>>393 また、三角形での三線座標・四面体での四線（面？）座標は、このスレでは拡張してn次元単体の分面座標と呼んでいます。
定式化は、i対面からの距離がそれぞれj_iとなるn次元単体の内部点を分面心 \p_J と呼ぶと下式のように導出できます。
まず、i対面と分面心 \p_J で作られる内部n次元単体のn次元超体積v_iは元のn次元単体の超体積vの
j_i / √(\h_i^T \h_i)倍（\h_iはi頂点からi対面への垂線ベクトル）となっているので、>>394 の分積（重心）座標より、
\p_J = \p_0 j_0 / √(\h_0^T \h_0) + … + \p_n j_n / √(\h_n^T \h_n) と導出できます。
（このとき、v_0+v_1+…+v_n=vであるため j_0 / √(\h_0^T \h_0)+…+ j_n / √(\h_n^T \h_n)=1
　となる（絶対分面座標の条件））

これらは http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center#Trivia の範囲であり、>>391の２か３かトリビアです

＞えぬ次元というからには、ABC３点を通る外接円の外心点のベクトル式はすぐ求められますよね。そういことじゃないんですか？
そういうことですよ。そのWikipediaの外接円の式は、岩波数学辞典にも載っていますが、拡張性に優れず、私はあまり好きじゃないです。
このスレでは、古いですが http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html などから、（m次元ユークリッド空間内で）
原点から\P = [\p_a, \p_b, \p_c]の終点で作られる2次元単体ABCの外心\p_Oについて下記のように導出します。
まず、(\p_a - \p_O)^T (\p_a - \p_O) = (\p_b - \p_O)^T (\p_b - \p_O) = (\p_c - \p_O)^T (\p_c - \p_O)
= r_O^2 （外接円の半径の自乗） から、例えば\p_a^T \p_a + (\p_O^T \p_O - r_O^2) = 2 \p_a^T \p_Oとなるので、
[\p_a, \p_b, \p_c]^T \p_O = \P^T \p_O = [\p_a^T \p_a, \p_b^T \p_b, \p_c^T \p_c]^T/2 + \1 (\p_O^T \p_O - r_O^2)/2
で、ごにょごにょして
\~b_σ = [(\p_a^T \p_a)/2, (\p_b^T \p_b)/2, (\p_c^T \p_c)/2]^Tとすれば、
\p_O = \P (\C[\P^T \P] \1 + \~C[\P^T \P] \~b_σ) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)と導出できます。
このとき、外接円の半径 r_O は だいたいhttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html のようにごにょごにょです。
ごにょごにょの部分は明日のこの時間までに http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html あたりをいじって報告します