m次元ユークリッド空間内の n次元単体の k次元面均心について、ひらめきました。
まず、k次元面均心\p_{Φ_k}=\P \a_{Φ_k} (ただし、\1^T \a_{Φ_k} = 1)からあるk次元面Φへの垂足\p_Φについて、
k次元面の内部点\p_Φの単体座標値の(n-k)個が0となることから、ΦからΦに含まれる点以外のi点への垂線\h_{i←Φ}を使って、
\p_{Φ_k} - \p_Φ = \sum_{i \not\in Φ} \h_{i←Φ} a_{i Φ_k} が成り立つ。ここで、n次元単体のk次元面全ての集合を\Φとする。

これまでの、自乗算術平均が最小になる条件をふまえると、n次元単体におけるk次元面Φからk次元面均心\p_{Φ_k}への垂線のΦ全ての和が
ゼロベクトル\0になると考えられる。つまり、\sum_{Φ \in \Φ} (\p_{Φ_k} - \p_Φ) = \sum_{Φ \in \Φ} \sum_{i \not\in Φ} \h_{i←Φ} a_{i Φ_k}
= \sum_{i=0…n} \sum_{Φ \in \Φ, Φ \not\ni i} \h_{i←Φ} a_{i Φ_k} = \0 となると予想できる。

上式は、\h'_{iΦ} = \sum_{Φ \in \Φ, Φ \not\ni i} \h_{i←Φ} と書けば、[\h'_{0Φ},…,\h'_{nΦ] \a_{Φ_k} = H'_Φ \a_{Φ_k} = \0 となる
ということを表している。以上より、コンピュータで地道に計算して出るn階(n+1)×(n+1)行列 H'_Φ に垂直で \1^T \a_{Φ_k} = 1
となる座標ベクトル\a_{Φ_k} を一意に求めることができて、k次元面均心\p_{Φ_k}=\P \a_{Φ_k} を導出できるという方向性が見える。
今後は、i点以外のk次元面Φからi点への垂線を全てのΦについて平均したベクトルを列挙した行列 H'_Φ をきれいな式にして、完全に解きたい。