった。
それは衝撃的な光景だった。私とのセックスで妻は潮を吹いたことなどなかった。
0629１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:11:19それは私にとって大変な屈辱と同時に興奮でもあった。
私のペニスはこの時パジャマの中で驚くほど固くいきり立っていたのだ。
妻の身体がゆっくりとソファに崩れ落ちた。
荒い息をしているようで呼吸の度に胸が上下している。
かちゃかちゃと同僚がベルトを外す音がした。
ゆっくりと身体を持ち上げて、妻の股間に狙いをつけているようだった。
妻は視線を下に向けている。
今まさに自分の貞操を奪おうとしている夫以外のペニスに視線がくぎ付けのようだ。
同僚のペニスは私と比べてかなり大きいはずだ。勃起していない状態にもかかわらず
私の勃起したときのサイズとさほど変わらない。
そのペニスは今十分に充血して妻の秘部に差し込まれようとしているのだ。
0630１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:12:31２，３度腰を動かすと妻は「ひっ」と声を上げた。クリトリスを擦ったのだろうか。
低い声で「入れるぞ」と同僚が言った。それは同意を求めると言うよりも宣告に近いものだった。
「いや・・いや」妻の小さな抵抗の声も実体を伴っていなかった。
さっきよりもやや深い角度で同僚は腰を妻の中にゆっくりと沈めていく。妻の首がのけぞる。
「ああっ・・はああっ・・ああっ」妻の口から喘ぎが漏れる。
妻の膣がきついのだろう、同僚は何度か浅い抽送を繰り返しながら妻の耳元で囁いた。
「奥さんのおまんこはキツイねぇ、なかなか奥まで入らないよ・・どう、旦那と比べて？」
「・・ああっ、お、大きいわ・・とっても大きい、裂けちゃいそう・・」
同僚の眼を見つめながら妻は答えた。すでに状況はレイプではなくなっていた。
妻は自分からゆっくりと腰を動かしてより深い挿入を促している。
その成果はすぐに結果となって現れた。
同僚が一際深く腰を突き入れると妻は小さな悲鳴とともに首をがくんを折った。
軽くオーガズムに達しているようだった。
0631１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:15:04豊満な妻の乳房が露になる。
やや黒ずみかけた大き目の乳首は硬くしこっていた。それを同僚の無骨な指が摘み、弄ぶ。
その間もピストン運動は休みなく行われていた。妻のあえぎはとどまる事を知らない。
濡れた粘膜の擦れ合うぬちゃぬちゃという音がリビングに響いている。
妻が何度目かの絶頂に達すると、
同僚は妻の身体をひっくり返して今度はバックから撃ち込み始めた。
後ろから乳房をわしづかみにし、髪の毛を引っ張り唾液を飲ませる。
私には到底真似できないサディスティックな責めだ。
しかしなにより驚いたのはそういう行為を妻が喜んで受け入れたように見えたことだった。
確かに妻は性欲の強い女だが、そのようなアブノーマル的行為には全く興味を示さなかったのだ。
同僚の指が妻のアナルに差し込まれ、妻が狂ったように腰を振りたくるのを見て私は悟った。
（妻は、同僚の女になった。）
未体験の快楽を与えてくれる男になら、女なら誰だって服従するはずだ。
同僚の撃ち込みが速くなり、フィニッシュを迎えようとするときに妻の口から発せられた決定的な言葉。
「中、中で出して・・」
脳天をハンマーで殴られたような衝撃、そして恍惚。
自分の妻が他の男に膣内射精を乞う。今まで経験したことのない程の屈辱と興奮が私を襲う。
同僚が妻の中に射精する姿を見て、私もパンツの中に大量の精液を発射した。
ゆっくりと同僚がペニスを抜き取り、妻の前に回ると妻はいとおしそうにそれを咥えた。
私は二人に気づかれないように２階に戻った。
0632１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:17:36妻と同僚の絡み合う姿が脳裏から離れないまま、私は一人寝室の天井を見つめて妻を待っていた。
同僚の手によって何度も何度も絶頂を極めさせられ、最後には中だしを乞うた妻。
夫である私にとってこれ以上の屈辱はない。怒りにも似た嫉妬の炎が私を眠りにつくのを許さなかった。
その光景を覗きながら興奮しパンツの中に射精してしまったにもかかわらず
再び私のペニスは膨張していた。
妻を抱きたい。心からそう思った。
同僚が蹂躙した妻の白く豊かな乳房を思いきり揉みしだき、
ついさっきまで同僚のペニスが差し込まれていた秘部に思いきり突き立て、
同僚の精液の残滓を私の精液で塗りつぶし、
夫である私こそが本来の所有者であるという証を妻の身体に刻みたかった。
しかし、妻はなかなか帰ってこなかった。悶々としながら時が流れていく。
ようやく妻が寝室に入ってきたのは、それから２時間が経ってからだった。
反射的に私は寝たふりをしてしまった。同僚との情事を覗き見ていたことを知られてはいけない。
妻は私を起こさないようにそっと寝室のつきあたりにある整理箪笥まで行き、引出しを開けた。
そっと薄目を開けて妻の姿を見る。妻はバスタオル一枚を身体に巻きつけている。
洗いたての髪から雫が垂れている。
同僚との情事の痕跡を消すために全身を洗ったに違いない。
引出しから取り出したパンティを穿き、バスタオルをはらりと取った。淡い光の下で妻の乳房が揺れる。
白いスリップを身につけると妻は私のほうに向き直った。慌てて目を閉じる。
妻は私が寝ているベッドに畳んでおいてあったパジャマを取ったようだった。
しばらくして妻がベッドに入ってきた。
0633１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:22:20Kummerにとっては望むところだろ
0634１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:26:29慌てて足を速めた和男だったが、居間に入った瞬間目にした光景に立ち竦むことになる。
先刻までと同じ場所に白い裸身が横たわっている。雅代は素っ裸にされていた。
その両肢の間に位置した三上が、ゆっくりと腰を進めていく。どうやら、たった今本格的な凌辱を始めようとしているらしかった。
和男が場を離れてから、けっこうな時間がたっているのに。その間、雅代を裸に剥くことをじっくり楽しんだのか、或いは前戯のようなことをしていたのか。どちらにしても、ただ凶暴な衝動に急かされていた和男とは、やはり違う。
違うといえば、いま雅代を貫こうとするやり口もそうで。焦れったいほど、まさに寸刻みといった具合で、ゆっくりと腰を送りこんでいる。
それなのに。
「……ん…ク、ん、ぁっ…」
雅代は眉間に深く苦悶の皺を刻んで、深く重いうめきを洩らしているのだ。三上の侵入につれ、背を反らし、白い喉をのけぞらせて、乱れ髪を絨毯に擦りつける。体の横に投げた両腕には力がこもって、鉤爪に折った指が絨毯に食い込んでいた。
「んああッ」
ようやく三上が根元まで埋めこむと、雅代は上擦った叫びを張り上げて、カッと眼を見開いた。茫然と三上を見上げた。
「なかなか、いいな」
上体を起こしたまま仰臥する雅代を貫いた三上が呟く。級友の母親の女体の構造を褒めたらしい。微かに口の端が緩んでいた。
吸い寄せられるように、和男は近づいていった。
数歩の距離を置いて立ち止まる。雅代の肢に隠れていた結合部を目の当たりにして息をのんだ。
ぴったりと密着した股間、互いの毛叢に隠れて、野太い肉根が女肉を抉っているさまが窺えた。その魁偉なほどの逞しさは、三上が僅かに腰を引いたことで、より明確となった。
（……デケえ…）
0635１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 15:28:35三上の些細な動きに直ちに反応して、雅代は堪えきれぬように声を洩らした。
三上はさらにゆっくりと極太の肉茎を引き抜き──ずん、と突きこんだ。雅代が重いうめきをついて、キリキリと歯を食いしばる。
そのまま三上は注挿の動きに入る。あくまでもゆっくりと。
和男は瞬きも忘れて、クラスメイトと友人の母が繋がりあった部分を凝視した。太い剛直に引き裂かれた女肉、
抜き挿しにつれて生々しい色合いの肉襞が引き
摺り出され巻き込まれていく。軋む肉の苦鳴が聞こえるようだった。
「あっ、んん……くッ」
雅代は苦吟の声を洩らして身悶えている。首を左右にふり、何度となく背を反らす。きつく眉根を寄せ、唇を噛みしめた苦悶の表情が凄艶で、和男は見惚れた。
雅代は弱い声を聞かせまいとしているようだが、三上が重々しく腰を打ちつければ、
引き結んだ唇は解けて堪えようのない苦痛の声が洩れるのだ。
──苦痛の？
「ああぁっ」
また最奥を抉りこまれて、雅代がほとびらせた高い叫びに、和男は鼓動を跳ねさせて目を見開いた。そこに、ほんの微かにだが甘い響きを聞いた気がして。
（まさか？）
「だいぶ馴染んできたな」
三上が呟いた。しごく当然なこと、といった口調で。
和男は、ふたりが繋がった部分に視線を戻して、三上の言葉を裏付ける光景を目にした。依然、もどかしいほどのペースで雅代を穿つ三上の剛直は、いつの間にかヌラヌラと輝いている。そして、太い肉茎にまとわりつく滑り（ぬめり）は、
注挿の動きひとつごとに顕著になっていって。
微かに隠微な濡れ音が和男の耳に届く。
0636１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 18:41:00じゃあ下げて荒らすことにする(^O^)／
0637１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 18:54:49あらしてくれ
0638猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/13(土) 20:05:340639１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:24:03愕然とする和男の目の前で、三上は徐々にその動きを強め、それにつれて雅代の身悶えは激しくなっていった。白い胸肌や頸には血の色が昇って
細かな汗が滲んでいる。蒼白だった頬も、ぼうと上気して、きつく顰められていた眉は解けつつあった。
信じられない思いで和男は見つめた。雅代の、こんな変貌は予想もしていなかった。あの、いつも淑やかで落ち着いた雰囲気を身にまとっていた隆史の
ママが、息子の友人たちに襲われ犯される恥辱のなかで、苦痛以外の反応を見せるなどとは。
三上が片手を伸ばして、律動に合わせて揺れ踊る胸乳を掴んだ。豊かな肉房を揉みつぶすと、雅代の口から感じ入った声が洩れる。歪に形を変える柔肉、
食いこんだ指の間からセピア色のニップルが突き出して。勃起して色を濃くしたその尖りをこりこりと弄われれば、雅代は“あっあっ”と舌足らずな声を断続させる。
嬌声としか聞こえぬ声を。
「お、おばさんっ！？」
思わず和男は呼びかけていた。自分の立場も忘れて、“しっかりして”と。
雅代が眼を開き、けぶる瞳が傍らに立つ和男を捉えて、
「あぁっ、み、見ないで」
羞恥の叫びを上げ、掌をかざして泣きそうに歪んだ貌を隠した。
「……おばさん」
いまさらとも思えるその懇願は、なにを恥じ入るものか。和男に身を穢されたあとも崩さなかった気丈さは霧消して、
隆史の綺麗なママはかつて見せたことのない
弱々しさを露わにしている。
「田村」
不意に三上が和男を呼ぶ。悠然と雅代を犯しつづけながら。
「あ、え？」
「携帯持ってんだろ」
「え？ なに？」
「撮っておけよ」
数瞬遅れて、和男はその意味を理解する。携帯のカメラで、この場面を撮影しておけという指示。
「……でも、それは…」
逡巡した。口ごもりながら異を唱える和男に、三上はもう目をくれない。
0640１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:25:32しかしまだ眼前の光景にレンズを向ける踏ん切りはつかない。
「い、いやっ！？ ダメよっ」
立ち竦む和男の手の携帯電話を目に留め、その意味を悟った雅代が必死な声を上げる。当然だと和男は思った。
この場の記録を画像として残すことは、雅代の口を封じる保険になる──と同時に。絶対的な弱みを握るということでもあった。
「それだけはやめてっ！ 撮らないでっ」
だからこそ雅代は半狂乱になって拒絶し、和男はカメラを向けることをためらったのだが。
「やめてっ、和男く……んあああっ」
ひと際深く抉りこんだ三上の攻撃に、懇願を高い嬌声に変えて雅代が仰け反りかえった瞬間、和男は反射的にシャッターを押してしまう。
「アアッ、いやぁ」
短く鳴り響いたシャッター音は、雅代に絶望の声を上げさせ、和男の逡巡を吹き飛ばした。またひとつラインを踏み越えてしまった
自分に戦慄しながら、今度はしっかりと狙いを定めてシャッターを押した。咄嗟に顔を背け片手をかざした雅代の姿が切り取られる。
肌が粟立つような昂奮を感じながら、和男はさまざまな角度から息子の級友に犯される親友の母親の姿を撮りまくった。
極限までいきり立った股間から凄まじい脈動が伝わる。
諦めたのか、雅代はもう懇願するのもやめて、ただ低くすすり泣くばかり。だが悲痛な泣き声もすぐに乱れ弾んでいくのだ。
「……あぁ…んっ…まだ、なの……」
濡れた眼で三上を見上げて、弱い声で呟いた。
三上はなにも答えず、少しだけピッチを上げ腰の振幅を大きくした。
「ああっ、……もう、もう終わりにしてっ」
震える声は切迫して、怯えの色が滲んだ。迫り来る“なにか”に雅代は狼狽し恐怖していた。
0641１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:27:05大きく開けた口から生臭いような叫びを迸らせた。
「アアッ、いや、イヤイヤッ」
乱れ髪を左右に打ち振り、うわ言のように繰り返した。三上の腕を掴んで爪をたてる。
僅かに息を弾ませた三上は、えぐいほどの腰使いで、はるか年上の女を追いこんでいく。突き上げ、掻き回し、抉りこむ。
カメラを構えたまま、和男は呼吸も忘れて見守っていた。
「アアッ、だめっ、ダメッ──」
哀しげな叫びが急に途切れ、雅代の豊かな腰が堰を切ったように激しくのたうち、太腿が三上の尻をギュッと挟みこんで。弓なりに背を
反らせた体勢のまま数秒硬直して。やがてガクガク
と痙攣しながら弛緩していく。
なにが起こったのか。和男はしばらく理解できなかった。
（……おばさん……イっちゃったんだ……）
胸中へ呟いて、しかしまだ信じられない思いのまま、携帯を雅代の顔に向ける。
画面の中の雅代の貌。理不尽な凌辱のすえ、無理やり絶頂に追い上げられた親友の母の表情は。
じっとりと汗に濡れて。閉じられた瞼も頬も紅潮して。半ば開いた唇、形のよい小鼻から荒い息を吐いて。微かに寄せられた
眉根に悲哀の色を滲ませてはいたが、それでも。陶然と蕩けているように見えた。
そのまま和男はシャッターを押した。
三上が雅代の身体を転がして横向きにさせた。下になった太腿を跨ぎ、もう一方の肢を持ち上げて踵を肩に乗せる。
べと濡れの雅代の股間を穿ったものは些かの萎えも見せておらず、和男は三上がまだ欲望を遂げていないことを知った。
0642１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:29:25雅代が荒い息の下から弱い声を上げる。あられもない姿勢から逃れようと、下になった腕が虚しく絨毯の上を泳ぐ。
しかし、変則的な体位から三上が動きを再開すると、たちまち雅代は甲走った声を迸らせて喉をさらした。
「も、もう、ゆるしてっ」
深い怯えの色を浮かべた眼で三上を仰ぎ見て涙声で哀願する隆史のママ。しかし聞き入れられるはずもなく、
三上が力強く腰を叩きつければ、赦しを乞う声は悲痛な、だがどうしようもなく女の弱さを滲ませた叫びへと変えられてしまう。
すでに一度征服した年上の女の身体を三上は容赦なく攻め立てた。浅く小刻みなスラストで雅代を囀り啼かせたかと思うと、
最奥まで抉りこみこねくり回して生臭いおめきを搾り取る。
「ああっ、いや、いやっ」
否応なく淫らな反応を引き出される惨めさに雅代はすすり泣いて。なんとか惑乱をふりはらおうと床に頭を打ちつけるが、
和男にはそれも無駄なあがきとしか見えなかった。
息子と同じ年の若い男に犯され、のたうちまわる豊満な裸体は全身が艶やかな桜色に染まって汗にまみれている。巨きな乳房は
重みに引かれて横に垂れ下がり重なりあって。苛烈な情交のリズムにつれて、下になった左の肉房は押し潰されて卑猥に歪みながら、
勃起した乳首が絨毯を擦り、その上側では右の肉房がこれみよがしに踊り弾む。波打つ腹の中心、形のよい臍穴には汗が溜まっている。
割り割かれた内股はベタ濡れだ。濃い毛叢は逆立ち乱れてべっとりと肌に貼りついている。粘っこい濡れは野太い剛直の抜き挿しの度に
さらに溢れ出て、グチョグチョと淫猥な音が響く。
和男はもう驚きも麻痺した。眼前の光景に魅入られた心地のまま、ただシャッターを押し続けた。
「ああっ……また…」
雅代が喉を震わす。怯えと悔しさ、でも抗えないという諦めの感情が入り混じった声、と和男には聞こえた。
「……また、イクの？ おばさん」
思わず洩らした呟きが届くはずもなく、雅代は切羽詰まった嬌声を連続させて、三上に抱え上げられた太腿をブルブルと震わせた。
と、三上が再び態勢を変えた。雅代を仰向けに戻すと、跨いでいたほうの肢も肩に担ぐ。雅代の身体を二つ折りにするように、
もたがった豊臀の上へと圧し掛かっていく。いわゆる屈曲位へと素早く変わると、いっそう激しく腰を叩きつけた。
0643１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:33:32雅代が、はしたなく大開きにした口から咆哮じみた叫びを張り上げる。両の膝頭で乳房を押し潰すような姿勢の辛さ恥ずかしさを思い余裕は微塵も
ないようだった。ただただ、極限まで抉りこんで苛烈な勢いで暴れ狂う牡肉がどれほど壮絶な感覚を与えるのかを、あられもない女叫びと身悶えで訴えつづけて。
そして、あっという間に、二度目の陥落へと追いやられてしまった。脆いほどの呆気なさで。
「あっ、アッ、アッアアッ────」
呼吸を止めたように高く透きとおる叫びが途切れる。天井を差して揺れていた肢が硬直して、綺麗な足指がギュッと折れた。仰け反りかえった
頸には力みの筋が浮かんで、
乱れきった髪が絨毯を擦った。二度目の崩壊は、より激しくあからさまで。雅代には堪えよう抗おうとする余地すらなかったようで。
その刹那に直截的な言葉を吐かなかったのもただの偶然と思えた。
絶息は長く続いて、そしてやがて凄まじい痙攣が汗にまみれた裸身を駆け巡りはじめる。
その時、三上が低くうめいて、引き締まった尻を震わせた。
「あああぁっ」
また雅代が高い叫びを迸らせる。絶頂の最中にさらなる極みを迎えたように見えた。
（な、中で……）
当たり前のように雅代の胎内で欲望を吐き出して満足げな息をつく三上の横顔を和男は慄然と眺めて。慌てて、
その背後から覗きこんで息をのんだ。
屈曲位で繋がったままのふたつの臀。固く締まった男の尻の下の熟れた豊臀は、その姿勢のせいで量感を強調されて。
汗にぬらぬらと輝く臀肌に、絨毯との
摩擦の跡が痛々しい。割り割かれた厚い肉の底には
皺を刻んだ肛門が露わになっている。汗ではない粘っこい濡れにまみれたアナルの淫靡な色に生唾をのんで、
凝視を上へとずらす。垂れ下がった三上の睾丸（やはりデカい）が目障りだが、這いつくばるようにして、牡と牝の繋がった部分を見る。
親友の美しい母親の“女”を。ふたりの男にレイプされて、しかしケツ穴までベト濡れになるほど淫らな汁を垂れ流して、
二度もオルガスムスに達した牝の器官は。いまも極太の若いペニスを咥えこんだまま、ヒクヒクと戦慄いている。胎内に欲望を吐き出されるという
最悪の結末を迎えながら、もっと絞りとろうとするかのように、息子と同じ年の男のデカマラを食いしめている。
0644１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:35:26和男は這いつくばったまま、おかしいほど震える手で携帯を構えて、その淫猥な景色を撮った。
それを待っていたように、三上が雅代から離れる。ズルズルと抜き出されたモノの巨きさに和男は嘆息した。
窮屈な姿勢から解放された雅代は、しかしまだ意識朦朧といったようすで、ぐったりと瞑目したまま荒い
呼気に胸を喘がせている。下ろされた両肢をしどけなく広げたまま閉じようともせず。あられもなく晒された股間から、
三上の射込んだ欲望の証がタラリと溢れ出た。
無論、和男はその光景もカメラに収めた。
雅代から離れた三上はテーブルに寄って、飲み差しのマグカップを手にとった。
上半身は着衣のまま腰から下は裸という間抜けな姿──のはずなのだが。股間に揺れる逸物の
迫力が笑いを封じる。牡の精と女蜜にまみれたそれは項垂れてはいても萎えてはおらず、その
状態でも自分の勃起時より大きい、と和男に劣等感を抱かせた。
見せつけるつもりもないのだろうが隠そうともせず、立ったまま冷めた珈琲を飲んだ三上は、
「おまえも、もう一発やるか」
と、横たわったままの雅代を顎で示して訊いた。
0645１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:36:36マンコは都市伝説だと思う。
女には全員マンコがついているという。
だがちょっと待って欲しい。
女全員にマンコがついているとすると、日本だけで約6000万個のマンコが存在することになる。
俺の住んでる東京都だけでも600万個以上のマンコが存在する計算だ。
だが、俺は２８年東京に住んでいるがいまだかつて一度もマンコを目撃したことがない。
例えば東京都のコンビニの数は５０００店と言われている。
５０００店のコンビにでさえ少し歩けば２，３店は見かけるくらいの数である。
それにもかかわらず、６００万個も存在するマンコを２８年間一度も見たことがないというのは、
確率的にありえないのではないか
0646１３２人目の素数さん
2009/06/13(土) 21:37:45命題： マンコは都市伝説だ
証明： 女には全員マンコがついているという。
だがちょっと待って欲しい。
女全員にマンコがついているとすると、日本だけで約6000万個のマンコが存在することになる。
俺の住んでる東京都だけでも600万個以上のマンコが存在する計算だ。
だが、俺は２８年東京に住んでいるがいまだかつて一度もマンコを目撃したことがない。
例えば東京都のコンビニの数は５０００店と言われている。
５０００店のコンビにでさえ少し歩けば２，３店は見かけるくらいの数である。
それにもかかわらず、６００万個も存在するマンコを２８年間一度も見たことがないというのは、
確率的にありえないのではないか
0647518
2009/06/13(土) 22:03:05http://www.youtube.com/watch?v=7KI79vo2wkc 03:27, 12.7MB
Video Mix (Disco songs) from Italian Tv Show (1978,1979) .mp4
息子ロロッソ (voglio il cazzo) が見れたらいいんだが...
0648１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 01:08:40Kummer ◆g2BU0D6YN2 ero suki danaw
0649１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 01:10:01> だが、俺は２８年東京に住んでいるがいまだかつて一度もマンコを目撃したことがない。
そっかあ
0650Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 08:57:57X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
f を X から位相空間 G への写像とする。
f がμ-可測であるためには f がすべての i に対して (μ_i)-可測で
あることが必要十分である。
証明
必要性は>>94から明らかであるから、十分性のみ証明する。
f がすべての i ∈ I に対して (μ_i)-可測であるとする。
f の K への制限が連続となるようなコンパクト集合 K の全体をΦとする。
過去スレ008の177より、Φ がμ密(>>48)であることを証明すればよい。
N を X の部分集合ですべての K ∈ Φ に対して
N ∩ K がμ零集合とする。
>>92より、すべての i ∈ I に対して N ∩ K は (μ_i)零集合である。
過去スレ008の177より Φ は(μ_i)密であるから、
>>50の (c) より N は (μ_i)-局所零集合である。
>>624より N は μ-局所零集合である。
従って、>>50の (c) より Φ はμ密である。
証明終
0651Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 10:46:20X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、ν ≦ μ とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
f がμに関してσ-有限(>>465)なら、νに関してσ-有限である。
証明
S = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } とおく。
仮定より、S ⊂ ∪E_n, n = 1, 2, ... となるμ可測集合列 (E_n) で
各 n に対して μ(E_n) ＜ +∞ となるものがある。
>>200より、各 n に対して ∫^* χ_(E_n) dν ≦ ∫^* χ_(E_n) dμ
>>94より、E_n はν可測であるから ∫^* χ_(E_n) dν = ∫ χ_(E_n) dν
よって、∫ χ_(E_n) dν ≦ ∫ χ_(E_n) dμ = μ(E_n) ＜ +∞
よって、ν(E_n) ＜ +∞ となり、f はνに関してσ-有限である。
証明終
0652Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 10:48:12>f がμに関してσ-有限(>>465)なら、νに関してσ-有限である。
f がμに関してσ-有限(過去スレ010の465)なら、νに関してσ-有限である。
0653Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 11:34:41X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f ∈ L^1(X, F, μ) のとき、各 i に対して f は (μ_i)-可積分であり、
族 (∫ f d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能である。
このとき、Σ∫ f d(μ_i) ∈ L^1(X, F, μ) となる。
さらに、f に Σ∫ f d(μ_i) を対応させる写像 Ψ: L^1(X, F, μ) → F
は L^1(X, F, μ) のノルムに関して連続である。
証明
f はμ-可測だから >>650より 各 i に対して f は (μ_i)-可測である。
>>88より、∫^e |f| dμ = Σ∫^e |f| d(μ_i)
f はμ-可積分だから μに関してσ有限である。
過去スレ010の472より、∫^* f dμ = ∫^e f dμ
>>651より、|f| は各iに対して μ_i に関してσ有限である。
過去スレ010の472より、∫^* |f| d(μ_i) = ∫^e |f| d(μ_i)
よって、∫^* |f| dμ = Σ∫^* |f| d(μ_i)
この左辺は有限だから 各 i に対して f は (μ_i)-可積分である。
よって、∫ |f| dμ = Σ∫ |f| d(μ_i) ＜ +∞
Σ|∫ f d(μ_i)| ≦ Σ∫ |f| d(μ_i) = ∫ |f| dμ ＜ +∞
よって、族 (∫ f d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能である。
g ∈ L^1(X, F, μ) のとき、
|Ψ(f) - Ψ(g)| = |Σ∫ f d(μ_i) - Σ∫ g d(μ_i)| = |Σ∫ (f - g) d(μ_i)|
≦ Σ|∫ (f - g) d(μ_i)| ≦ Σ∫ |(f - g)| d(μ_i) = ∫ |f - g| dμ
よって、Ψ: L^1(X, F, μ) → F は連続である。
証明終
0654Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 12:21:17>このとき、Σ∫ f d(μ_i) ∈ L^1(X, F, μ) となる。
このとき、Σ∫ f d(μ_i) ∈ F となる。
0655Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 12:23:16X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
各 i に対して f が (μ_i)-可積分で、Σ∫ |f| d(μ_i) ＜ +∞ であれば、
f は本質的にμ-可積分である。
証明
>>88より、∫^e |f| dμ = Σ∫^e |f| d(μ_i)
各 i に対して f は(μ_i)-可積分だから μ_i に関してσ有限である。
過去スレ010の472より、∫^* f d(μ_i) = ∫^e f d(μ_i)
よって、
∫^e |f| dμ = Σ∫ |f| d(μ_i) ＜ +∞
>>650より、f はμ-可測である。
よって、>>363より f は本質的にμ-可積分である。
証明終
0656Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 12:52:32X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
X における μ-可測な集合全体を Φ とする。
Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。
Ψ は集合環(過去スレ007の189)である。
F に値をとる Ψ 上の単関数全体を E(Ψ, F) とおく(過去スレ008の332)。
すべての f ∈ E(Ψ, F) に対して Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) となる。
証明
A ∈ Ψ のとき >>88より、∫^e χ_A dμ = Σ∫^e χ_A d(μ_i) である。
χ_A はμ-可積分であるから、>>653より
各 i に対して χ_A は (μ_i)-可積分である。
よって ∫ χ_A dμ = Σ∫ χ_A d(μ_i) である。
>>608より、c ∈ F のとき ∫ c(χ_A) dμ = c∫ χ_A dμ である。
同様に各 i に対して ∫ c(χ_A) d(μ_i) = c∫ χ_A d(μ_i) である。
よって、∫ c(χ_A) dμ = Σ∫ c(χ_A) d(μ_i) である。
よって、すべての f ∈ E(Ψ, F) に対して Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) となる。
証明終
0657Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 12:57:49X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f ∈ L^1(X, F, μ) のとき、各 i に対して f は (μ_i)-可積分であり、
族 (∫ f d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能であり、
Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) となる。
証明
f ∈ L^1(X, F, μ) に ∫ f dμ ∈ F を対応させる写像をΦとする。
|∫ f dμ| ≦ ∫ |f| dμ であるから Φ はL^1(X, F, μ) のノルムに
関して連続である。
他方、>>653より、f に Σ∫ f d(μ_i) を対応させる写像
Ψ: L^1(X, F, μ) → F も L^1(X, F, μ) のノルムに関して連続である。
f ∈ L^1(X, F, μ) に (Φ(f), Ψ(f)) ∈ F × F を対応させる写像を Γ と
すれば、Γ は連続である。
F × F の対角集合をΔとする。
即ち Δ = { (x, x); x ∈ F} である。
F はHausdorffだから Δ は F × F の閉集合である。
よって Δ の Γ による逆像 Γ^(-1)(Δ) は L^1(X, F, μ) の閉集合である。
Γ^(-1)(Δ) = { f ∈ L^1(X, F, μ); Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) } に
注意する。
>>656より、E(Ψ, F) ⊂ Γ^(-1)(Δ) である。
過去スレ008の339より、E(Ψ, F) は L^1(X, F, μ) において稠密である。
よって、L^1(X, F, μ) = Γ^(-1)(Δ) である。
証明終
0658Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 13:58:29X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
F を実または複素Banach空間とする。
g : X → F を X から F への写像でμ可測とする。
f : X → F を X から F への写像で f = g (局所 a.e.)とする。
このとき、f はμ可測である。
証明
N = { x ∈ X; f(x) ≠ g(x) } とおくと N は局所零集合である。
L を X の任意のコンパクト集合とする。
μ(L - N) ＜ +∞ であるから、過去スレ008の176より、任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ L - N かつ μ((L - N) - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
g は K で連続となる。
L = (L ∩ N) ∪ (L - N) であるから
L - K = (L ∩ N) ∪ ((L - N) - K)
よって、μ(L - K) = μ(L ∩ N) + μ((L - N) - K)
ここで、μ(L ∩ N) = 0 であるから、
μ(L - K) = μ((L - N) - K) ＜ ε
f と g は K 上で一致するから f は K で連続となる。
よって、過去スレ008の177より、f はμ可測である。
証明終
0659Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 14:06:50>F を実または複素Banach空間とする。
Fを位相空間とする。
0660Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 14:16:38X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から [0, +∞] への関数で本質的にμ可積分とする。
このとき、∫^e f dμ ＜ +∞である。
証明
μ可積分な g: X → [0, +∞] で f = g (局所 a.e.) となるものがある。
過去スレ010の485より、∫^e f dμ = ∫^e g dμ である。
g はσ有限だから過去スレ010の472より、∫^e g dμ = ∫^* g dμ である。
よって、∫^e f dμ ＜ +∞である。
証明終
0661１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 15:48:50命題： マンコは都市伝説だ
証明： 女には全員マンコがついているという。
だがちょっと待って欲しい。
女全員にマンコがついているとすると、日本だけで約6000万個のマンコが存在することになる。
俺の住んでる東京都だけでも600万個以上のマンコが存在する計算だ。
だが、俺は２８年東京に住んでいるがいまだかつて一度もマンコを目撃したことがない。
例えば東京都のコンビニの数は５０００店と言われている。
５０００店のコンビにでさえ少し歩けば２，３店は見かけるくらいの数である。
それにもかかわらず、６００万個も存在するマンコを２８年間一度も見たことがないというのは、
確率的にありえないのではない
証明終
0662猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/14(日) 15:54:44FをBanach空間というが、それは何処に使うんですかね？
まさかBochner積分にも見えませんが。
0663１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 16:00:390664Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 16:00:53>F を実または複素Banach空間とする。
これは不要
0665Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 16:10:10間違いを指摘していただき有難うございます
0666１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 16:58:250667１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 17:38:01>その他、内容についてのご意見は歓迎します。
>例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
0668１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 17:40:13コピペといってもkummer自身の書いたもののコピペ
0669Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 17:49:21X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f: X → F を本質的にμ-可積分とすると、f は各 i に対して本質的に
(μ_i)-可積分である。
このとき、族 (∫ f d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能であり、
Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) となる。
証明
>>88より、∫^e |f| dμ = Σ∫^e |f| d(μ_i) である。
f: X → F は本質的にμ-可積分であるから f = g (局所μ-a.e.) となる
μ-可積分な g: X → F がある。
g はμ-可測だから、>>658より、f はμ可測である。
よって、>>650より 各 i に対して f は (μ_i)-可測である。
過去スレ010の485より、∫^e |f| dμ = ∫^e |g| dμ である。
g はμ-可積分だから μに関してσ有限である。
過去スレ010の472より、∫^* |g| dμ = ∫^e |g| dμ ＜ +∞
よって、∫^e |f| dμ ＜ +∞ である。
よって、各 i に対して ∫^e |f| d(μ_i) ＜ +∞ である。
よって、>>363より各 i に対して f は本質的に(μ_i)-可積分である。
一方、>>657より、Σ∫ g dμ = Σ∫ g d(μ_i) である。
>>624より、各 i に対して f = g (局所(μ_i)-a.e.) である。
よって、Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) である。
証明終
0670Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 17:53:41>各 i に対して f が (μ_i)-可積分で、Σ∫ |f| d(μ_i) ＜ +∞ であれば、
>f は本質的にμ-可積分である。
写像 f: X → F が各 i に対して (μ_i)-可積分で、Σ∫ |f| d(μ_i) ＜ +∞ で
あれば、f は本質的にμ-可積分である。
0671Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/14(日) 18:12:56X を局所コンパクト空間とする。
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の
総和可能族(>>81)とし、μ = Σμ_i とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
写像 f: X → F が各 i に対して本質的に(μ_i)-可積分で、
Σ∫^e |f| d(μ_i) ＜ +∞ であれば、f は本質的にμ-可積分である。
このとき、族 (∫ f d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能であり、
Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) となる。
証明
>>88より、∫^e |f| dμ = Σ∫^e |f| d(μ_i) である。
よって、仮定から ∫^e |f| dμ ＜ +∞ である。
>>658より、f は各 i に対して(μ_i)-可測である。
よって、>>650より、f はμ-可測である。
よって、>>363より、f は本質的にμ-可積分である。
>>669より、族 (∫ f d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能であり、
Σ∫ f dμ = Σ∫ f d(μ_i) となる。
証明終
0672１３２人目の素数さん
2009/06/14(日) 23:07:53音だけだが････
Muscolo Rosso (Voglio il cazzo)
http://www.youtube.com/watch?gl=JP&hl=JP&v=-pNMzVrKu_A
http://www.youtube.com/watch?gl=JP&hl=JP&v=d8kbQ_fgV7c
0673Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 00:06:26X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f を X から [0, +∞] への関数でμに関してσ-有限(過去スレ008の8)とする。
f = 0 (局所 a.e.) なら f = 0 (a.e.) である。
証明
f はσ有限だから過去スレ010の472より、∫^e f dμ = ∫^* f dμ である。
一方、f = 0 (局所 a.e.) だから
過去スレ010の485より ∫^e f dμ = 0 である。
よって、∫^* f dμ = 0 である。
よって、過去スレ008の165より、f = 0 (a.e.) である。
証明終
0674Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 00:28:56X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f を X から [0, +∞] への関数で本質的にμ-可積分かつ
μに関してσ-有限(過去スレ008の8)とする。
このとき f はμ-可積分である。
証明
仮定より μ-可積分な g: X → [0, +∞] があり、
f = g (局所 a.e.) である。
g はμ-可測だから>>658より、f はμ-可測である。
一方、>>660より、∫^e f dμ ＜ +∞である。
f はσ-有限だから、過去スレ010の472より
∫^e f dμ = ∫^* f dμ である。
よって、∫^* f dμ ＜ +∞ となり、f はμ-可積分である。
証明終
0675１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 06:58:12おまえら
マンコ
すきか？
0676Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 09:34:01X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f: X → [0, ∞] を X 上の関数でμ-可測かつ X 上で f(x) ≠ 0 とする。
このとき 1/f はμ-可測である。
ただし、f(x) = ∞ のときは 1/f = 0 とする。
証明
u: (0, ∞] → (0, ∞] を u(x) = 1/x で定義する。
ただし、1/∞ = 0 とする。
u は連続であり (1/f)(x) = u(f(x)) であるから
過去スレ008の241より、1/f はμ-可測である。
証明終
0677Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 10:11:05X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f: X → [0, ∞] を X 上の関数でμ-可測とする。
S = { x ∈ X; f(x) ≠ 0 } とおく。
このとき 1/f は S においてμ-可測(>>119)である。
ただし、1/∞ = 0 とする。
証明
g: X → [0, ∞] を x ∈ X - S のとき g(x) = 1、
x ∈ S のとき g(x) = f(x) で定義する。
f の S への制限は S においてμ-可測であるから
>>119より g はμ-可測である。
X 上で g(x) ≠ 0 であるから>>676より 1/g はμ-可測である。
よって、1/g の S への制限はμ-可測である。
1/g は S において 1/f に等しいから命題の主張が得られる。
証明終
0678Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 10:13:26X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)でSupp(μ)はコンパクトとする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)で、Supp(μ) 上で有界とする。
ν = ψμ とおく。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から F への関数とする。
f が本質的にν-可積分であるためには、fψ が本質的にμ-可積分なことが
必要十分であり、このとき、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明
仮定から、μ(X) ＜ +∞, ν(X) ＜ +∞ である。
f が本質的にν-可積分であるとする。
ν(X) ＜ +∞ であるから f はνに関してσ-有限である。
>>674より、f はν-可積分である。
>>598より、fψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
逆に fψ が本質的にμ-可積分であるとする。
S = {x ∈ X; ψ(x) ≠ 0} とおく。
S において f = (fψ)/ψ だから>>677より f は S においてμ-可測である。
よって、>>620より、f はν-可測である。
>>512より、∫^e |f| dν = ∫^e |f|ψ dμ
>>660より、この右辺 ＜ +∞
よって、>>363より、f は本質的にν-可積分である。
>>598より、∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明終
0679１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 12:36:260680Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 12:42:54X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞] を X 上の関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
ν = ψμ とおく。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から F への関数とする。
f が本質的にν-可積分であるためには、fψ が本質的にμ-可積分なことが
必要十分であり、このとき、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
0681Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 12:43:35f の K への制限が連続となるようなコンパクト集合 K の全体をΦとする。
過去スレ008の177より、Φ は X においてμ密(>>48)である。
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
>>270より、ψ はすべての i ∈ I に対して μ_i に関して局所可積分であり、
(ψμ_i), i ∈ I は総和可能であり、ν = Σ {ψ(μ_i); i ∈ I } である。
f が本質的にν-可積分であるとする。
>>669より、f は各 i に対して本質的に ψ(μ_i)-可積分である。
このとき、族 (∫ f dψ(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能であり、
∫ f dν = Σ∫ f dψ(μ_i) となる。
>>678より、各 i に対して fψ は本質的に(μ_i)-可積分であり、
∫ f dψ(μ_i) = ∫ fψ d(μ_i) である。
>>671より、fψ は本質的にμ-可積分であり、
∫ fψ dμ = Σ∫ fψ d(μ_i) となる。
よって、∫ f dν = Σ∫ f dψ(μ_i) = Σ∫ fψ d(μ_i) = ∫ fψ dμ である。
逆に fψ が本質的にμ-可積分であるとする。
>>669より、各 i に対して fψ は本質的に(μ_i)-可積分であり、
族 (∫ fψ d(μ_i)), i ∈ I は絶対総和可能であり、
∫ fψ dμ = Σ∫ fψ d(μ_i) となる。
>>678より、各 i に対して f は本質的に ψ(μ_i)-可積分であり、
∫ f dψ(μ_i) = ∫ fψ d(μ_i) である。
>>671より、∫ f dν = Σ∫ f dψ(μ_i) となる。
よって、∫ fψ dμ = Σ∫ fψ d(μ_i) = Σ∫ f dψ(μ_i) = ∫ f dν
証明終
0682１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 12:44:55>なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
>原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
0683１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 12:53:30このスレが上がる事を嫌う連中が荒らすのか？
自分に理解できないスレの存在を嫌う物が荒らすのか？
順番に荒らす事を生き甲斐とするキチガイが居るだけなのか？
0684Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 13:16:27X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)かつ任意の x ∈ X において ψ(x) ＞ 0 とする。
ν = ψμ とおく。
f を X から [0, +∞] への任意の関数とする。
∫^* f dν = ∫^* fψ dμ である。
証明
h: X → [0, ∞] を下半連続で fψ ≦ h とする。
g = h/ψ とおく。
fψ ≦ h かつ任意の x ∈ X において ψ(x) ＞ 0 だから f ≦ g である。
>>80より、
∫^* f dν ≦ ∫^* g dν = ∫^* gψ dμ = ∫^* h dμ
よって、∫^* f dν ≦ ∫^* fψ dμ
他方、>>346より、∫^* f dν ≧ ∫^* fψ dμ
よって、∫^* f dν = ∫^* fψ dμ である。
証明終
0685Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 13:37:42X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ψ: X → [0, ∞) を X 上の連続関数で μ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)かつ任意の x ∈ X において ψ(x) ＞ 0 とする。
ν = ψμ とおく。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から F への関数とする。
f がν-可積分であるためには、fψ がμ-可積分なことが
必要十分であり、このとき、
∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
証明
f がν-可積分であるとする。
>>680より、fψ は本質的にμ-可積分であり、∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
一方、>>684より、
∫^* |f| dν = ∫^* |f|ψ dμ である。
f はν-可積分であるから、この左辺 ＜ +∞ である。
よって、fψ はμ-可積分である。
逆に fψ がμ-可積分であるとする。
>>680より、f は本質的にν-可積分であり、∫ f dν = ∫ fψ dμ である。
一方、>>684より、
∫^* |f| dν = ∫^* |f|ψ dμ である。
fψ はμ-可積分であるから、この右辺 ＜ +∞ である。
よって、f はν-可積分である。
証明終
0686Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 16:40:01X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、ν ≦ μ とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
f がμ-可測なら、f はν-可測である。
証明
f の K への制限が連続となるようなコンパクト集合 K の全体をΦとする。
過去スレ008の177より、Φ はμ密(>>48)である
>>50より、X の任意のコンパクト集合 L に対して μ零集合 N と
コンパクト集合の列 (K_n) があり、
L = N ∪ K_1 ∪ K_2 ∪ ... となる
ここで、i ≠ j のとき K_i ∩ K_j = φ
>>200より ∫^* χ_N dν ≦ ∫^* χ_N dμ = 0 だから N はν零集合である。
よって、>>50より、Φ はν密(>>48)である
よって、過去スレ008の177より f はν-可測である。
証明終
0687Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 17:21:34X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、ν ≦ μ とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
f がμ-可積分なら、f はν-可積分である。
証明
>>686より、f はν-可測である。
一方、>>200より ∫^* f dν ≦ ∫^* f dμ である。
この右辺 ＜ +∞ だから ∫^* f dν ＜ +∞ となり、
f はν-可積分である。
証明終
0688Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 17:33:33X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、ν ≦ μ とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
∫^e f dν ≦ ∫^* f dμ である。
証明
X のコンパクト部分集合全体を Ψ とする。
∫^e f dν = { ∫^* (χ_K)f dν; K ∈ Ψ }
∫^e f dμ = { ∫^* (χ_K)f dμ; K ∈ Ψ }
である。
>>200より K ∈ Ψ のとき、∫^* (χ_K)f dν ≦ ∫^* (χ_K)f dμ である。
よって、∫^* (χ_K)f dν ≦ ∫^e f dμ である。
左辺の sup をとって、∫^e f dν ≦ ∫^e f dμ である。
証明終
0689Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 17:38:35X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、ν ≦ μ とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
f が本質的にμ-可積分なら、f は本質的にν-可積分である。
証明
>>686より、f はν-可測である。
一方、>>688より ∫^e f dν ≦ ∫^e f dμ である。
>>660より、この右辺 ＜ +∞ だから ∫^e f dν ＜ +∞ となり、
>>363より f はν-可積分である。
証明終
0690Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 18:59:49>>688
>X のコンパクト部分集合全体を Ψ とする。
>∫^e f dν = { ∫^* (χ_K)f dν; K ∈ Ψ }
>∫^e f dμ = { ∫^* (χ_K)f dμ; K ∈ Ψ }
>である。
X のコンパクト部分集合全体を Ψ とする。
∫^e f dν = sup{ ∫^* (χ_K)f dν; K ∈ Ψ }
∫^e f dμ = sup{ ∫^* (χ_K)f dμ; K ∈ Ψ }
である。
0691１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 19:36:36大きく開けた口から生臭いような叫びを迸らせた。
「アアッ、いや、イヤイヤッ」
乱れ髪を左右に打ち振り、うわ言のように繰り返した。三上の腕を掴んで爪をたてる。
僅かに息を弾ませた三上は、えぐいほどの腰使いで、はるか年上の女を追いこんでいく。突き上げ、掻き回し、抉りこむ。
カメラを構えたまま、和男は呼吸も忘れて見守っていた。
「アアッ、だめっ、ダメッ──」
哀しげな叫びが急に途切れ、雅代の豊かな腰が堰を切ったように激しくのたうち、太腿が三上の尻をギュッと挟みこんで。弓なりに背を
反らせた体勢のまま数秒硬直して。やがてガクガク
と痙攣しながら弛緩していく。
なにが起こったのか。和男はしばらく理解できなかった。
（……おばさん……イっちゃったんだ……）
胸中へ呟いて、しかしまだ信じられない思いのまま、携帯を雅代の顔に向ける。
画面の中の雅代の貌。理不尽な凌辱のすえ、無理やり絶頂に追い上げられた親友の母の表情は。
じっとりと汗に濡れて。閉じられた瞼も頬も紅潮して。半ば開いた唇、形のよい小鼻から荒い息を吐いて。微かに寄せられた
眉根に悲哀の色を滲ませてはいたが、それでも。陶然と蕩けているように見えた。
そのまま和男はシャッターを押した。
三上が雅代の身体を転がして横向きにさせた。下になった太腿を跨ぎ、もう一方の肢を持ち上げて踵を肩に乗せる。
べと濡れの雅代の股間を穿ったものは些かの萎えも見せておらず、和男は三上がまだ欲望を遂げていないことを知った。
0692１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 19:37:32結婚７年目を迎えた。ひとり息子は小学生になり専業主婦の妻も少し自由時間がとれるようになった。
ある日妻がスイミングスクールに通いたいと申し出てきた。友人の勧めで体系維持と健康の為に通うのだそうだ。
インストラクターはどんなヤツだ？と思ったが、頑張って来い！と即答し男らしさを演出してみせた。
妻が通い始めて２ヶ月ほど経ちスクールにも慣れ、妻も生き生きしているように見える。
いつも妻はスクールの報告をしてくれるが、あまり興味の無い話なので話半分で聞く。
「今日は○○さん、平泳ぎの動きがおかしくて・・」
「へえ、そうなんだ～」
・・・・
「あ、それと先週行けなかった分補習してくれるって」
「そうなんだ、じゃあいつもと違う生徒さんに出会えるね」
「そうじゃなくて、授業がない日にわざわざやってくれるんだって」
「ほう、すごいサービスだなぁ」
そこで以前より話題に出るオーナー兼インストラクターの加納先生を思い出す。
色黒で筋肉質、面白い授業で主婦に人気があるらしい。
「ってことは、加納先生とワンツーマンなのか？」
「違うよ。もう１人補習の人いるって言ってた。」
「そうか・・」
生徒が２人と聞いて少し安心したがどうもスッキリしない。
加納先生に妻が体を触られているんじゃないかと前から気になっていた気持ちが強まる。
補習は俺が外回りの日だった。
気になった俺は得意先に行くのを午後に回し、スイミングに妻に内緒で行ってみる事にした。
スクールの建物から一番離れた駐車場に車を止め、授業が始まった頃合を見て中に入る。
２階の入り口から入ると受け付けがあり、すぐ横に付き添い人が見学できるソファーが並ぶ。
プールは１階にある為、上から見下ろす目線で見学が出来る。
見学している人は他に居ないようだ。すぐさま受付から見えないソファーに腰掛け、妻を捜す。
すぐ目にとまる。浅い所にいる１０人位の集団はお母さんと子供が一緒にプールに浸かって練習している。
その反対側に小人数でやっている。ん？どう見ても先生らしき人と女性の生徒１人で練習しているように見える。
慌てて用意した双眼鏡をポケットから出す。
0693672
2009/06/15(月) 20:47:341.
dopo le mie trasgressioni
dopo tutte queste emozioni
nessuno mi puo fermare
non mi potete arrestare
selvaggio animale in calore
il カツオ che mi spruzza nel cuore
un muscolo rosso d'amoreee
affonda lungo al mio cuore
tuuuu che sembri un manichino
tira fuori il カツオ duro
ti faccio un pompino
io ti faccio un pompino oh oh
[tutti, in coro]
voglio il カツオ
vestito di pelle
il カツオ... piu duro del muro
il カツオ nel buco del culo
il カツオ che mi sfonderà (ah) Insieme a me schizzerà
voglio il カツオ
vestito di pelle
il カツオ... più duro del muro
il カツオ... Nel buco del culo
il カツオ che mi sfonderà (ah) insieme a me schizzerà
in mio potere sarà
0694672
2009/06/15(月) 20:50:532.
selvaggio animale in calore
il カツオ che mi spruzza nel cuore
un muscolo rosso d'amore
affonda lungo al mio cuore
tu che sembri un manichino
tira fuori il カツオ duro ti faccio un pompino
io ti faccio un pompino oh oh
[e via di ritornello...]
voglio il カツオ
vestito di pelle
il カツオ... piu duro del muro
il カツオ nel buco del culo
il カツオ che mi sfonderà (ah) Insieme a me schizzerà
voglio il カツオ
vestito di pelle
il カツオ... più duro del muro
il カツオ... Nel buco del culo
il カツオ che mi sfonderà (ah) insieme a me schizzerà
in mio potere sarà
0695Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 20:58:39X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u: X → C を X 上の複素数値関数で θ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
η = uθ とおく。ここで uθ は θ と u の積(過去スレ010の588)である。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から F への関数とする。
f が本質的にη-可積分であるためには、uf が本質的にθ-可積分なことが
必要十分であり、このとき、
∫ f dη = ∫ uf dθ である。
証明
f が本質的にη-可積分であることと、f が本質的に|η|-可積分で
あることは同値である。
>>211より、|η| = |u| |θ| であるから、
>>680より、これは |u|f が本質的に|θ|-可積分であることと同値である。
これは、uf が本質的にθ-可積分であることと同値である。
次に f が本質的にη-可積分であるとする。
g_1 = sup(Re(u), 0)
g_2 = sup(-Re(u), 0)
g_3 = sup(Im(u), 0)
g_4 = sup(-Im(u), 0) とおく。
ここで、Re(u) と Im(u) は u のそれぞれ実部と虚部である。
u = g_1 - g_2 + i(g_3 - g_4) である。
|Re(u)| ≦ |u|
|Im(u)| ≦ |u|
一方、g_1 + g_2 = |Re(u)|, g_3 + g_4 = |Im(u)|
であるから g_i ≦ |u|, i = 1, 2, 3, 4 である。
(続く)
0696Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 20:59:23μ_1 = sup(Re(θ), 0)
μ_2 = sup(-Re(θ), 0)
μ_3 = sup(Im(θ), 0)
μ_4 = sup(-Im(θ), 0)
とおく。ここで、Re(θ) と Im(θ) は θ のそれぞれ実部と虚部である。
θ = μ_1 - μ_2 + i(μ_3 - μ_4) である。
過去スレ010の38より、
|Re(θ)| ≦ |θ|
|Im(θ)| ≦ |θ|
一方、
μ_1 + μ_2 = |Re(θ)|
μ_3 + μ_4 = |Im(θ)|
であるから
μ_i ≦ |θ|, i = 1, 2, 3, 4
以上から
(g_i)(μ_j) ≦ |u| |θ| = |η|, i = 1, 2, 3, 4 ; j = 1, 2, 3, 4
>>689より、f は本質的に(g_i)(μ_j)-可積分である
>>680より、∫ f d(g_i)(μ_j) = ∫ (g_i)f d(μ_j) である。
よって、∫ f dη = ∫ uf dθ である。
証明終
0697Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 21:12:48X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u: X → C を X 上の複素数値連続関数で θ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とし、任意の x ∈ X に対して u(x) ≠ 0 とする。
η = uθ とおく。ここで uθ は θ と u の積(過去スレ010の588)である。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から F への関数とする。
f がη-可積分であるためには、uf がθ-可積分なことが
必要十分であり、このとき、
∫ f dη = ∫ uf dθ である。
証明
f がη-可積分であることと、f が |η|-可積分であることは同値である。
>>211より、|η| = |u| |θ| であるから、
>>685より、これは |u|f が |θ|-可積分であることと同値である。
これは、uf がθ-可積分であることと同値である。
このとき>>695より、∫ f dη = ∫ uf dθ である。
証明終
0698Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 21:29:36X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u: X → C を X 上の複素数値関数で θ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
η = uθ とおく。ここで uθ は θ と u の積(過去スレ010の588)である。
G を位相空間とし、f: X → G を写像とする。
S = { x ∈ X; u(x) ≠ 0 } とおく。
このとき、f が η-可測であるためには、f が S 上でθ-可測であることが
必要十分である。
証明
>>211より、|η| = |u| |θ| である。
>>620より、f が |η|-可測であるためには f が S 上で |θ|-可測であることが
必要十分である。
証明終
0699Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 22:03:34X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u: X → C を X 上の複素数値関数で θ に関して局所可積分
(過去スレ010の504)とする。
η = uθ とおく。ここで uθ は θ と u の積(過去スレ010の588)である。
F を実または複素Banach空間とする。
f を X から F への関数とする。
f が η-可測であるためには、uf がθ-可測であることが
必要十分である。
証明
S = { x ∈ X; u(x) ≠ 0 } とおく。
f が η-可測であるとする。
>>698より、f は S上でθ-可測である。
u はθ-可測であるから uf は S上でθ-可測である。
uf は X - S で定数 0 であるから uf はθ-可測である(>>119)。
逆に、uf がθ-可測であるとする。
uf は S 上でθ-可測である。
u はθ-可測であるから (uf)/u は S 上でθ-可測である(>>677)。
よって、f は S 上でθ-可測である。
>>698より、f は η-可測である。
証明終
0700Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/15(月) 22:39:59X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u: X → C を X 上の複素数値関数で局所θ-可積分
(過去スレ010の504)とする。
η = uθ とおく。ここで uθ は θ と u の積(過去スレ010の588)である。
v: X → C を X 上の複素数値関数とする。
v が局所η-可積分であるためには、vu が局所θ-可積分であることが
必要十分である。
さらにこのとき、v(uθ) = (vu)θ である。
証明
>>699より、v が η-可測であるためには、vu がθ-可測であることが
必要十分である。
このとき、>>512より、任意の f ∈ K+(X, R) に対して、
∫^e |v|f d|η| = ∫^e |v| f |u| d|θ|
>>211より、この右辺は ∫^e |vu|f d|θ| に等しい。
f はηに関しても、θに関してもσ-有限であるから
過去スレ010の472より ∫^* |v|f d|η| = ∫^* |vu|f d|θ| である。
よって、v が局所η-可積分であるためには、vu が局所θ-可積分であることが
必要十分である。
このとき、>>695より、任意の f ∈ K+(X, R) に対して、
∫ f d(vη) = ∫ fv dη = ∫ fvu dθ = ∫ f d((vu)θ)
よって、vη = (vu)θ
証明終
0701Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 21:02:22X を局所コンパクト空間とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u と v を X 上の複素数値関数でともに局所θ-可積分
(過去スレ010の504)とする。
このとき
(u + v)θ = uθ + vθ である。
証明
任意の f ∈ K(X, C) に対して、
∫ f d(u + v)θ = ∫ f(u + v) dθ = ∫ fu dθ + ∫ fv dθ
= ∫ f duθ + ∫ f dvθ = ∫ f d(uθ + vθ)
よって、
(u + v)θ = uθ + vθ である。
証明終
0702Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 21:39:30X を局所コンパクト空間とする。
θとηを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
f を X から位相空間 G への写像で、θ-可測かつη-可測とする。
このとき、f は(θ + η)-可測である。
証明
M を X の任意のコンパクト集合とする。
過去スレ008の177より、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ M
θ(M - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。
同様に
η(M - L) ＜ ε となるコンパクト集合 L が存在し、
f は L で連続となる。
K と L は X の閉集合であるから f は K ∪ L で連続である。
θ(M - (K ∪ L)) ≦ θ(M - K) ＜ ε
η(M - (K ∪ L)) ≦ η(M - L) ＜ ε
よって、
(θ + η)(M - (K ∪ L)) ＜ 2ε
よって、過去スレ008の177より、f は(θ + η)-可測である。
証明
0703Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 21:54:550704Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 21:56:51X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、ν ≦ μ とする。
f を X から位相空間 G への関数とする。
f がμ-可測なら、f はν-可測である。
証明
>>686と同じである。
0705Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 22:01:08X を局所コンパクト空間とする。
θとηを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
f を X から位相空間 G への写像で、θ-可測かつη-可測とする。
このとき、f は (θ + η)-可測である。
証明
M を X の任意のコンパクト集合とする。
過去スレ008の177より、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ M
|θ|(M - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。
同様に
|η|(M - L) ＜ ε となるコンパクト集合 L が存在し、
f は L で連続となる。
K と L は X の閉集合であるから f は K ∪ L で連続である。
|θ|(M - (K ∪ L)) ≦ |θ|(M - K) ＜ ε
|η|(M - (K ∪ L)) ≦ |η|(M - L) ＜ ε
よって、
(|θ| + |η|)(M - (K ∪ L)) ＜ 2ε
よって、過去スレ008の177より、f は(|θ| + |η|)-可測である。
過去スレ010の34より、|θ + η| ≦ |θ| + |η| であるから
>>704より f は |θ + η|-可測である。
即ち f は (θ + η)-可測である。
証明終
0706Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 22:36:06X を局所コンパクト空間とする。
θとηを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u を X 上の複素数値関数で局所θ-可積分(過去スレ010の504)
かつ局所η-可積分とする。
このとき、u は局所(θ + η)-可積分である。
証明
>>83 より、任意のコンパクト集合 K に対して
∫^* |u|χ_K d(|θ| + |η|) = ∫^* |u|χ_K d|θ| + ∫^* |u|χ_K d|η| ＜ +∞
>>200より、
∫^* |u|χ_K d(|θ + η|) ≦ ∫^* |u|χ_K d(|θ| + |η|) ＜ +∞
>>705より、u は (θ + η)-可測である。
よって、過去スレ010の506より、u は局所(θ + η)-可積分である。
証明終
0707Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 22:40:06X を局所コンパクト空間とする。
θとηを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u を X 上の複素数値関数で局所θ-可積分(過去スレ010の504)
かつ局所η-可積分とする。
このとき、u は局所(θ + η)-可積分であり、
u(θ + η) = uθ + uη である。
証明
>>706 より、u は局所(θ + η)-可積分である。
任意の f ∈ K(X, C) に対して、
∫ f du(θ + η) = ∫ fu d(θ + η) = ∫ fu dθ + ∫ fu dη
= ∫ f duθ + ∫ f duη = ∫ f d(uθ + uη)
よって
u(θ + η) = uθ + uη である。
証明終
0708Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 23:15:48X を局所コンパクト空間とする。
X から位相空間 G への写像 f が、X 上の任意の正値Radon測度 μ に関して
μ-可測なとき、f は普遍的に可測であるという。
0709Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 23:16:29X を局所コンパクト空間とし、A を X の部分集合とする。
A の特性関数 χ_A が普遍的に可測であるとき、A は普遍的に可測であるという。
0710Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/16(火) 23:58:22特性関数 χ_A が正値Radon測度 μ に関して可測であることと
A がμ-可測であることは同値である。
よって、A が普遍的に可測であることは、A が任意の正値Radon測度 μ に
関してμ-可測であることと同値である。
0711Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 00:01:19>>710より、X の任意のBorel 集合(過去スレ007の212)は普遍的に可測である。
0712Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 01:28:42X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f を X から位相空間 G へのμ-可測な写像とする。
このとき、普遍的に可測な写像 g: X → G で f = g (局所μ-a.e.)と
なるものが存在する。
証明
f の K への制限が連続となるようなコンパクト集合 K の全体をΦとする。
過去スレ008の177より、Φ はμ密(>>48)である。
>>78より、Φ の互いに交わらない部分集合からなる局所可算な
Ψ ⊂ Φ があり、N = X - ∪{K; K ∈ Ψ} はμ-局所零集合となる。
X の任意のコンパクト集合 L に対して L ∩ N = L - ∪{L ∩ K; K ∈ Ψ}
であるが、L と交わる K ∈ Ψ 全体は可算である。
よって、L ∩ N は Borel集合である。
よって、L ∩ N は普遍的に可測である。
よって、過去スレ008の64と65より、N は普遍的に可測である。
さて、任意の c ∈ G をとる。
g: X → G を x ∈ ∪{K; K ∈ Ψ} のとき g(x) = f(x)
x ∈ N のとき f(x) = c で定義する。
f = g (局所μ-a.e.)である。
g は各 K ∈ Ψ をよび N において連続である。
よって、>>123より、g は普遍的に可測である。
証明終
0713猫キング ◆ghclfYsc82
2009/06/17(水) 07:56:29２ちゃんでは真の賞賛に値するであろう。これからも是非とも頑張って戴
きたい。また併せて積分論終了以降の予定などもお聞かせ願いたい。
0714Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 08:58:48>また併せて積分論終了以降の予定などもお聞かせ願いたい。
Haar測度の存在と一意性を証明した後、局所コンパクト群上の調和解析に
ついて述べる予定です。
その後、この応用として代数体におけるζ関数とＬ関数の関数等式の
Heckeによる証明とIdeleを使ったTateの証明を紹介する予定ですが、
いきなり、Ｌ関数の関数等式を持ち出されても初学者はmotivationが
得られないと思うので、前にちょっとやりかけた２次体の類数公式の
証明を完成させ、続いて円分体の類数公式を証明する予定です。
0715猫キング ◆ghclfYsc82
2009/06/17(水) 09:29:20（猫の記憶ではヴェイユのオリジナルを含めて確か３種類。）
まあ亡くなられた壬生先生の本にも別証明がありましたっけね。
それで「関数等式」ねぇ、猫は不勉強なので楽しみにしています。
ワイル群との絡みで解説して頂けると、とても楽しいんですが。
まあ表現論とかは止めとくんですかね～
0716Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 09:44:17X を局所コンパクト空間とする。
μとνを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、
μ零集合であるコンパクト集合はすべてν零集合であるとする。
このとき、普遍的に可測(>>709)で局所μ零集合である集合は
局所ν零集合である。
証明
E を普遍的に可測(>>709)で局所μ零集合である集合とする。
L を X の任意のコンパクト集合とする。
μ(L ∩ E) = 0 であるから、コンパクトな任意の K ⊂ L ∩ E に対して
μ(K) = 0 である。
よって、仮定より、ν(K) = 0 である。
L ∩ E はν-可測であり、ν(L ∩ E) ＜ +∞ であるから
過去スレ008の31より、
ν(L ∩ E) = sup {ν(K) | K は L ∩ E のコンパクト部分集合全体を動く}
この右辺は、上で述べたことより 0 である。
よって、E は局所ν零集合である。
証明終
0717Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 11:03:36>今となっては「存在と一意性の証明」は何種類かあるみたいですね。
Hewitt-Rossの証明に従う予定です。
これはWeilと違ってZornの補題を使ってないので私の好みにあってます。
>まあ表現論とかは止めとくんですかね～
今のところ、その予定はないです。
局所コンパクトアーベル群の双対定理あたりは当然やりますが。
0718馬鹿猫 ◆ghclfYsc82
2009/06/17(水) 11:13:57Pontrjagin dualの話もありましたっけねぇ、確か。
そんでZorn lemmaが嫌いならば、壬生先生のホンも
「その方式」じゃないですかね、もう忘れましたが。
でもやっぱり「一番面白い」のは表現論との関係じゃない
ですかね、まだ他にも面白いのはあるんだろうけれど・・・
0719Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 12:23:52>そんでZorn lemmaが嫌いならば、壬生先生のホンも
>「その方式」じゃないですかね、もう忘れましたが。
壬生氏の本はHewitt-Rossとほとんど同じです。
使ってる記号もほとんど同じですし。
0720Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 12:26:27Haar測度の存在と一意性の証明に関してほとんど同じという意味です。
積分論のところもほとんど同じですが。
0721Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/17(水) 12:54:44>でもやっぱり「一番面白い」のは表現論との関係じゃない
>ですかね、
やってもいいですが、本論に入るのが遠くなるので。
因みに、将来の予定ですが、
大域類体論
局所類体論
虚数乗法論
明示的相互法則
岩沢理論
p進L関数
アーベル体の類数計算
代数体の種々の不変量（整数基、判別式、単数規準、類数など）の具体的計算
などをやろうとしてます。
この順番にやるとは限らないですが。
0722キモ猫 ◆ghclfYsc82
2009/06/17(水) 18:12:04積分論なんてどうでもエエから、早く先へ行って下さいな
0723Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 15:20:44X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
(g_i), i ∈ I を X 上の局所μ可積分な正値関数の族で
局所可算(>>114)とする。
g = Σg_i が局所μ可積分なためには族 ((g_i)μ), i ∈ I が
総和可能(>>81)であることが必要十分である。
さらにこのとき、gμ= Σ(g_i)μ となる。
証明
仮定から X の各点 x に対して x のコンパクト近傍 V_x で、
(g_i)|V_x ≠ 0 となる i の全体 I_x は可算であるようなものが存在する。。
g|V_x = Σ(g_i)|V_x, i ∈ I_x であるから g|V_x は可測(>>119)である。
よって、可測関数の局所性(過去スレ010の500)より g は可測である。
任意の f ∈ K+(X, R) に対して、f(g_i) ≠ 0 となる i の全体は
可算であるから>>107より、∫^e fg dμ = Σ∫^e f(g_i) dμ となる。
fg はσ-有限だから、過去スレ010の472より
∫^e fg dμ = ∫^* fg dμ
過去スレ010の507より
g が局所μ可積分なためには ∫^* fg dμ ＜ +∞ が必要十分である。
これは、Σ∫^e f(g_i) dμ ＜ +∞ と同値である。
各 f(g_i) はσ-有限だから、過去スレ010の472より
これは、Σ∫^* f(g_i) dμ ＜ +∞ と同値である。
ν_i = (g_i)μ とおけば、これは、Σ∫ f dν_i ＜ +∞ と同値である。
即ち g が局所μ可積分なためには 族 (ν_i), i ∈ I が総和可能であることが
必要十分である。
このとき、ν = Σν_i とおけば、∫ f dν = ∫ fg dμ となる。
よって、ν = gμ である。
即ち、gμ= Σ(g_i)μ となる。
証明終
0724Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 15:49:17X を局所コンパクト空間とし、
θを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
E を X の閉集合とする。
η = (χ_E)θ とおく。
このとき |η|(X - E) = 0 である。
証明
>>211より、|η| = (χ_E) |θ| である。
f を Supp(f) ⊂ X - E となる K+(X, R) (過去スレ009の740) の元とする。
f(χ_E) = 0 であるから ∫ f d|η| = ∫ f(χ_E) d|θ| = 0
K を K ⊂ X - E となる X のコンパクト部分集合とする。
過去スレ007の706より、
χ_K ≦ f となる f ∈ K+(X, R) で Supp(f) ⊂ X - E となるものが存在する。
|η|(f) = 0 だから |η|(K) = 0 である。
過去スレ008の56より、|η|(X - E) = sup {|η|(K) | K はコンパクトで K ⊂ X - E }
よって、|η|(X - E) = 0
証明終
0725Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 15:54:19>>724
>θを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
0726Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 16:28:28>>193
>μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
μ を X 上の有界な正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
0727Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 16:29:38命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の有界な正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
ν を X 上の実Radon測度(過去スレ009の729)とし、
ある実数 M ＞ 0 に対して |ν| ≦ Mμ とする。
このとき ν = gμ となる可積分な関数 g: X → [0, +∞] が存在する。
ここで gμ はμ と g の積(過去スレ010の588)である。
証明
f を L^2(X, R, μ)(過去スレ010の304)の元とする。
>>192より f ∈ L^2(X, R, ν) である。
νは有界であるから>>191より f ∈ L^1(X, R, ν) である。
|f| と 1 にHoelderの不等式(過去スレ010の584)を適用して、
(∫|f|d|ν|)^2 ≦ (∫|f|^2d|ν|)(∫d|ν|)
一方、過去スレ010の8より |∫fdν|^2 ≦ (∫|f|d|ν|)^2 となる。
また、|ν| ≦ Mμだから
(∫|f|^2d|ν|)(∫d|ν|) ≦ M^2μ(1)∫|f|^2dμ
よって
|∫fdν|^2 ≦ M^2μ(1)∫|f|^2dμ
よって、写像 f → ∫fdν は L^2(X, R, μ) 上の連続な線形形式である。
Rieszの定理(>>20)より L^2(X, R, μ) の元 g が存在し、
任意の f ∈ L^2(X, R, μ) に対して ∫fdν = ∫fgdμ となる。
特に任意の f ∈ K(X, R) に対して ∫fdν = ∫fgdμ となる。
よって ν = gμである。
証明終
0728Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 16:59:47X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、
μ零集合であるコンパクト集合はすべてν零集合であるとする。
X のコンパクト集合 K で (χ_K)ν ≦ M(χ_K)μ となる定数 M ＞ 0 が
存在するようなもの全体をΨとする。
このとき、μ(L) ＞ 0 となる X の任意のコンパクト集合 L は
μ(K) ＞ 0 となる K ∈ Ψ を含む。
証明
M ＞ ν(L)/μ(L) となる任意の実数 M を選ぶ。
α = (χ_L)(ν + Mμ)、β = (χ_L)(ν - Mμ) とおく。
ν - Mμ ≦ ν より、sup(ν - Mμ, 0) ≦ ν
Mμ - ν ≦ Mμ より、sup(Mμ - ν, 0) ≦ Mμ
よって、過去スレ010の5より
|ν - Mμ| = sup(ν - Mμ, 0) + sup(Mμ - ν, 0) ≦ ν + Mμ
よって、|β| ≦ α
>>727より、β = uα となる可積分な関数 u: X → [0, +∞] が存在する。
u は u と α-a.e. に等しい関数で置き換えてよいから、
>>712と>>724より u は普遍的に可測で X - L において 0 と仮定してよい。
よって、H = { x ∈ X; u(x) ＜ 0 } とおけば H は普遍的に可測で H ⊂ L となる。
μ(H) = 0 と仮定する。>>716より、ν(H) = 0 である。
よって、α(H) = 0 である。即ち、u ≧ 0 (α-a.e.)
よって、β ≧ 0 である。
一方、M ＞ ν(L)/μ(L) だから β(L) ＜ 0
これは矛盾である。よって、μ(H) ＞ 0 である。
過去スレ008の73より μ(H) = sup {μ(K) | K ⊂ H, コンパクト集合 K }
よって H に含まれるコンパクト集合 K で μ(K) ＞ 0 となるものがある。
(χ_K)(ν - Mμ) = (χ_K)β = (χ_K)(uα) = ((χ_K)u)α
(χ_K)u ≦ 0 だから (χ_K)(ν - Mμ) ≦ 0 である。
即ち (χ_K)ν ≦ M(χ_K)μ である。
証明終
0729Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 17:44:58>>728
>(χ_K)(ν - Mμ) = (χ_K)β = (χ_K)(uα) = ((χ_K)u)α
ここで結合律(>>700)を使っている。
0730Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 18:03:05X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、
μ零集合であるコンパクト集合はすべてν零集合であるとする。
X のコンパクト集合 K で (χ_K)ν ≦ M(χ_K)μ となる定数 M ＞ 0 が
存在するようなもの全体をΨとする。
このとき Ψ は X において μ密である。
証明
>>728より>>195の(1)、(2)を示せばよい。
K ∈ Ψ とし、E を Borel集合で E ⊂ K とする。
(χ_K)ν ≦ M(χ_K)μ となる定数 M ＞ 0 が存在する。
(χ_E)((χ_K)ν) ≦ (χ_E)(M(χ_K)μ)
>>700より
(χ_E)ν = (χ_E)((χ_K)ν) ≦ (χ_E)(M(χ_K)μ) = M(χ_E)μ
よって、E ∈ Ψ
よって >>195の(1)が成り立つ。
K ∈ Ψ, L ∈ Ψ とする。
χ_(K ∪ L) = χ_K + χ_(L - K)
上で述べたことより、L - K ∈ Ψ だから
(χ_(L - K))ν ≦ N(χ_(L - K))μ となる定数 N ＞ 0 が存在する。
K ∈ Ψ だから
(χ_K)ν ≦ M(χ_K)μ となる定数 M ＞ 0 が存在する。
M’= sup(M, N) とおく。
χ_(K ∪ L)ν = (χ_K)ν + (χ_(L - K))ν
≦ M’(χ_K)μ + M’(χ_(L - K))μ = M’((χ_K)μ + (χ_(L - K))μ)
= M’(χ_(K ∪ L))μ
よって、 K ∪ L ∈ Ψ
よって >>195の(2)が成り立つ。
証明終
0731Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 21:27:33X を局所コンパクト空間とし、
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u を X 上の複素数値関数で局所θ-可積分(過去スレ010の504)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f を X から F への写像とする。
f = 0 (局所(uθ)-a.e.) であるためには
uf = 0 (局所θ-a.e.) であることが必要十分である。
証明
f = 0 (局所(uθ)-a.e.) と |f| = 0 (局所|uθ|-a.e.) は同値である。
これは、>>211より |f| = 0 (局所(|u| |θ|)-a.e.) と同値である
同様に uf = 0 (局所θ-a.e.) と |u| |f| = 0 (局所|θ|-a.e.) は同値である。
一方、>>512より、∫^e |f| d(|u| |θ|) = ∫^e |u| |f| d|θ| である。
これと過去スレ010の484と485より、本命題の主張が得られる。
証明終
0732Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 21:35:45X を局所コンパクト空間とし、
θを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)とする。
u を X 上の複素数値関数で局所θ-可積分(過去スレ010の504)とする。
uθ = 0 であるためには u = 0 (局所θ-a.e.) が必要十分である。
証明
uθ = 0 は 1 = 0 (局所(uθ)-a.e.) と同値である。
>>731より、これは u = 0 (局所θ-a.e.) と同値である。
証明終
0733Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 21:43:31X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
u を X 上の複素数値関数で局所θ-可積分(過去スレ010の504)とする。
uμ ≧ 0 であるためには u ≧ 0 (局所μ-a.e.)が必要十分である。
証明
uμ ≧ 0 と uμ = |uμ| は同値である。
>>211より、これは uμ = |u| μ と同値である。
>>732より、これは u = |u| (局所μ-a.e.) と同値である。
これは、u ≧ 0 (局所μ-a.e.) と同値である。
証明終
0734Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/19(金) 21:58:31X を局所コンパクト空間とする。
μ と ν を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とし、
μ零集合であるコンパクト集合はすべてν零集合であるとする。
このとき ν = gμ となる局所μ-可積分な関数 g: X → [0, +∞] が存在する。
証明
X のコンパクト集合 K で (χ_K)ν ≦ M(χ_K)μ となる定数 M ＞ 0 が
存在するようなもの全体をΨとする。
>>730より、Ψ は X において μ密である。
>>78より、互いに交わらないΨの元からなるからなる局所可算族
(K_i), i ∈ I が存在し、N = X - ∪K_i は局所μ零集合となる。
X の任意のコンパクト部分集合 L に対して L ∩ N = ∩(L - K_i) であり、
(K_i) は局所可算だから L ∩ N はBorel集合である。
よって、過去スレ008の65より N は普遍的に可測である。
よって、>>716より、N は局所ν零集合である。
よって、(χ_(K_i)), i ∈ I は局所可算な関数族(>>114)であり、
1 = Σχ_(K_i) (局所μ-a.e) かつ 1 = Σχ_(K_i) (局所ν-a.e)である。
μ_i = χ_(K_i)μ、ν_i = χ_(K_i)νとおくと、
>>723より、μ = Σμ_i、ν = Σν_i となる。
一方、各 i ∈ I に対して ν_i = (M_i)μ_i となる定数 M_i が存在する。
>>727より、ν_i = (g_i)μ_i となる(μ_i)-可積分な関数 g_i: X → [0, +∞]
が存在する。
>>733より、g_i ≧ 0 (局所(μ_i)-a.e.) である。
>>724より、g_i は X - K_i で 0 と仮定してよい。
>>700より、
ν_i = (g_i)μ_i = (g_i)(χ_(K_i)μ) = (g_i)(χ_(K_i))μ = (g_i)μ
g = Σg_i とおく。族 (g_i), i ∈ I は局所可算である。
族 (ν_i), i ∈ I は総和可能だから、>>723より g = Σg_i は
局所μ可積分であり、gμ= Σ(g_i)μ = Σν_i = ν となる。
証明終
0735Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/20(土) 10:30:48X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上のRadon測度、μを Y 上のRadon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数とする。
上積分(過去スレ008の146) ∫^* f dν を ∬^* f dλdμ、∬^* f dμdλ または
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) または ∬^* f(x, y) dμ(y)dλ(x) と書く。
同様に本質的上積分(過去スレ010の460) ∫^e f dν を
∬^e f dλdμ、∬^e f dμdλ または
∬^e f(x, y) dλ(x)dμ(y) または ∬^e f(x, y) dμ(y)dλ(x) と書く。
∫^* (∫^* f(x, y) dλ(x)) dμ(y) を ∫^* dμ(y) ∫^* f(x, y) dλ(x) とも書く。
∫^e dμ(y) ∫^e f(x, y) dλ(x) なども同様に定義する。
0736Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/20(土) 11:12:06X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
x に ∫^* f(x, y) dμ(y) を対応させる写像は下半連続であり、
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
証明
Φ = { g ∈ K+(X×Y, R) ; 0 ≦ g ≦ f } とおく。
任意の g ∈ Φ に対して、過去スレ010の253より、
∫ g(x, y) dμ(y) は x の関数として K+(X, R) に属す。
過去スレ008の120より、f = sup Φ である。
よって、任意の x_0 ∈ X に対して f(x_0, y) = sup { g(x_0, y) ; g ∈ Φ }
各 g ∈ Φ に対して y の関数 g(x_0, y) は K+(Y, R) に属す。
よって、過去スレ008の144より、
∫^* f(x_0, y) dμ(y) = sup { ∫ g(x_0, y) dμ(y) ; g ∈ Φ }
x_0 は任意だったから
∫^* f(x, y) dμ(y) = sup { ∫ g(x, y) dμ(y) ; g ∈ Φ }
よって、x の関数 ∫^* f(x, y) dμ(y) は下半連続である。
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) = sup { ∬ g(x, y) dλ(x)dμ(y) ; g ∈ Φ }
= sup { ∫dλ(x)∫g(x, y)dμ(y) ; g ∈ Φ } (過去スレ010の272)
= ∫^* sup { ∫g(x, y)dμ(y) ; g ∈ Φ } dλ(x) (過去スレ008の144)
= ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)
証明終
0737Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/20(土) 11:16:32>>735
>λを X 上のRadon測度、μを Y 上のRadon測度とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
0738Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/20(土) 15:19:13X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数とする。
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
証明
g ∈ K+(X×Y, R)、g ≧ f のとき、任意の x ∈ X に対して
∫^* g(x, y) dμ(y) ≧ ∫^* f(x, y) dμ(y)
よって、
∫^* dλ(x) ∫^* g(x, y) dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)
この左辺は、過去スレ010の272より、∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) に等しい。
よって、
∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)
この左辺の g に関する inf をとって、
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
証明終
0739Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/20(土) 16:01:43X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数で f = 0 (ν-a.e.) とする。
このとき、x の関数 ∫^* f(x, y) dμ(y) = 0 (λ-a.e.)である。
証明
>>738より、
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
左辺は 0 であるから右辺も 0 である。
よって、過去スレ008の165より、∫^* f(x, y) dμ(y) = 0 (λ-a.e.)である。
証明終
0740Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 08:19:06X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数でνに関してσ-有限とする。
このとき、x の関数 ∫^* f(x, y) dμ(y) はλに関してσ-有限である。
証明
>>508より、各整数 n ≧ 0 に対し f_n: X×Y → [0, ∞] で
f = Σf_n となる関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (ν-a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で有界であり、
K_n の外では 0 となる。
過去スレ008の162より、
∫^* f(x, y) dμ(y) ≦ Σ∫^* f_n(x, y) dμ(y)、n ≧ 0
p: X×Y → X を射影とすると、各 n ＞ 0 に対して p(K_n) はコンパクトであり、
f_n(x, y) は x ∈ X - p(K_n) のとき 0 である。
よって、このとき ∫^* f_n(x, y) dμ(y) = 0 である。
一方、>>739より ∫^* f_0(x, y) dμ(y) = 0 (λ-a.e.)である。
即ち λ零集合 N があり、 x ∈ X - N のとき
∫^* f_0(x, y) dμ(y) = 0 である。
以上から、 x ∈ X - (N ∪ p(K_n)) のとき ∫^* f(x, y) dμ(y) = 0 である。
証明終
0741Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 08:27:23>>508は f の可測性を仮定しているが>>508の証明を見れば f は可測でなくとも
f = Σf_n となる関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (ν-a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で有界であり、
K_n の外では 0 となる。
0742Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 15:34:43X を局所コンパクト空間とし、
μを X 上の正値Radon測度とする。
f : X → [0, ∞] を X 上のμ可測関数とする。
E を X のσ-有限(過去スレ010の462)なμ可測集合とする。
このとき、μ零集合 N と互いに交わらないコンパクト集合の列 (K_n) があり、
E - N = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となり、f は各 K_i で連続である。
証明
E はσ-有限だから互いに交わらない測度有限の可測集合の列 (E_n) があり、
E = ∪E_n, n = 1, 2, . . . となる。
各 E_n について補題が成り立てば、E についても補題が成り立つ。
よって、μ(E) ＜ +∞と仮定してよい。
f は可測だから定義(過去スレ010の292)より、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、f は K で連続となる。
従って、K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 があり、
f は K_1 で連続となる。
同様に、μ(E - K_1) ＜ +∞ であるから
K_2 ⊂ E - K_1 で μ(E - (K_1∪K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2
があり、f は K_2 で連続となる。
これを続けて、K_n ⊂ E - (K_1∪K_2∪. . . ∪K_(n-1)) で
μ(E - (K_1∪K_2∪. . . ∪K_n))) ＜ 1/n となるコンパクト集合列 (K_n)
がある。
E_n = E - (K_1∪K_2∪. . . ∪K_n) とおく。
E_1 ⊃ E_2 ⊃ . . . であり、
∩E_n = E - ∪K_n である。
μ(∩E_n) = lim(μ(E_n)) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終
0743Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 16:16:43X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数で f = 0 (ν-a.e.) とする。
このとき、X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき
y の関数 f(x, y) = 0 (μ-a.e.)である。
証明
>>739より、X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき
∫^* f(x, y) dμ(y) = 0 である。
よって、このとき、y の関数 f(x, y) = 0 (μ-a.e.)である。
証明終
0744Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 16:20:43X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
N を X の部分集合でν零集合とする。
任意の x ∈ X に対して N(x) = { y ∈ Y; (x, y) ∈ N } とおく。
このとき X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
N(x) は μ零集合である。
証明
χ_N = 0 (ν-a.e.) である。
よって、>>743より、このとき、X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき
y の関数 χ_N(x, y) = 0 (μ-a.e.)である。
これは μ(N(x)) = 0 を意味する。
証明終
0745Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 16:38:30X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上のν可測関数でνに関してσ-有限とする。
このとき、y の関数 f(x, y) がμ可測でないような x の集合 M は
λ零集合である。
証明
S(f) = {(x, y) ∈ X×Y; f(x, y) ≠ 0} とおく。; f(x) ≠ 0} とおく。
仮定より S(f) はνに関してσ-有限であるから
S(f) ⊂ ∪V_n, n = 1, 2, . . . となる開集合の列 (V_n), n = 1, 2, . . .
で各 n に対して ν(V_n) ＜ +∞ となるものが存在する。
V = ∪V_n, n = 1, 2, . . . とおく。
>>742より、V に含まれる ν零集合 N と互いに交わらないコンパクト集合の
列 (K_n) があり、
V - N = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となり、f は各 K_i で連続である。
任意の x ∈ X に対して、
(X - V)(x) = { y ∈ Y; (x, y) ∈ X - V }
N(x) = { y ∈ Y; (x, y) ∈ N }
(K_n)(x) = { y ∈ Y; (x, y) ∈ K_n }, n = 1, 2, . . .
とおく。
(X - V)(x) は Y の開集合であり、(K_n)(x) は Y の閉集合である。
Y = (X - V)(x) ∪ N(x) ∪ (∪(K_n)(x), n = 1, 2, . . .) である。
y の関数 f(x, y) は (X - V)(x) と各 (K_n)(x) において連続である。
>>744より、X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
N(x) は μ零集合である。
よって、このとき、>>123より、f(x, y) はμ可測である。
証明終
0746Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 17:30:48補題
X を局所コンパクト空間とし
μを X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数でμに関してσ-有限(過去スレ010の465)とする。
このとき、各 n ≧ 0 に対し f_n: X → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で有界であり、
K_n の外では 0 となる。
証明
g_n = inf(f, n+1) - inf(f, n) とおけば、g_n は有界で、
f = Σg_n であるから、f は有界と仮定してよい。
S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } とおくと、S(f) はσ-有限である。
よって、μ(E_n) ＜ +∞ となる可測集合列 (E_n), n = 0, 1, 2, ...
で互いに交わらないものが存在し、S(f) ⊂ ∪E_n, n = 0, 1, 2, ... となる。
h_n = fχ_(E_n) とおけば、f = Σh_n であるから
f は、μ(E) ＜ +∞ となる可測集合 E の外では 0 と仮定してよい。
>>499より、E に含まれるコンパクト集合の列 (K_n), n = 1, 2, ... で
互いに交わらないものがあり F = ∪K_n とおくと μ(E - F) = 0 となる。
f_0 = fχ_(E - F)
n ＞ 0 のとき f_n = fχ_(K_n) とおけばよい。
証明終
0747Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 17:52:08X, Y をそれぞれHausdorff位相空間とする。
K を X×Y の部分集合でコンパクトとする。
任意の x ∈ X に対して K(x) = { y ∈ Y; (x, y) ∈ K } はコンパクトである。
証明
p: X×Y → X
q: X×Y → Y
をそれぞれ射影写像とする。
p(K) および q(K) はコンパクトであり、K ⊂ p(K)×q(K) である。
y ∈ Y に (x, y) ∈ X×Y を対応させる写像をψ_xとする。
明らかにψ_x は連続である。
K(x) = (ψ_x)^(-1)(K) であるから K(x) は Y の閉集合である。
x ∈ p(K) のとき、K(x) ⊂ q(K) であるから K(x) はコンパクト集合 q(K) の
閉部分集合としてコンパクトである。
x ∈ X - p(K) のとき、K(x) は空集合であるから K(x) はやはりコンパクトである。
証明終
0748Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 17:57:39X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数でνに関してσ-有限とする。
このとき、このとき X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
y の関数 f(x, y) はμに関してσ-有限である。
証明
>>746より、各整数 n ≧ 0 に対し f_n: X×Y → [0, ∞] で
f = Σf_n となる関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (ν-a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で有界であり、
K_n の外では 0 となる。
>>743より、X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき
y の関数 f(x, y) = 0 (μ-a.e.)である。
各 n ＞ 0 に対して y の関数 f_n(x, y) は K_n(x) = {y ∈ Y; (x, y) ∈ K_n}
の外で 0 である。
>>747より、K_n(x) はコンパクトである。
以上から x ∈ X - M のとき y の関数 f(x, y) = Σf_n(x, y) は
μに関してσ-有限である。
証明終
0749Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 18:51:19X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数でνに関して可測かつσ-有限とする。
このとき、このとき X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
y の関数 f(x, y) はμに関して可測かつσ-有限である。
さらに、このとき、x の関数 ∫^* f(x, y) dμ(y) は λ可測であり、
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
証明
>>745および>>748より、X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
y の関数 f(x, y) はμに関して可測かつσ-有限である。
>>509より、各 n ≧ 0 に対し f_n: X×Y → [0, ∞] で f = Σf_n となる
関数列 (f_n) で次の条件を満たすものが存在する。
1) f_0 = 0 (ν-a.e.)
2) 各 n ＞ 0 に対してコンパクト集合 K_n があり f_n は K_n で
有限かつ連続であり、K_n の外では 0 となる。
各 n ≧ 0 に対し
∬^* f_n(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫^* dλ(x) ∫^* f_n(x, y) dμ(y) を
示せばよい。
n = 0 の場合は>>738より、
∬^* f_0(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f_0(x, y) dμ(y) である。
左辺は 0 であるから右辺も 0 である。
よって、この場合は成り立つ。
(続く)
0750Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 18:52:00よって、f は、あるコンパクト集合 K の外で 0 となり、K では連続と仮定してよい。
G を K ⊂ G となる開集合で ν(G) ＜ +∞ となるようなものとする。
M = sup(f) とおく。仮定より、M ＜ +∞ である。
h = M(χ_G) とおき、g = h - f とおく。
f = h - g であり、g ≧ 0 である。
h は下半連続であるから g も下半連続である。
>>736より、x に ∫^* h(x, y) dμ(y) を対応させる写像は下半連続であり、
∬^* h(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫^* dλ(x) ∫^* h(x, y) dμ(y) である。
同様に
>>736より、x に ∫^* g(x, y) dμ(y) を対応させる写像は下半連続であり、
∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫^* dλ(x) ∫^* g(x, y) dμ(y) である。
よって、x に ∫^* f(x, y) dμ(y) を対応させる写像はλ可測であり、
∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫^* dλ(x) ∫^* g(x, y) dμ(y) である。
証明終
0751Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 18:55:21>>750
>h は下半連続であるから g も下半連続である。
f は上半連続であるから -f は下半連続である。
よって、g = h - f は下半連続である。
0752Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 19:11:50X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [-∞, +∞] を X×Y 上の関数でν-可積分とする。
このとき、このとき X のλ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
y の関数 f(x, y) はμ-可積分である。
さらに、このとき、x の関数 ∫ f(x, y) dμ(y) は λ-可積分であり、
∬ f(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫ dλ(x) ∫ f(x, y) dμ(y) である。
証明
f ≧ 0 のときは、>>749より明らかである。
一般の場合も、f(+) = sup(f, 0), f(-) = sup(-f, 0) とおけば、
f = f(+) - f(-) となることから明らかである。
証明終
0753Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 21:16:57X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : X×Y → F をν-可積分とする。
このとき、このとき X のλ零集合 N があり、x ∈ X - N のとき、
y の関数 f(x, y) はμ-可積分である。
さらに、このとき、x の関数 ∫ f(x, y) dμ(y) は λ-可積分であり、
∬ f(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫ dλ(x) ∫ f(x, y) dμ(y) である。
証明
X×Y から実数体 R への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(X×Y, R) とする(過去スレ009の21)。
K(X×Y, R) の有限個の元 ψ_1, ..., ψ_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1ψ_1 + ... + c_nψ_n 全体を K[F] とする。
>>736と>>608より任意の h ∈ K[F] に対して
∬ h(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫ dλ(x) ∫ h(x, y) dμ(y) である。
>>586より、K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。
1) lim ∫ |f - f_n| dν = 0
2) 列 (f_n) は ν-a.e.に f に収束する
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∬ g dν ＜ +∞
(続く)
0754Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 21:17:40|f_n| = |f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f(n-1))|
≦ |f_1| + |f_2 - f_1| + ... + |f_n - f(n-1)| ≦ g
よって、Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∬ f dν = lim ∬ f_n dν
>>744より、λ零集合 M があり、x ∈ X - M のとき、
y の関数 f_n(x, y) は μ-a.e. に f(x, y) に収束する。
g はν-可積分だから、>>752より、X のλ零集合 L があり、
x ∈ X - L のとき、y の関数 g(x, y) はμ-可積分である。
|f_n(x, y)| ≦ g(x, y) であるから Lebesgue の項別積分定理より
x ∈ X - (M ∪ L) のとき、∫ f(x, y) dμ(y) = lim ∫ f_n(x, y) dμ
x ∈ X - L のとき、
|∫ f_n(x, y) dμ| ≦ ∫ |f_n(x, y)| dμ ≦ ∫ g(x, y) dμ(y)
>>752より、∬ g(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫ dλ(x) ∫ g(x, y) dμ(y) である。
即ち、∫ g(x, y) dμ(y) はλ-可積分である。
よって再び、Lebesgue の項別積分定理より
x ∈ X - (M ∪ L) のとき、
∫ dλ(x) ∫ f(x, y) dμ(y) = ∫ dλ(x) (lim ∫ f_n(x, y) dμ)
= lim ∫dλ(x) ∫ f_n(x, y) dμ(y)
一方、f_n ∈ K[F] だから、最初に述べたことより、
lim ∫dλ(x) ∫ f_n(x, y) dμ(y) = lim ∬ f_n dν = ∬ f dν
以上から、∬ f(x, y) dλ(x)dμ(y) = ∫ dλ(x) ∫ f(x, y) dμ(y) である。
証明終
0755Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 22:00:36X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
E を X×Y の部分集合で ν-可測かつ ν(E) ＜ +∞ とする。
このとき、X のλ零集合 N があり、x ∈ X - N のとき、
E(x) = { y ∈ Y; (x, y) ∈ E } はμ-可測かつ μ(E(x)) ＜ +∞ である。
さらに、このとき、x の関数 μ(E(x)) は λ-可積分であり、
ν(E) = ∫ μ(E(x)) dλ(x) である。
証明
E の特性関数を f として、>>753を適用すればよい。
0756Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 23:16:42X, Y を局所コンパクト空間とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の下半連続関数とする。
g : Y → [0, ∞] を Y 上の下半連続関数とする。
(x, y) の関数 fg = f(x)g(y) は X×Y 上の下半連続関数である。
証明
過去スレ008の120より、、
f = sup{h ; 0 ≦ h ≦ f, h ∈ K+(X, R) } である。
同様に、
g = sup{k ; 0 ≦ k ≦ g, k ∈ K+(Y, R) } である。
よって、fg = sup{fk ; 0 ≦ k ≦ g, k ∈ K+(Y, R) }
= sup{sup{hk; 0 ≦ h ≦ f, h ∈ K+(X, R)}; 0 ≦ k ≦ g, k ∈ K+(Y, R)}
h ∈ K+(X, R) かつ k ∈ K+(Y, R) のとき hk ∈ K+(X×Y, R) である。
よって、fg は K+(X×Y, R) に属す関数の上限であるから下半連続関数である。
証明終
0757Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 23:48:18X, Y を局所コンパクト空間とする。
f : X → [0, ∞] を X 上の関数とする。
g : Y → [0, ∞] を Y 上の関数とする。
∫^* f(x) dλ(x) と ∫^* g(y) dμ(y) のどちらか一方が +∞ で
他方が 0 でないとする。
このとき、
∬^* f(x) g(y) dλ(x)dμ(y) = (∫^* f(x) dλ(x)) (∫^* g(y) dμ(y)) である。
証明
>>738より、
∬^* f(x) g(y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x) g(y) dμ(y) である。
この右辺は、(∫^* f(x) dλ(x)) (∫^* g(y) dμ(y)) に等しい。
よって、
∬^* f(x) g(y) dλ(x)dμ(y) ≦ (∫^* f(x) dλ(x)) (∫^* g(y) dμ(y)) を
示せばよい。
(∫^* f(x) dλ(x)) (∫^* g(y) dμ(y)) = +∞ の場合は、これは明らかである。
この場合は、仮定より、
∫^* f(x) dλ(x) と ∫^* g(y) dμ(y) のどちらか一方が +∞ である。
よって、∫^* f(x) dλ(x) と ∫^* g(y) dμ(y) の両方が有限と仮定してよい。
(続く)
0758Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 23:48:59任意の ε ＞ 0 に対して、
∫^* h(x) dλ(x) ＜ ∫^* f(x) dλ(x) + ε となる、下半連続関数 h ≧ f が
存在する。
同様に、
∫^* k(y) dμ(y) ＜ ∫^* g(y) dμ(y) + ε となる、下半連続関数 k ≧ g が
存在する。
>>736より、
∬^* h(x) k(y) dλ(x)dμ(y) = (∫^* h(x) dλ(x)) (∫^* k(y) dμ(y)) である。
よって、
∬^* h(x) k(y) dλ(x)dμ(y) ＜ (∫^* f(x) dλ(x) + ε) (∫^* g(y) dμ(y) + ε)
f(x) g(y) ≦ h(x) k(y) であるから、
∬^* f(x) g(y) dλ(x)dμ(y) ＜ (∫^* f(x) dλ(x) + ε) (∫^* g(y) dμ(y) + ε)
ε ＞ 0 は任意だから、
∬^* f(x) g(y) dλ(x)dμ(y) ≦ (∫^* f(x) dλ(x)) (∫^* g(y) dμ(y))
証明終
0759Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/22(月) 23:52:34>>758
>∬^* h(x) k(y) dλ(x)dμ(y) = (∫^* h(x) dλ(x)) (∫^* k(y) dμ(y)) である。
>>757より、h(x) k(y) は下半連続である。
よって、>>736より、
∬^* h(x) k(y) dλ(x)dμ(y) = (∫^* h(x) dλ(x)) (∫^* k(y) dμ(y)) である。
0760Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/23(火) 00:22:59X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
(f_n), n = 1, 2, . . . を X 上の正値関数の族で
lim ∫^* f_n dμ = 0 とする。
このとき、(f_n) の部分列 (f_(n_k)), k = 1, 2, . . . が存在し、
lim f_(n_k) = 0 (μ-a.e.) となる。
証明
自然数列 n_1 ＜ n_2 ＜ . . . ＜ n_k ＜ . . . を
任意の k に対して、∫^* f_(n_k) dμ ≦ 1/2^k となるようにとれる。
Σ ∫^* f_(n_k) dμ ＜ +∞ である。
過去スレ008の162より、
∫^* (Σf_(n_k)) dμ ≦ Σ ∫^* f_(n_k) dμ ＜ +∞ であるから
過去スレ008の161より、Σf_(n_k) ＜ +∞ (μ-a.e.) である。
よって、lim f_(n_k) = 0 (μ-a.e.) となる。
証明終
0761Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/23(火) 01:43:34>>757
>X, Y を局所コンパクト空間とする。
X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
0762Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/23(火) 08:41:41X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f ∈ L^1(X, R, λ)
g ∈ L^1(Y, R, μ)
のとき、fg ∈ L^1(X×Y , R, ν) であり、
∬ f(x) g(y) dλ(x)dμ(y) = (∫ f(x) dλ(x)) (∫ g(y) dμ(y)) である。
証明
fg がν-可測であることを示せば、>>757より命題の主張が得られる。
過去スレ008の338より、
lim ∫ |f - φ_n| dλ = 0
lim ∫ |g - ψ_n| dμ = 0
となる K(X, R) の元の列 (φ_n), n = 1,. 2, . . .
と、K(Y, R) の元の列 (ψ_n), n = 1,. 2, . . . が存在する。
∫^* |fg - (φ_n)(ψ_n)| dν
≦ ∫^* (|fg - f(ψ_n)| + |f(ψ_n) - (φ_n)(ψ_n)|) dν
≦ ∫^* (|fg - f(ψ_n)| dν + ∫^* |f(ψ_n) - (φ_n)(ψ_n)|) dν
>>757より、この右辺は、
(∫^* |f| dλ) (∫^* (|g - (ψ_n)| dμ)
+ (∫^* |f - (φ_n)|) dλ) (∫^* |ψ_n|) dμ) に等しい。
列 (∫^* |ψ_n|) dμ) は有界であるから、n → +∞ のとき、この右辺 → 0 である。
よって、>>760より、列 (|fg - (φ_n)(ψ_n)|) の部分列で ν-a.e. に
0 に収束するものがある。
(φ_n)(ψ_n) ∈ K(X×Y , R) であるから、fg はν-可測である。
証明終
0763Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/23(火) 09:37:11X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
A を X の部分集合でλに関して可測かつσ-有限とする。
B を Y の部分集合でμに関して可測かつσ-有限とする。
このとき、A×B はν可測であり、ν(A×B) = λ(A)μ(B) となる。
証明
X の有限測度をもつ可測集合の単調増大列 A_1 ⊂ A_2 ⊂ . . . で
A = ∪A_n となるものがある。
同様に、B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . . があり B = ∪B_n となる。
>>762より、χ_((A_n)×(B_n)) = χ_(A_n)χ_(B_n) は L^1(X×Y , R, ν) に属し、
ν((A_n)×(B_n)) = λ(A_n)μ(B_n)
両辺の lim をとれば命題の主張がえられる。
証明終
0764Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 09:55:43X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ可測な写像とする。
任意の f ∈ K(Y, R) に対して fπ が本質的にμ可積分(過去スレ010の270)
のとき、π をμ適正であるという。
0765Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 10:01:12X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正な写像とする。
任意の f ∈ K(Y, R) に対して ∫ f(π(x)) dμ(x) を対応させる写像は
明らかに正値Radon測度である。
これを、π による μ の像といい、π(μ) と書く。
0766Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 12:19:03X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な連続写像とする。
f : Y → [0, +∞] を下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
ν = π(μ) とおく。
このとき、fπ は下半連続であり、
∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Φ = { g ∈ K+(Y, R) ; 0 ≦ g ≦ f } とおく。
過去スレ008の120より、f = sup Φ である。
よって、fπ = sup {gπ; g ∈ Φ} である。
π は仮定より連続であるから任意の g ∈ Φ に対して gπ は連続である。
よって、fπ は下半連続である。
∫^* f(y) dν(y) = sup { ∫ g(y) dν(y) ; g ∈ Φ }
= sup { ∫ g(π(x)) dμ(x) ; g ∈ Φ }
過去スレ008の144より、この右辺は、∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
証明終
0767Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 13:19:06X をHausdorff空間、Y を局所コンパクト空間とする。
連続写像 f : X → Y は、Y の任意のコンパクト集合 K に対して
f^(-1)(K) がコンパクトのとき固有(proper)という。
0768Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 13:30:00X と Y をともに局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像とする。
このとき、π はμ適正(>>764)である。
証明
f ∈ K(Y, R) のとき K = Supp(f) とおく。
L = π^(-1)(K) とおく。
仮定より、L はコンパクトである。
f(π(x)) ≠ 0 なら π(x) ∈ K であるから x ∈ L である。
即ち、Supp(fπ) ⊂ L である。
よって、fπ ∈ K(X, R) である。
よって、π はμ適正である。
証明終
0769Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 13:42:14X_1, X_2 をともにHausdorff空間とし、
Y_1, Y_2 をともに局所コンパクト空間とする。
f: X_1 → Y_1 と g: X_1 → Y_1 をともに固有写像とする。
このとき、f × g: (X_1) × (X_2) → (Y_1) × (Y_2) は固有写像である。
証明
K と L をそれぞれ Y_1 と Y_2 のコンパクト集合とする。
(Y_1) × (Y_2) の任意のコンパクト集合 M は K × L の形の集合に
含まれるから、(f × g)^(-1)(K × L) がコンパクトであることを
示せばよい。
しかし、(f × g)^(-1)(K × L) = f^(-1)(K) × g^(-1)(L) だから、
これは明らかである。
証明終
0770Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 13:43:28>>769
>f: X_1 → Y_1 と g: X_1 → Y_1 をともに固有写像とする。
f: X_1 → Y_1 と g: X_2 → Y_2 をともに固有写像とする。
0771Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 14:08:18X_1, X_2, Y_1, Y_2 を局所コンパクト空間とする。
μ_1 と μ_2 をそれぞれ X_1 と X_2 上の正値Radon測度とする。
π_1: X_1 → Y_1 と π_2: X_2 → Y_2 をともに固有写像とする。
このとき、
(π_1)×(π_2) ((μ_1)×(μ_2)) = (π_1)(μ_1)×(π_2)(μ_2)
である。
証明
f_1 ∈ K+(Y_1, R), f_2 ∈ K+(Y_2, R) とする。
(f_1)(π_1) ∈ K+(X_1, R), (f_2)(π_2) ∈ K+(X_2, R) であり、
過去スレ010の269より、
∬ (f_1)(π_1) (f_2)(π_2) d(μ_1) d(μ_2)
= (∫ (f_1)(π_1) d(μ_1)) (∫ (f_2)(π_2) d(μ_2))
即ち、∬ (f_1) (f_2) dλ = (∫ f_1 d(ν_1)) (∫ f_2 d(ν_2)) である。
ここで、
λ = (π_1)×(π_2) ((μ_1)×(μ_2))
ν_1 = (π_1)(μ_1)
ν_2 = (π_2)(μ_2)
過去スレ010の269より、これは、λ = (ν_1)×(ν_2) を意味する。
証明終
0772Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 16:56:07X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像で、S = Supp(μ) 上で連続であるとする。
f : Y → [0, +∞] を下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
ν = π(μ) とおく。
このとき、fπ はμ可測であり、
∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Φ = { g ∈ K+(Y, R) ; 0 ≦ g ≦ f } とおく。
過去スレ008の120より、f = sup Φ である。
g ∈ Φ に対して、S 上では gπ に一致し、 X - S 上では +∞ となる
関数を h_g とおく。
h_f = sup {h_g ; g ∈ Φ} とおく。
S 上では h_f = fπ である。
任意の g ∈ Φ に対して、h_g は下半連続であるから、h_f も下半連続である。
μ(X - S) = 0 であるから h_f = fπ (μ-a.e.) である。
よって、>>658より、fπ はμ可測である。
過去スレ008の144より、
∫^* h_f dμ(x) = sup { ∫^* h_g dμ(x) ; g ∈ Φ}
= sup { ∫^* g(π(x)) dμ(x) ; g ∈ Φ}
= sup { ∫^* g(y) dν(y) ; g ∈ Φ}
= ∫^* f(y) dν(y)
一方、h_f = fπ (μ-a.e.) であるから、
∫^* h_f dμ(x) = ∫^* f(π(x)) dμ(x)
よって、∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
証明終
0773Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 18:25:03X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
f : Y → [0, +∞] を下半連続(過去スレ008の113)な関数とする。
ν = π(μ) とおく。
このとき、fπ はμ可測であり、
∫^e f(y) dν(y) = ∫^e f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で π の K への制限は連続 } とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
各 i に対して ν_i = π(μ_i) とおく。
任意の g ∈ K+(Y, R) に対して
∫ g dν = ∫ gπ dμ = Σ ∫ gπ dμ_i = Σ ∫ g dν_i
よって、ν = Σν_i となる。
よって、>>88より、∫^e f dν = Σ∫^e f dν_i である。
>>772より、fπ は各 i に対して (μ_i)-可測であり、
∫^* f dν_i = ∫^* fπ dμ_i となる。
特に、f が定値写像 1 のとき、∫^* 1 dν_i = ∫^* 1 dμ_i ＜ +∞
即ち ν_i は有界である。
よって、上の等式は ∫^e f dν_i = ∫^e fπ dμ_i となる。
よって、∫^e f dν = Σ∫^e fπ dμ_i
>>88より、この右辺は ∫^e fπ dμ である。
>>95より、fπ はμ-可測である。
証明終
0774Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 18:45:42X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
f : Y → [0, +∞] を関数とする。
ν = π(μ) とおく。
このとき、
∫^* f(y) dν(y) ≧ ∫^e f(π(x)) dμ(x) である。
証明
g を Y 上の下半連続関数で f ≦ g とする。
fπ ≦ gπ であるから、∫^e fπ dμ ≦ ∫^e gπ dμ である。
>>773より、この右辺は ∫^e g dν である。
>>300より、∫^e g dν = ∫^* g dν
よって、∫^e fπ dμ ≦ ∫^* g dν
右辺の inf をとって、∫^e fπ dμ ≦ ∫^* f dν
証明終
0775Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 19:34:55X を位相空間とし、(A_i), i ∈ I を X の部分集合族で
X = ∪int(A_i), i ∈ I とする。
ここで、int(A_i) は A_i の内部である。
X の部分集合 B があり、各 i に対して B ∩ A_i が A_i の閉集合と
なるとする。
このとき、B は X の閉集合である。
証明
C = X - B とおく。
C ∩ A_i = A_i - (B ∩ A_i) であるから C ∩ A_i は A_i の開集合である。
C ∩ A_i = V_i ∩ A_i となる X の開集合 V_i がある。
C ∩ int(A_i) = (C ∩ A_i) ∩ int(A_i) = (V_i ∩ A_i) ∩ int(A_i)
= V_i ∩ int(A_i)
よって、C ∩ int(A_i) は X の開集合である。
X = ∪int(A_i) だから C = ∪(C ∩ int(A_i)) となり、C は X の開集合である。
よって、B は X の閉集合である。
証明終
0776１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 19:38:21かすかな声が、少女の唇から漏れる。
男の骨張った指は、なだらかに膨らんだ胸をなぞりあげ、桜色に隆起した先端を指の腹で嬲り始めた。
羞恥に頬を赤く染めながら、少女は熱く潤んだ視線をあらぬ方向に向ける。
「君の胸……柔らかくて気持ちいいよ……」
男は膝の上に少女を乗せて、思うがままにその肢体を嬲っているようだった。
今度は優しく太股の上をつたわせながら、男は指先を少女の深奥へと近づいていく。
0777１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 19:39:03結婚７年目を迎えた。ひとり息子は小学生になり専業主婦の妻も少し自由時間がとれるようになった。
ある日妻がスイミングスクールに通いたいと申し出てきた。友人の勧めで体系維持と健康の為に通うのだそうだ。
インストラクターはどんなヤツだ？と思ったが、頑張って来い！と即答し男らしさを演出してみせた。
妻が通い始めて２ヶ月ほど経ちスクールにも慣れ、妻も生き生きしているように見える。
いつも妻はスクールの報告をしてくれるが、あまり興味の無い話なので話半分で聞く。
「今日は○○さん、平泳ぎの動きがおかしくて・・」
「へえ、そうなんだ～」
・・・・
「あ、それと先週行けなかった分補習してくれるって」
「そうなんだ、じゃあいつもと違う生徒さんに出会えるね」
「そうじゃなくて、授業がない日にわざわざやってくれるんだって」
「ほう、すごいサービスだなぁ」
そこで以前より話題に出るオーナー兼インストラクターの加納先生を思い出す。
色黒で筋肉質、面白い授業で主婦に人気があるらしい。
「ってことは、加納先生とワンツーマンなのか？」
「違うよ。もう１人補習の人いるって言ってた。」
「そうか・・」
生徒が２人と聞いて少し安心したがどうもスッキリしない。
加納先生に妻が体を触られているんじゃないかと前から気になっていた気持ちが強まる。
補習は俺が外回りの日だった。
気になった俺は得意先に行くのを午後に回し、スイミングに妻に内緒で行ってみる事にした。
スクールの建物から一番離れた駐車場に車を止め、授業が始まった頃合を見て中に入る。
２階の入り口から入ると受け付けがあり、すぐ横に付き添い人が見学できるソファーが並ぶ。
プールは１階にある為、上から見下ろす目線で見学が出来る。
見学している人は他に居ないようだ。すぐさま受付から見えないソファーに腰掛け、妻を捜す。
すぐ目にとまる。浅い所にいる１０人位の集団はお母さんと子供が一緒にプールに浸かって練習している。
その反対側に小人数でやっている。ん？どう見ても先生らしき人と女性の生徒１人で練習しているように見える。
慌てて用意した双眼鏡をポケットから出す。
0778１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 19:40:47個人見解としては「もっとやったら良い」と思いますね。そういう議論をしな
かったら「シロウトは何時まで経ってもシロウト」でしょう。実際にフランスの
哲学者はそんなに馬鹿じゃないですよ、何かそういう事件があれば、それ
を機会に更なる勉強をしますしね。尤もこれは数学や物理と現代思想の
間の問題だけじゃなくって、他の分野間でも全く同じでしょう。そもそも「専
門家じゃない人はすっこんどれ！」では学問自身がその将来に亘って全く
進展しません。むしろかつて日本で起こった「東大駒場騒動」ではその後
の議論が全く無くて、大学人事の内部抗争で終わってしまった事の方が
不健全かつ勿体無い話だったと思いますね。この手の事件を、例えば
「ボグダノフ事件」と混同してはならないと思います。ソーカル事件には
悪意はありませんが、ボグダノフ事件は明らかに相手を騙そうとしていた
と猫には感じられますから。
0779１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 19:41:47かすかな声が、少女の唇から漏れる。
男の骨張った指は、なだらかに膨らんだ胸をなぞりあげ、桜色に隆起した先端を指の腹で嬲り始めた。
羞恥に頬を赤く染めながら、少女は熱く潤んだ視線をあらぬ方向に向ける。
「君の胸……柔らかくて気持ちいいよ……」
男は膝の上に少女を乗せて、思うがままにその肢体を嬲っているようだった。
今度は優しく太股の上をつたわせながら、男は指先を少女の深奥へと近づいていく。
「やぁぁっ……」
汗ばんだ髪を振り乱して、少女がかすかな悲鳴を上げた。
太股と太股のあいだ――ややくすんだバラ色をした秘裂の縁に、男の指先が触れたのだ。
男は少女の反応を楽しみながら、花びらを指先で慈しむように擦り上げる。
「湿った音がするね……感じてるんだ」
男の目が細められた次の瞬間、無遠慮に指先が少女の秘肉をかき分けた。
異物を挿入される感覚に、少女は官能を刺激されてうわずった声をあげる。
（＊＾ω＾）「オアッｗｗｗオアッｗｗｗｗｗｗ」
0780Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 19:43:28X と Y を位相空間とし、f を X から Y への写像とする。
(A_i), i ∈ I を Y の部分集合族で Y = ∪int(A_i), i ∈ I とする。
ここで、int(A_i) は A_i の内部である。
各 i に対して、f を f^(-1)(A_i) に制限した写像 f_i: f^(-1)(A_i) → A_i
が閉写像とする。
このとき f は閉写像である。
証明
B を X の閉集合とする。
各 i に対して、f(B) ∩ A_i = f_i(B ∩ f^(-1)(A_i)) であるから
f(B) ∩ A_i は A_i の閉集合である。
>>775より、f(B) は Y の閉集合である。
証明終
0781Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 19:49:05X をHausdorff空間、Y を局所コンパクト空間とする。
固有写像(>>767) f : X → Y は、閉写像である。
証明
(A_i), i ∈ I を Y のコンパクト集合族で Y = ∪int(A_i), i ∈ I とする。
各 i に対して、f を f^(-1)(A_i) に制限した写像 f_i: f^(-1)(A_i) → A_i
は、f^(-1)(A_i) がコンパクトであるから閉写像である。
よって、>>780より f は、閉写像である。
証明終
0782１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 19:53:49証明
B を X の閉集合とする。
各 i に対して、f(B) ∩ A_i = f_i(B ∩ f^(-1)(A_i)) であるから
f(B) ∩ A_i は A_i の閉集合である
証明
B を X の閉集合とする。
各 i に対して、f(B) ∩ A_i = f_i(B ∩ f^(-1)(A_i)) であるから
f(B) ∩ A_i は A_i の閉集合である
証明
B を X の閉集合とする。
各 i に対して、f(B) ∩ A_i = f_i(B ∩ f^(-1)(A_i)) であるから
f(B) ∩ A_i は A_i の閉集合である
0783１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 19:56:58強制的に精神病院から診断書を作成させ、そのまま泣き寝入りで退職させられた人がいた。
紐解いてみると、退職した人は不倫現場の目撃者だった。そしてでっち上げたのは不倫女だった。
この不倫女と相手の不倫男は、特異な縁故、紹介採用者のため、社内では誰も口出しできない高い立場にあった。
不倫女のこの所業は、不倫男が退職してしまった原因が目撃者にあると逆恨みしたことによるものだった。
0784１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 20:04:250785１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 20:31:38/⌒ /⌒_ 丶
/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
!,i. ／ i
／:::;' , - '::l ヽ l
,':::::::::::i ／::::::::::::::l 入 l
i::::::::::::::',./::::::::::::::::::::::l . ', l
',:::::::::::;ｨ!;::::::::::::::::::::::::';ﾉ i l
｀i‐ ' ',ヽ::::::::::::::::::ノ＝=ｭ.,.ｲ l
／ ｀ " ´ /; /
/ ', /
i j '. i/
!: : j （
'r lj; /ヽ
＼ '' .,ｒ ヾ
iヽ,, __,,／ .i
,! ヽ`''ｰ‐ァ-─ ' ／ /
. l ヽ､::::::::::::: ／ /
l ｀ヽ／ /
0786１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 20:53:330787Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 21:37:59X を空でない準コンパクト空間(過去スレ006の104)とし、
f: X → [-∞, +∞] を下半連続とする。
このとき、f(a) = inf {f(x); x ∈ X} となる点 a ∈ X が存在する。
証明
有限な α ∈ f(X) に対して、f^(-1)([-∞, α]) を考える。
f^(-1)([-∞, α]) 全体はフィルター基底(過去スレ006の77)となる。
しかも、各 f^(-1)([-∞, α]) は X の閉集合であるから、
X が準コンパクトであることから、共通点 a を少なくとも一つもつ。
この a が求めるものである。
証明終
0788Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 21:58:08X と Y を局所コンパクト空間とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とし、
g : X → [-∞, +∞] を下半連続とする。
y ∈ Y のとき f(y) = inf {g(x) ; x ∈ π^(-1)(y) } と定義する。
π^(-1)(y) が空のときは f(y) = +∞ である。
このとき、f は下半連続である。
証明
任意の有限実数 a に対して
B_a = { y ∈ Y; f(y) ≦ a }
A_a = { x ∈ X; g(x) ≦ a }
とおく。
B_a が閉集合であることを示せばよい。
A_a は閉集合であるから、π(A_a) = B_a を示せばよい。
任意の x に対して f(π(x)) ≦ g(x) であるから、
π(A_a) ⊂ B_a である。
y ∈ B_a のとき、π^(-1)(y) はコンパクトで空ではない。
よって、>>787より、g(x) = inf {g(t); t ∈ π^(-1)(y)} となる点
x ∈ π^(-1)(y) が存在する。
g(x) = f(y) ≦ a であるから x ∈ A_a である。
π(x) = y であるから π(A_a) = B_a である。
証明終
0789Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 22:03:13>>788
>A_a は閉集合であるから、π(A_a) = B_a を示せばよい。
>>781より π は閉写像である。
0790１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 22:05:190791Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/24(水) 23:02:53X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
さらに、K = Supp(μ) はコンパクトで π は K 上で連続であるとする。
f : Y → [0, +∞] を関数とする。
このとき、
∫^e f(y) dν(y) = ∫^e f(π(x)) dμ(x) である。
証明
>>772より、
∫^* 1 dν(y) = ∫^* 1 dμ(x) ＜ +∞ である。
よって、ν および μ は有界である。
よって、>>774より、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* f(π(x)) dμ(x) を示せばよい。
∫^* f(π(x)) dμ(x) の定義から、X 上で下半連続で fπ ≦ h となる
任意の関数 h に対して、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* h(x) dμ(x) を示せばよい。
x ∈ π^(-1)(y) ∩ K のとき、h(x) ≧ f(π(x)) = f(y) である。
よって、g(y) = inf {h(x) ; x ∈ π^(-1)(y) ∩ K } と定義すれば、
f(y) ≦ g(y) であり、>>788を π の K への制限に適用すれば、
g は下半連続である。
>>773より
∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* g(y) dν(y) = ∫^* g(π(x)) dμ(x)
≦ ∫^* h(x) dμ(x)
証明終
0792１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 23:03:30/⌒ /⌒_ 丶
/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
Kummer ◆g2BU0D6YN2 の肖像
0793１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 23:14:01事務所内で、白衣を着たまま、お互いズボンをズリ下げ(女もズボンとして)、 バックでズップズップズンズン突いて、中出しフィニッシュ。
お互い放心状態で、ザーメンがダラダラ垂れてきて…後片付けなどせずバックレ
ズボンズリ下げ、バックでズンズンずっぷずっぷ突いて、 中出し＆ザーメンオマンコから垂れ流し、の構図に似合うのは白衣だろ。
確実に言える事は、 女なら試験官(採用試験なら面接官)のイチモツをしゃぶってザー汁全量ゴックンすれば合格
なんと素晴らしいCMなのだろう
「資格です 専門職です 病院勤務です 結婚 出産 子育てありです！」
平成21年でニチイ学館のCMはわが国で"神の域"となった。
ハッキリ言って、ニチイ学館のCMはわが国で"神の域"
ニチイ学館のCMは”ネ申”
☆ネ兄☆合格
何度も言うが、ニチイ学館のCMはわが国で"神の域"
誰がなんと言おうと、ニチイ学館のCMはわが国で"神の域"
もう一度繰り返すが、ニチイ学館のCMはわが国で"神の域"
さらに念を押すが、ニチイ学館のCMはわが国で"神の域"
ホント毎日毎日無能ジジイが天気の世間話をしてきてこまる。 毎日毎日発展の無い天気の話。成長してればよいのだが全く成長しない。安定さえもしない。
絡まれてシツコイ、避けると怒る。 若い優秀な人間が苦労するだけ。天気の話なんかやめろ。 当らない天気予報など競馬の予想屋と同じ。
0794１３２人目の素数さん
2009/06/24(水) 23:36:47/⌒ /⌒_ 丶
/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
Kummer ◆g2BU0D6YN2 の肖像
0795Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 00:26:47X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
f : Y → [0, +∞] を関数とする。
このとき、
∫^e f(y) dν(y) = ∫^e f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合で π の K への制限は連続 } とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算(>>76)な族である。
各 i に対して ν_i = π(μ_i) とおく。
任意の g ∈ K+(Y, R) に対して
∫ g dν = ∫ gπ dμ = Σ ∫ gπ dμ_i = Σ ∫ g dν_i
よって、ν = Σν_i となる。
よって、>>88より、∫^e f dν = Σ∫^e f dν_i である。
>>791より、∫^e f dν_i = ∫^e fπ dμ_i となる。
よって、∫^e f dν = Σ∫^e fπ dμ_i
>>88より、この右辺は ∫^e fπ dμ である。
証明終
0796１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 01:42:12遂にリアッ●のニューバージョンが販売された。
これって、本当に髪の毛が生えるのだろうか・・？
調べてみたところ、てっぺんハゲには高い効果があるらしい・・
そして、ハゲ疑惑がある、あの若手有名人も利用しているらしい・・
でも、海外には、もっとすごい商品があるらしい・・
ロゲインとか、倍毛DXとか、かなり生えるらしい・・
0797１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 01:50:580798１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 08:00:48ｗ
0799１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 08:47:51海外から買えば、５分の一以下の値段だよ
ていうか、おまえたち、もう禿ているのか？
0800Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 09:38:55X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
Y の部分集合 N が局所ν零集合であるためには、π^(-1)(N) が
局所μ零集合であることが必要十分である。
証明
>>795より、
∫^e χ_N dν(y) = ∫^e χ_N(π(x)) dμ(x) = ∫^e χ_π^(-1)(N) dμ(x)
これから命題の主張は明らかである。
証明終
0801１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 10:04:37/⌒ /⌒_ 丶
/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
Kummer ◆g2BU0D6YN2 の肖像
0802１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 10:05:27/⌒ /⌒_ 丶
/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
Kummer ◆g2BU0D6YN2 の肖像
0803１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 10:06:10おまえのような薄汚くて、臭い奴を一応は教員として
扱ってやったんだ
しかし内心、みんなお前をバカにしていたよ
ドラッグ漬けでろれつも回らないおまえの
相手をしたやったんだから有難いを思えｗ
0804１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 10:13:33平面x+2y+3z=1に直行して、点(2.1.1)を通る直線を求めよ。
直線と平面の交わる点なら出せるんですが、結局よく分かりません。
0805Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 10:54:57X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
f : Y → [0, +∞] を任意の関数とする。
ν = π(μ) とおく。
このとき、
∫^* f(y) dν(y) ≧ ∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
証明
g を Y 上の下半連続関数で f ≦ g とする。
fπ ≦ gπ であるから、∫^* fπ dμ ≦ ∫^* gπ dμ である。
>>772より、この右辺は ∫^* g dν である。
よって、∫^* fπ dμ ≦ ∫^* g dν
右辺の inf をとって、∫^* fπ dμ ≦ ∫^* f dν
証明終
0806Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 11:09:07X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
f : Y → [0, +∞] を任意の関数とする。
ν = π(μ) とおく。
このとき、
∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
証明
>>805より、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* f(π(x)) dμ(x) を証明すればよい。
これには、X 上で下半連続で fπ ≦ h となる任意の関数 h に対して、
∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* h(x) dμ(x) を示せばよい。
y ∈ Y のとき g(y) = inf {h(x) ; x ∈ π^(-1)(y) } と定義する。
π^(-1)(y) が空のときは g(y) = +∞ である。
>>788より、g は下半連続である。
任意の y ∈ Y に対して、f(y) ≦ g(y) である。
よって、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* g(y) dν(y)
この右辺は、>>772より、∫^* g(π(x)) dμ(y) に等しい。
任意の x ∈ X に対して、g(π(x)) ≦ h(x) である。
よって、∫^* g(π(x)) dμ(y) ≦ ∫^* h(x) dμ(x)
よって、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* h(x) dμ(x) となる。
証明終
0807１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 11:11:00しつこいな クンマー
おまえの日記に使うなよ
0808Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 11:38:13X をコンパクト空間、Y をHausdorff空間とし、
π: X → Y を連続な全射とする。
Z を位相空間とし、f : Y → Z を写像とする。
このとき、fπ が連続であれば f も連続である。
証明
π(x) = π(y) のとき x と y は同値と定義し、X の同値関係 ～ を入れる。
この同値関係による商空間を X/～ とする。
p: X → X/～ を標準写像とする。
p(x) に π(x) を対応させることにより、写像 g: X/～ → Y が得られる。
p と g は連続である。
π は全射だから、g は全単射である。
X/～ はコンパクトであり、Y はHausdorffだから g は閉写像である。
よって、g は位相同型である。
即ち、X/～ と Y は同一視でき、π は標準写像とみなせる。
これから命題の主張はほとんど明らかであるが、一応詳細に証明する。
π: X → Y は gp: X → X/～ → Y と分解する。
よって、fπ = fgp である。
fπ は連続であるから、Y の任意の開集合 U に対して
π^(-1)(f^(-1)(U)) = p^(-1)(g^(-1)(f^(-1)(U))) は開集合である。
X/～ の位相の定義から g^(-1)(f^(-1)(U)) は X/～ の開集合である。
g は位相同型であるから、f^(-1)(U) は Y の開集合である。
よって、f は連続である。
証明終
0809Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 11:43:31>>808
>fπ は連続であるから、Y の任意の開集合 U に対して
fπ は連続であるから、Z の任意の開集合 U に対して
0810１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 12:41:09/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
0811１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 12:42:48/⌒ /⌒_ 丶
/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
!,i. ／ i
／:::;' , - '::l ヽ l
,':::::::::::i ／::::::::::::::l 入 l
i::::::::::::::',./::::::::::::::::::::::l . ', l
',:::::::::::;ｨ!;::::::::::::::::::::::::';ﾉ i l
｀i‐ ' ',ヽ::::::::::::::::::ノ＝=ｭ.,.ｲ l
／ ｀ " ´ /; /
/ ', /
i j '. i/
!: : j （
'r lj; /ヽ
＼ '' .,ｒ ヾ
iヽ,, __,,／ .i
,! ヽ`''ｰ‐ァ-─ ' ／ /
. l ヽ､::::::::::::: ／ /
l ｀ヽ／ /
0812Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 14:23:56>>767
>X をHausdorff空間、Y を局所コンパクト空間とする。
>連続写像 f : X → Y は、Y の任意のコンパクト集合 K に対して
>f^(-1)(K) がコンパクトのとき固有(proper)という。
このとき、X は自動的に局所コンパクトである。
何故なら、任意の x ∈ X に対して f(x) のコンパクト近傍 V をとると、
f^(-1)(V) は x のコンパクト近傍であるから。
0813Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 15:17:27X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
f を Y から位相空間 G へのν可測な写像とする。
このとき、fπ はμ可測である。
証明
π はμ可測であるから、X の任意のコンパクト集合 M と、任意の実数 ε ＞ 0
に対して、K ⊂ M で μ(M - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K があり、
π の K への制限が連続になる。
π(K) はコンパクトであるから、Y のν零集合 N と Y のコンパクト集合の
列 (L_n), n = 1, 2, . . . で、f の各 L_n への制限が連続になるような
ものが存在し、N と (L_n) は π(K) の分割になる。
π^(-1)(N) ∩ K と (π^(-1)(L_n) ∩ K), n = 1, 2, . . . は K の分割である。
>>800より、π^(-1)(N) は局所μ零集合であるから、π^(-1)(N) ∩ K は
μ零集合である。
π^(-1)(L_n) ∩ K はコンパクトで、fπ の π^(-1)(L_n) ∩ K への制限は
連続である。
よって、P ⊂ K で μ(K - P) ＜ ε となるコンパクトな P で fπ の
P への制限が連続になるものが存在する。
P ⊂ M で μ(M - P) = μ((M - K) ∪ (K - P)) ＜ 2ε であるから
fπ はμ可測である。
証明終
0814Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/25(木) 16:28:37X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
f を Y から位相空間 G への写像で、fπ はμ可測であるとする。
このとき、f はν可測である。
証明
Φ = { L ; L は Y のコンパクト集合で f の L への制限は連続 } とおく。
N を任意の L ∈ Φ に対し N ∩ L がν零集合となるような Y の部分集合とする。
Ψ = { K ; K は X のコンパクト集合で π および fπ の K への制限は連続 }
とおく。
>>122より、Φ はμ密である。
任意の K ∈ Ψ をとる。
π の K への制限 π|K : K → π(K) を考える。
fπ の K への制限は連続であるから、>>808より、f の π(K) への制限は
連続である。よって、π(K) ∈ Φ である。
仮定より、N ∩ π(K) はν零集合である。
よって、>>800より、π^(-1)(N ∩ π(K)) は局所μ零集合である。
よって、K ∩ π^(-1)(N) ⊂ π^(-1)(N ∩ π(K)) は局所μ零集合であるが、
K はコンパクトなのでμ零集合である。
>>50より、π^(-1)(N) はμ零集合である。
よって、>>800より、N は局所ν零集合である。
>>50より、Φ はν密である。
よって、過去スレ008の177より、f はν可測である。
証明終
0815１３２人目の素数さん
2009/06/25(木) 18:43:380816Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 08:27:19>>363
>fχ_A は可測で ∫^* fχ_A dμ = ∫^e f dμ ＜ +∞ だから
>>362の証明より、A はコンパクト集合の可算個の合併であるから可測集合である。
よって、fχ_A は可測である。
0817Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 08:38:36X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
f : Y → [0, +∞] をν可積分な関数とする。
このとき、f(π(x)) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
>>795より、∫^e f(y) dν(y) = ∫^e f(π(x)) dμ(x) である。
f はσ-有限だから、過去スレ010の472より、
∫^e f(y) dν(y) = ∫^* f(y) dν(y) である。
f は可測であるから ∫^* f(y) dν(y) = ∫ f(y) dν(y) である。
よって、∫^e f(π(x)) dμ(x) ＜ +∞ である。
よって、>>363より、f(π(x)) は本質的にμ可積分である。
よって、∫^e f(π(x)) dμ(x) = ∫ f(π(x)) dμ(x)
証明終
0818Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 08:44:29>>817
>よって、>>363より、f(π(x)) は本質的にμ可積分である。
>>813より、f(π(x)) はμ可測である。
よって、>>363より、f(π(x)) は本質的にμ可積分である。
0819Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 08:46:59X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
ν = π(μ) とおく。
f : Y → [0, +∞] をν可積分な関数とする。
このとき、f(π(x)) はμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
>>806より、∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(π(x)) dμ(x) である。
f はν可積分であるから ∫^* f(y) dν(y) = ∫ f(y) dν(y) ＜ +∞ である。
よって、∫^* f(π(x)) dμ(x) ＜ +∞ である。
>>813より、f(π(x)) はμ可測である。
よって、f(π(x)) はμ可積分である。
よって、∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
0820Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 09:32:13X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : Y → F をν-可積分とする。
このとき、f(π(x)) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Y から実数体 R への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(Y, R) とする(過去スレ009の21)。
K(Y, R) の有限個の元 ψ_1, ..., ψ_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1ψ_1 + ... + c_nψ_n 全体を K[F] とする。
>>817と>>608より任意の h ∈ K[F] に対して
∫ h(y) dν(y) = ∫ h(π(x)) dμ(x) である。
>>586より、K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。
1) lim ∫ |f - f_n| dν = 0
2) 列 (f_n) は ν-a.e.に f に収束する
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∬ g dν ＜ +∞
(続く)
0821Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 09:32:55|f_n| = |f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f(n-1))|
≦ |f_1| + |f_2 - f_1| + ... + |f_n - f(n-1)| ≦ g
よって、Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∫ f dν = lim ∫ f_n dν
>>800より、f_n(π(x)) は 局所μ-a.e. に f(π(x)) に収束する。
よって、f(π(x)) はμ可測である。
g はν-可積分だから、>>817より、g(π(x)) は本質的にμ可積分である。
|f_n(π(x))| ≦ g(π(x)) であるから f_n(π(x)) は本質的にμ可積分である。
よって、Lebesgue の項別積分定理より
f(π(x)) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(π(x)) dμ(y) = lim ∫ f_n(π(x)) dμ
一方、f_n ∈ K[F] だから、
∫ f(π(x)) dμ(y) = lim ∫ f_n(π(x)) dμ = lim ∫ f_n(y) dν(y)
= ∫ f(y) dν(y)
証明終
0822Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 09:39:57X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
ν = π(μ) とおく。
Y の部分集合 N がν零集合であるためには、π^(-1)(N) が
μ零集合であることが必要十分である。
証明
>>806より、
∫^* χ_N dν(y) = ∫^* χ_N(π(x)) dμ(x) = ∫^* χ_π^(-1)(N) dμ(x)
これから命題の主張は明らかである。
証明終
0823Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 09:42:49X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
ν = π(μ) とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : Y → F をν-可積分とする。
このとき、f(π(x)) はμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Y から実数体 R への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(Y, R) とする(過去スレ009の21)。
K(Y, R) の有限個の元 ψ_1, ..., ψ_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1ψ_1 + ... + c_nψ_n 全体を K[F] とする。
>>817と>>608より任意の h ∈ K[F] に対して
∫ h(y) dν(y) = ∫ h(π(x)) dμ(x) である。
>>586より、K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。
1) lim ∫ |f - f_n| dν = 0
2) 列 (f_n) は ν-a.e.に f に収束する
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∬ g dν ＜ +∞
(続く)
0824Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 09:43:30|f_n| = |f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f(n-1))|
≦ |f_1| + |f_2 - f_1| + ... + |f_n - f(n-1)| ≦ g
よって、Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∫ f dν = lim ∫ f_n dν
>>822より、f_n(π(x)) は μ-a.e. に f(π(x)) に収束する。
よって、f(π(x)) はμ可測である。
g はν-可積分だから、>>819より、g(π(x)) はμ可積分である。
|f_n(π(x))| ≦ g(π(x)) であるから f_n(π(x)) はμ可積分である。
よって、Lebesgue の項別積分定理より
f(π(x)) はμ可積分であり、
∫ f(π(x)) dμ(y) = lim ∫ f_n(π(x)) dμ
一方、f_n ∈ K[F] だから、
∫ f(π(x)) dμ(y) = lim ∫ f_n(π(x)) dμ = lim ∫ f_n(y) dν(y)
= ∫ f(y) dν(y)
証明終
0825Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 10:27:19X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とする。
μを X 上の正値Radon測度で Supp(μ) がコンパクトであるとする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : Y → F を関数とする。
このとき、f がν可積分であるためには f(π(x)) がμ可積分であることが、
必要十分である。
このとき、∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
Supp(μ) がコンパクトであるから μ(X) ＜ +∞ である。
>>795より、∫^e 1 dν(y) = ∫^e 1 dμ(x) である。
よって、∫^e 1 dν(y) ＜ +∞ である。
よって、sup {ν(L) ; L は Y のコンパクト集合全体を動く} ＜ +∞ である。
よって、ν(Y) ＜ +∞ である。
f がν可積分であるとする。
>>820より、f(π(x)) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) であるが、
μ(X) ＜ +∞ であるから f(π(x)) はμ可積分である。
逆に f(π(x)) がμ可積分であるとする。
>>814より、f はν可測である。
>>795より、∫^e |f(y)| dν(y) = ∫^e |f(π(x))| dμ(x) ＜ +∞ である。
よって、>>363より、f は本質的にν可積分である。
ν(Y) ＜ +∞ であるから f はν可積分である。
よって、>>820より、∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明終
0826Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 11:49:57X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : X → F を本質的にμ可積分な関数とする。
このとき、∫^e f dν = ∫ f dμ である。
証明
仮定より、μ可積分な関数 g: X → F で f = g (局所-a.e) となるものが
存在する。
過去スレ010の485より、∫^e f dν = ∫^e g dν である。
一方、g はσ-有限だから過去スレ010の472より、
∫^e g dν = ∫ g dν である。
よって、∫^e f dν = ∫ g dμ = ∫ f dμ である。
証明終
0827１３２人目の素数さん
2009/06/26(金) 12:03:29連投規制で引っかかった経験は無いの？
間の手が意味があるなら、入れてやるぜ。
0828Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 13:14:42X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : Y → F を本質的にν可積分な関数とする。
このとき、f(π(x)) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I はコンパクトで互いに交わらない
局所可算(>>76)な族である。
各 i に対して ν_i = π(μ_i) とおく。
任意の g ∈ K+(Y, R) に対して
∫ g dν = ∫ gπ dμ = Σ ∫ gπ dμ_i = Σ ∫ g dν_i
よって、ν = Σν_i となる。
>>669より、f は各 i に対して本質的に(ν_i)-可積分であり、
族 (∫ f dν_i), i ∈ I は絶対総和可能であり、
∫ f dν = Σ∫ f dν_i となる。
>>825より、fπ は (μ_i)-可積分であり、
Σ∫ f dν_i = Σ∫ fπ dμ_i となる。
よって、∫ f dν = Σ∫ fπ dμ_i
>>671より、fπ は本質的にμ可積分であり、
この右辺は ∫ fπ dμ である。
証明終
0829Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 13:25:56X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ適正(>>764)な写像とする。
ν = π(μ) とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : Y → F を関数とする。
f(π(x)) が本質的にμ可積分であるとき、
f は本質的にν可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
>>90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族(>>81) (μ_i), i ∈ I が存在し、
μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I はコンパクトで互いに交わらない
局所可算(>>76)な族である。
各 i に対して ν_i = π(μ_i) とおく。
任意の g ∈ K+(Y, R) に対して
∫ g dν = ∫ gπ dμ = Σ ∫ gπ dμ_i = Σ ∫ g dν_i
よって、ν = Σν_i となる。
>>669より、fπ は各 i に対して本質的に(μ_i)-可積分であり、
族 (∫ fπ dμ_i), i ∈ I は絶対総和可能であり、
∫ fπ dμ = Σ∫ fπ dμ_i となる。
>>825より、各 i に対して f は本質的に(ν_i)-可積分であり、
∫ f dν_i = ∫ fπ dμ_i である。
>>671より、f は本質的にν可積分であり、
族 (∫ f dν_i), i ∈ I は絶対総和可能であり、
∫ f dν = Σ∫ f dν_i である。
よって、∫ f dν = Σ∫ f dν_i = Σ∫ fπ dμ_i = ∫ fπ dμ
証明終
0830Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 13:39:12X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
ν = π(μ) とおく。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f : Y → F を関数とする。
f がν-可積分であるためには fπ がμ可積分であることが必要十分であり、
このとき、∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明
必要性と等式は>>823で証明されている。
逆に fπ がμ可積分であるとする。
>>806より、
∫^* |f(y)| dν(y) = ∫^* |f(π(x))| dμ(x) ＜ +∞ である。
>>814より、f はν可測である。
よって、f はν-可積分である。
よって、>>823より
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x)) dμ(x) である。
証明終
0831Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 14:14:21X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y をμ可測な写像とする。
πがμ適正(>>764)であるためには、
任意のコンパクト集合 K ⊂ Y に対して、
χ_π^(-1)(K) が本質的にμ可積分であることが必要十分である。
証明
πがμ適正(>>764)であるとする。
任意のコンパクト集合 K ⊂ Y に対して、
(χ_K)π = χ_π^(-1)(K) である。
>>828より、χ_π^(-1)(K) は本質的にμ可積分である。
逆に、任意のコンパクト集合 K ⊂ Y に対して、
χ_π^(-1)(K) が本質的にμ可積分であるとする。
任意の f ∈ K(Y, R) に対して K = Supp(f) とする。
∫^e |f(π(x))| dμ(x) ≦ |f|_b ∫^e χ_S(π(x)) dμ(x)
= |f|_b ∫^e χ_π^(-1)(K) dμ ＜ +∞
ここで、|f|_b = sup {|f(y)| ; y ∈ Y } である。
fπ はμ可測だから、>>363より fπ は本質的にμ可積分である。
証明終
0832Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 15:07:49μを実数体 R のLebesgue測度(過去スレ009の710)とする。
f : R → [-∞, +∞] をμ可積分な関数とする。
αを 0 でない有限実数とする。
このとき、f(αx) はμ可積分であり、
∫ f(αx) dμ(x) = (1/α)∫ f(x) dμ(x)
証明
x に αx を対応させる写像を π とする。
πは位相同型であるから固有写像である。
ν = π(μ) とおく。
h ∈ K(R, R) のとき、Riemann積分の変数変換の公式から
∫ h(αx) dx = (1/α) ∫ h(x) dx である。
よって、ν = (1/α)μ である。
よって、f はν-可積分であるから、
>>697より、∫ f dν = (1/α)∫ f dμ である。
一方、>>630より、f(αx) はμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(αx) dμ(x) である。
よって、
∫ f(αx) dμ(x) = (1/α)∫ f(x) dμ(x)
証明終
0833Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 15:58:00X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
π: X → Y を固有写像(>>767)とする。
ν = π(μ) とおく。
Y の部分集合 N がν零集合であるなら、π^(-1)(N) はμ零集合である。
証明
>>805より明らかである。
0834Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 15:59:03>>586より、K(R, R) の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。
1) lim ∫ |f - f_n| dμ = 0
2) 列 (f_n) は μ-a.e.に f に収束する
3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∫ g dμ ＜ +∞
各 n に対して、
|f_n| = |f_1 + (f_2 - f_1) + ... + (f_n - f(n-1))|
≦ |f_1| + |f_2 - f_1| + ... + |f_n - f(n-1)| ≦ g
Lebesgue の項別積分定理(過去スレ008の327)より
∫ f dμ = lim ∫ f_n dμ
一方、各 n に対して、∫ f_n(αx) dμ(x) = (1/α)∫ f_n(x) dμ(x)
(f_n) は μ-a.e.に f に収束するから、
>>833より、(f_n(αx)) はμ-a.e. に f(αx) に収束する
よって、Lebesgue の項別積分定理より、f(αx) はμ可積分であり、
∫ f(αx) dμ(x) dμ = lim ∫ f_n(αx) dμ(x) dμ
この右辺は lim (1/α)∫ f_n(x) dμ(x) dμ = (1/α)∫ f(x) dμ(x) dμ
に等しい。
証明終
0835Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 17:02:19μ を実数体 R 上の Lebesgue測度(過去スレ009の710)とする。
整数 n ＞ 0 に対して、μ_n を R^n の Lebesgue 測度とする。
αを 0 でない有限実数とする。
(x_1, ..., x_n) ∈ R^n に (αx_1, ..., αx_n) を対応させる写像をπとする。
A を R^n のLebesgue可測集合で、μ_n(A) ＜ +∞ とする。
このとき、ψ(A) はLebesgue可測であり、
μ_n(ψ(A)) = (α^n)μ_n(A) である。
証明
π = ψ^(-1) とおく。
π(x_1, ..., x_n) = ((1/α)x_1, ..., (1/α)x_n) である。
πは位相同型であるから固有写像である。
ν = π(μ) とおく。
f ∈ K(R^n, R) のとき、∫ f dν = ∫ fπ dμ_n = (α^n) ∫ f dμ_n
よって、ν = (α^n)μ_n である。
よって、χ_A はν-可積分で ∫ χ_A dν = (α^n) ∫ χ_A dμ_n
一方、>>830より、∫ χ_A dν = ∫ (χ_A)π dμ_n
よって、∫ (χ_A)π dμ_n = (α^n) ∫ χ_A dμ_n
この左辺は ∫ χ_ψ(A) dμ_n に等しい。
よって、μ_n(ψ(A)) = (α^n)μ_n(A) である。
証明終
0836Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 17:03:25>>835
>(x_1, ..., x_n) ∈ R^n に (αx_1, ..., αx_n) を対応させる写像をπとする。
(x_1, ..., x_n) ∈ R^n に (αx_1, ..., αx_n) を対応させる写像をψとする。
0837１３２人目の素数さん
2009/06/26(金) 17:08:26/ ﾟ` :.; " ﾟ`. .. 丶
/ :!.!_, 丶
/ --- 丶
/ 八 丶
（ / .丶＼ __ ,, , ）
! 八 :::''''''!
j＝ｭ r＝= j
| tｯ､,ﾞ` "r tｯ‐ｧ j
! ーﾉ !､`ー ' |
|'''ｲ 'ヽ'''' |
|. .:^ー^:':... ﾟ |
| ζ竺=ｧ‐､ ／|
! 二´ ／ ヽ
,'/ ／ ',
!,i. ／ i
／:::;' , - '::l ヽ l
,':::::::::::i ／::::::::::::::l 入 l
i::::::::::::::',./::::::::::::::::::::::l . ', l
',:::::::::::;ｨ!;::::::::::::::::::::::::';ﾉ i l
｀i‐ ' ',ヽ::::::::::::::::::ノ＝=ｭ.,.ｲ l
／ ｀ " ´ /; /
/ ', /
i j '. i/
!: : j （
'r lj; /ヽ
＼ '' .,ｒ ヾ
iヽ,, __,,／ .i
,! ヽ`''ｰ‐ァ-─ ' ／ /
. l ヽ､::::::::::::: ／ /
l ｀ヽ／ /
このスレは誰も見ていないぞ おまえは消えろ＞クンマーｗ
0838１３２人目の素数さん
2009/06/26(金) 17:11:12結婚７年目を迎えた。ひとり息子は小学生になり専業主婦の妻も少し自由時間がとれるようになった。
ある日妻がスイミングスクールに通いたいと申し出てきた。友人の勧めで体系維持と健康の為に通うのだそうだ。
インストラクターはどんなヤツだ？と思ったが、頑張って来い！と即答し男らしさを演出してみせた。
妻が通い始めて２ヶ月ほど経ちスクールにも慣れ、妻も生き生きしているように見える。
いつも妻はスクールの報告をしてくれるが、あまり興味の無い話なので話半分で聞く。
「今日は○○さん、平泳ぎの動きがおかしくて・・」
「へえ、そうなんだ～」
・・・・
「あ、それと先週行けなかった分補習してくれるって」
「そうなんだ、じゃあいつもと違う生徒さんに出会えるね」
「そうじゃなくて、授業がない日にわざわざやってくれるんだって」
「ほう、すごいサービスだなぁ」
そこで以前より話題に出るオーナー兼インストラクターの加納先生を思い出す。
色黒で筋肉質、面白い授業で主婦に人気があるらしい。
「ってことは、加納先生とワンツーマンなのか？」
「違うよ。もう１人補習の人いるって言ってた。」
「そうか・・」
生徒が２人と聞いて少し安心したがどうもスッキリしない。
加納先生に妻が体を触られているんじゃないかと前から気になっていた気持ちが強まる。
補習は俺が外回りの日だった。
気になった俺は得意先に行くのを午後に回し、スイミングに妻に内緒で行ってみる事にした。
スクールの建物から一番離れた駐車場に車を止め、授業が始まった頃合を見て中に入る。
２階の入り口から入ると受け付けがあり、すぐ横に付き添い人が見学できるソファーが並ぶ。
プールは１階にある為、上から見下ろす目線で見学が出来る。
見学している人は他に居ないようだ。すぐさま受付から見えないソファーに腰掛け、妻を捜す。
すぐ目にとまる。浅い所にいる１０人位の集団はお母さんと子供が一緒にプールに浸かって練習している。
その反対側に小人数でやっている。ん？どう見ても先生らしき人と女性の生徒１人で練習しているように見える。
慌てて用意した双眼鏡をポケットから出す。
0839Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 17:29:00求めてみる。
B^n = { (x_1, ..., x_n) ∈ R^n; (x_1)^2 + ... + (x_n)^2 ≦ 1 } とおく。
μ を R 上の Lebesgue測度(過去スレ009の710)とする。
μ_n を R^n の Lebesgue 測度とする。
μ_n は μ の n 個の積として定義される(過去スレ010の287)。
V_n = μ_n(B^n) とおく。
任意の y ∈ R に対して、
B^n(y) = {(x_1, ..., x_(n-1)) ∈ R^(n-1); (x_1, ..., x_(n-1), y) ∈ B_n}
とおく。
>>755より、V_n = ∫[-1, 1] μ_(n-1)(B^n(y)) dy である。
B^n(y) = {(x_1, ..., x_(n-1)) ∈ R^(n-1);
(x_1)^2 + ... + (x_(n-1))^2 ≦ 1 - y^2 }
である。
即ち、B^n(y) は直径 √(1 - y^2) の (n-1) 次元球である。
α = √(1 - y^2) とおく。
(x_1, ..., x_(n-1)) ∈ R^(n-1) に (α(x_1), ..., α(x_(n-1)))
を対応させる写像を ψ とする。
B^n(y) = ψ(B^(n-1)) である。
>>835より μ_(n-1)(B^n(y)) = (√(1 - y^2))^(n-1) V_(n-1)
よって、V_n = V_(n-1) ∫[-1, 1] (√(1 - y^2))^(n-1) dy
(続く)
0840Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/06/26(金) 17:29:50y = sin θ とおく。ただし、-π/2 ≦ θ ≦ π/2
∫[-1, 1] (√(1 - y^2))^(n-1) dy = ∫[-π/2, π/2] cos^n θ dθ
= 2∫[0, π/2] cos^n θ dθ
ところが、∫[0, π/2] cos^n θ dθ = (1/2)Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)
であり、Γ(1/2) = √π である(例えば、杉浦の解析入門)。
よって、V_n = π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)
0841髪を切った猫 ◆ghclfYsc82
2009/06/27(土) 15:00:190842１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:30:440843１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:31:300844１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:32:150845１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:32:590846１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:33:440847１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:34:260848１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:35:060849１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 15:35:460850１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 16:20:220851１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 16:21:060852１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 16:21:500853１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 16:22:300854１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:16:310855１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:17:120856１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:17:520857１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:18:320858１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:19:120859１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:19:520860１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:20:320861１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:25:030862１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 19:27:400863１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:20:450864１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:34:13一緒に海に行ったことはあるがち
ゃんと泳いでいる姿は始めて見た。
まあ、他に人はいるし心配する雰囲気じゃない。でも折角だからあまり見れない一生懸命な妻を見ていく事にする。
しばらく妻の下手な泳ぎを眺めていた。すると加納先生が何か説明をし始め、妻のビート板を取り上げてしまった。
不安そうな妻に加納先生は僕のところまで来てくださいとでも言っているのだろう、妻に手招きしている。
妻は意を決して手をぴんぴんに伸ばし、懸命にバタ足をしている。
何とか加納先生のところまで着きそうだ・・っておい！
妻は目を閉じているのかそのまま先生に突っ込んで行く。加納先生はそれをそのまま抱きとめる。
今、妻はおっぱいを触られたんじゃなかろうか。
心配は余所にその練習は５～６回続き、ほとんど妻は抱きかかえられる。
次は背泳ぎの練習らしい。いやな予感は的中し、今度は始めから背中とお尻を下から支えられたまま指導が行われる。
妻はお尻を触られる事を気にしているのか必要以上に腰を浮かす。すると加納先生はお腹の辺りを上から押さえ、フォームを修正する。
次はどう考えても早過ぎるバタフライの練習に入る。
まずはドルフィンキックの練習からだが、加納先生の手本通りに出来る訳無くやはり下から支えられる事になる。
双眼鏡で見ているものの所詮水の中の様子。
想像の範囲ではあるが・・どう考えても加納先生が伸ばす腕の延長上には妻のおっぱいと股間あるとしか見えない。
すぐさま踏み込んで行って加納先生に一言注意してやりたい気分だが証拠がある訳でもなく「練習の範囲内だ」と言い訳されたら返す言葉は無い。
そうこうしていると練習も終わり、妻は見えなくなった。
いけないものを見てしまった気分で俺は逃げるように建物を出た。
仕事が終わり家に帰ると妻はいつもと変わらない。
「今日の補習はどうだった？」
「え？ああ、私１人だった・・来る予定の人が来れなくなったみたい。あ、でもいっぱい練習出来たし、加納先生が誉めてくれたよ。」
「へえ、どんな事で？」
「バ、バタ足・・。」
「は？」
「なんかスジが良いからって皆が未だ教えてもらってない所まで進んだ。」
「へ、へえ」
0865１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:36:10ますます心配になってきた。
しかも妻の話では今週の日曜日は午前メンテナンスで午後はそのまま休館にするらしい。
今日は違う練習をした為、やり残した息継ぎの練
習をするそうだ。
妻もどうかと思い、断ろうとしたのだが心配なら旦那さんと来ればいい。と言われ断りきれなかったのだ。
俺もそういうことなら付いて行ってやろうと妻に答えた。
そして当日予定通り妻とスイミングに行くと、加納先生は待っていた。想像ほど背は高くないが胸板は厚そうだ。
「どうぞよろしく、今日はゆっくり見学していって下さい」と笑う表情は爽やかだ。
今日は休みだからと裏口から通された。階段を上がり職員室を通過し扉を空けると受付に出た。
「旦那さんはここから見学してて下さい。下に来ちゃうと奥さんが集中できませんから。」
それだけ言うと２人はそれぞれの更衣室へ入って行った。他には誰もいない。
練習が始まった。妻の言う通り息継ぎの練習をしている。
流石に大胆な事は出来ないだろう。それに妻だって俺が見ている事は知っているから抵抗するはずだ。
ところが２０分ほど経過するとプールから出て俺の立つ真下の方へ移動したのだ。
ガラスに顔をくっつけても見えない。また戻って来るのかと待っていてもその気配は無い。
俺は焦った。
下に行ってみようと思い、更衣室に入ろうとドアノブに手を掛けるが男用、女用共に開かない。
職員室もやはり無理だ。自動ドアの鍵は手で回すだけで開いた。外に出て裏口に走る。
が、ここも開いていない。おろおろしながらロビーへ戻る。
もう一度ガラスに顔を押し付けるが状態は変わらない。
プールの周りを見渡すとプールサイドの右奥に螺旋階段があるのに気付く。あれは非常階段か？とにかくそちら側に走る。
あった。非常口の扉には手で回せる鍵が付いている。
しかし、プラスティックのカバーが被せてあり、非常の場合壊せと書いてある。
非常ベルが鳴るのか？
と、思ったが悩んでいる暇は無い。掴んで引いてみる。
ガコッと音がすると間単にカバーは外れた。ベルは聞こえない。
そこからは音を出さないようにゆっくりとドアを空ける。
出るとすぐに螺旋階段があり、２人の声が微かに聞こえる。
0866１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:37:49靴を脱ぎ監視室を盾にしながら近づき、そのまま監視室に入る。
監視室は３方ガラス貼りなっており、スケジュールやポスターがベタベタと貼ってある。
妻がいる側のガラスにも何枚かのポスターが貼られてあり、その隙間から覗くとす
ぐ目の前１メートルのところに２人が見える。
こちら側は薄暗いし、ポスターに隠れてよほどでない限り向こうからは気付かないはずだ。
妻は巨大なビート板みたいな物の上にうつ伏せに寝かされて、加納先生は妻をまたいで立っている。
どうやらフォームの練習をしているらしいが、加納先生は上から妻を抱きかかえるように教えている。
妻は恥ずかしいのか顔を赤らめている。
加納先生が妻に「奥さん体をもう少しやわらかくした方が良いね。」と言い、こちらに歩き始めた。
俺は咄嗟に机の下に隠れた。
そのまま監視室に入って来ると、壁側のロッカーの中から何かを取り出し俺に気付かず戻って行った。
俺も良く見える定位置に戻る。
加納先生は妻に「体をやわらかくするローションを塗ってあげるから上向きになってね」という。
妻はそれに従い仰向けになる。加納先生の顔を直視できないのか顔を横に向ける。丁度俺から顔が丸見えだ。
加納先生は「じゃあ足の方から行くよ」と言いながらラブローションに似た容器のフタをあける。
自分の手にたっぷりと出した透明の液体を妻の白い足に塗り始める。
加納先生の手の動きに時折ビクッとしながらも無抵抗の妻は目を閉じ、顔は更に赤みを増した様子だ。
ふくらはぎから太股、ついに股関節まで来た。妻はあの辺りでじらされると弱いのだ。
膝を立て、そのまま横に開き俺もした事が無いＭ字開脚の格好をさせられる。
流石にその時には妻も「先生恥ずかしいです。」と言っていたが、加納先生は「大丈夫、かわいいよ。旦那さんからも見えないし。」と妻をなだめる。
久しぶりに言われたかわいいの言葉が効いたのか妻はそれ以上抵抗はせずそのままマッサージをされ続ける。
Ｍ字の格好のまま太股から付根までマッサージが繰り返される。
明らかに妻の様子が変わってきている。聞こえないが声が出始めたようだ。
0867１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:43:53何度かに一度水着越しに敏感な部分を触る。そのに合わせて妻の「はぁんっ」という声が聞こえる。
更に往復する度に水着の中へ少しづつ滑り込ませ始めたのを俺は見逃さない。
完全に水着の中まで手が入る頃には妻のあそこはグチョグチョになっているのだろう。
妻のあそこの濡れ具合に興奮したのか加納先生は自分の股間を妻のあそこに押しつけながら肩の関節のマッサージに変わった。
水着は着けたまま股間同士は擦れ合っているのだ。只、加納先生の方は競泳用水着の上から黒い棒が５～６㎝は飛び出しているが・・。
加納先生は肩を揉むように動かしながら前後に動いている。
首、肩、そしておっぱい迄を順にマッサージしていく間も飛び出した黒い棒が妻のあそこをなぞるように擦れている。
妻のおっぱいを見ると水着越しでも分かるくらい乳首が立っている。加納先生はそれを指ではじくようにマッサージする。
しばらく無言だった加納先生は「水着があるとやりにくいので少しずらすよ」と言うとあっという間に妻の肩ひもの部分を下してしまった。
妻はびっくりした様子だったが何も言わずにまた目を閉じて顔を横に向けてしまった。
妻の反応を見た加納先生は肩ひもだけに留まらず、そのまま妻のおっぱいの下まで脱がしてしまう。
加納先生は妻の形の良いおっぱいにローションを垂らし、円を描きながら塗り広げていく。
妻のおっぱいはローションでつるんつるんになっており、プリンのようにぷるぷるしている。
加納先生の手でどんなに形をかえようとも崩れない柔らかい乳房に反して乳首は硬さを増し、少し尖った形になっている。
0868１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:50:161000円そこそこで買えるんですがシリコンのイボイボサックです、
元々は早漏防止用らしいですが、
これを着けるとエロさ200倍で、太さ＆長さも怖いくらいで、
色もお好みしだいで、オマケに何度も使えるし最高って感じですね、
ただ、射精の快感のみを追求する男性には不向きですよ、
これは男より女が喜ぶアイテムなので、
そんな分けで、これを使われる事に狂ってるお隣の主婦のお話を。
僕とエッチを楽しむようになったのは、この春の下着が盗まれる話からで、
この春先、庭で洗車してた僕に妻のお友達でも有るお隣の奥さんが、
最近、午後に洗い干して有った娘の下着が盗まれると相談されたのがキッカケで、
何故？犯人は娘さんのだけ分かるのと聞くと、
上気した顔で私のは色気のないオバサンパンツだからと、
隣の娘さんは高校生、きっと派手なんでしょう、
旦那は去年の春から単身赴任で今年になり毎月は帰って来なくなり、
明るい時間とは云え裏庭まで侵入する下着泥棒に怖さを感じ、
僕に防犯用のセンサー付きの照明器具を取り付けてほしいと、
その時、妻もお出掛けしてたし娘さんも部活で留守だったので、
器具を取り附けた後の、お隣の居間でのお茶の時に、
この奥さん、かなり飢えてるなと察知して、
何だかんだと誘惑して、
その後は時々、性交相手として利用させてもらってるんです。
その奥さんに、このゴムを使ったら、潮を漏らしイキーっぱなしで、
これでクリを擦ってやり、膣肉を扱くと狂うんですよ、
子宮口をゴツゴツしてやり穴一杯にピチピチになった感触で、
これほどマンコが感じる性交はないとヨガリ狂いですからね。
0869１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 20:55:32指では感じなくなってた奥さんで、
旦那ともアナルセックスをしてたと言うだけ有り、
アナルも好きな奥さんが、
尻の穴まで、このイボイボサックのチンポで塞がれ、
こんなの初めてとヨダレまで垂らし絶頂するんですよ、
お隣で最高に便利な性欲処理牝なんですが、
なんせ妻にバレたらヤバイしお隣の娘の目も有り、
頻繁には無理ですが、
時には娘の下着を穿かせ性交なんてヤッテますが、
デカイ尻を揺らせ小娘みたいな下着を濡らし、
ゴムチンポで狂う普段は真面目を絵に描いた様な主婦なんですよ、
最近は僕のザーメンの味を美味しいと飲むし妻より可愛いなと、
妻はザーメンは嫌がり飲まない女で、
性交は大好きなのに卑怯な女なんですよ、
しかし町内で2人の人妻をゲットですが、
人妻って1度、変態性交をしてやると町内の小さな公園のトイレでさえ、
嫌がらず性交させるから怖いですよね、
白昼の公園の公衆便所での性交も僕の大好きなエッチ場所で、
和式のトイレで女に小便させた後に犯したりと、
最高に昂奮で町内の奥さんも声を殺しイクーんです。
最近は、どの女にもシリコンのイボイボサックで性交してますが、
最高にウケが良いですよ。
猫＝増田哲也さんも試してみませんかｗ？
0870１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:20:010871１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:20:420872１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:21:340873１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:22:150874１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:22:560875１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:23:380876１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:24:190877１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 21:25:010878髪を切った猫 ◆ghclfYsc82
2009/06/27(土) 21:27:28まあこの手の話やったら何処にでも書いてある
んだろうけどサ、そんでも数学の馬鹿話よりかは
２ちゃんらしくってマシかも知れませんなァ
こんなアホな話、全部読んでないさかい何が
どういう話だか良く判らへんけどネ、
人に勧めてどうすんねん
0879１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 22:25:120880１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 22:25:530881１３２人目の素数さん
2009/06/27(土) 23:19:330882１３２人目の素数さん
2009/06/28(日) 00:21:45最近は、どの女にもシリコンのイボイボサックで性交してますが、
最高にウケが良いですよ。
猫＝増田哲也さんも試してみませんかｗ？
最近は、どの女にもシリコンのイボイボサックで性交してますが、
最高にウケが良いですよ。
猫＝増田哲也さんも試してみませんかｗ？
最近は、どの女にもシリコンのイボイボサックで性交してますが、
最高にウケが良いですよ。
猫＝増田哲也さんも試してみませんかｗ？
最近は、どの女にもシリコンのイボイボサックで性交してますが、
最高にウケが良いですよ。
猫＝増田哲也さんも試してみませんかｗ？
0883猫でつ ◆ghclfYsc82
2009/06/28(日) 00:50:41効率がエエなぁ
0884１３２人目の素数さん
2009/06/28(日) 01:10:480885猫⊂社会の屑 ◆ghclfYsc82
2009/06/28(日) 01:23:310886１３２人目の素数さん
2009/07/11(土) 18:16:53nを6以上の自然数とする.
(n+1)C(n,[n/2]) > 2^(n+1),
となることを示せ.
〔Q2〕
nを7以上の自然数とする.
LCM(1,2,…,n) > 2^n,
となることを示せ.
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/121
不等式への招待４
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています