いやー数学板って荒れてますねーU^m内のn次元楕円体について考えたこと書きます。

まず、U^m内のU^n_{p_0} [L]で（m次元ユークリッド空間内の 始点p_0からのn次元部分空間を張る基底Lで）
m次元列ベクトルl_i(i=1…n)をi列成分に持つm×n方向行列Lを特異値分解すると L=ΘΣA^T となるとする。
（Θ=[θ_1, …, θ_n]はm次元正規直交ベクトルθ_iを列挙したm×n行列、Σは対角成分にｎ個の特異値σ_iを持つn次対角行列、Aはn次正規直交行列）

（ちなみに、Lは基底なのでA A^Tも単位行列Eとなり、内積行列 L^T L = AΣA^T と分散行列 L L^T = ΘΣΘ^T と固有値分解できる。）

このとき、Lの始点p_0を中心として Lのそれぞれの終点を通る n次元楕円体のm次元半径ベクトルは r_i=θ_i σ_i （i=1…nのn本）で表せる
（R=[r_1, …, r_n]=ΘΣ、および、e_{θ_i}^T e_{θ_i}=1となるn次元正規ベクトルe_{θ_i}を用いて、それぞれ l_i =R e_{θ_i} と書けるので）。
ここまでは固有値・固有ベクトルの性質として公知のものと思います。（参考→ ttp://q.hatena.ne.jp/1215959307）