【行列で】m次元ユークリッド幾何学【n単体の5心】
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0001132人目の素数さん
2008/05/30(金) 04:38:31n次元単体と呼ぶ。m次元空間内のn次元単体は、互いに線型独立な
n本のm次元ベクトルを列挙したm×n行列で表せる。
そこで、n次元単体の図形的性質（5心など）を導出する過程から、
m×n行列を用いた線型代数計算の意味について幾何学的に
理解できるのではないかと考えた。←いまココ
しかし、既存研究を探したところ、あまり情報が見つからなかったので、
このような考えについて2ちゃんねるで情報を頂きたく思い、その後
下記のまとめ＠ウィキに結果をまとめたいと思っております。
詳しい方いらっしゃいましたらどうかよろしくお願いいたします。
なお、ライセンスについては、2ちゃんねる書込規約などをふまえて、
クリエイティブコモンズ-by-ncライセンスということにしたいのですが、
著作権も詳しくないので、あわせてどなたかご教授頂けるとありがたいです。
m次元ユークリッド幾何学スレまとめ＠ウィキ
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/
0153１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 20:08:11Three Sphere→ 3つの球→ サンキュー！とかいって、
一人で小声で凍えてました。今日は寒いっすねー。
0154１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 20:45:040155１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 21:16:57BD=BC+CD
AC=AD+DC
AC.BD=AD.BC+AD.CD+DC.BC+DC.CD=AD.BC+AD.CD+DC.BC-DC.DC
AD=AC+CD
AD.CD=AC.CD+CD.CD
AD.BC+AC.CD+CD.CD+DC.BC-DC.DC=AD.BC+AC.CD+DC.BC=AD.BC+AC.CD+CB.CD
=AD.BC+AB.CD
0156１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 22:03:03さっき、長風呂から出ました！
>>144 さん同感です！日常の生活もいろいろな要素に関係してて高次元ですが、
見えるのは一瞬一瞬の時間で切り取られた現実の3次元空間を網膜に透視投影した2次元だけ、みたいな？
>>154 さんマルデンブロートでググったけどわかりませんでした。図形の一種？
正射影なら何次元でも落とせるけど、透視投影は光学中心に向かって1次元しか
落とせない気がする。そこで、弱透視投影の出番ですよ、みたいな？
そんな感じの第一感（適当）
0157１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 22:19:57Google先生で調べたところ、一件、2次超曲面っぽいこと書いてありました。気がします。
重力というと万有引力やクーロン力のように距離の逆二乗に比例する力のように思いますが、
ベクトル解析でスカラー場 φ（\bm{x}） に関して \grad φ のような気もします。
またしても個人的な希望的観測で、m次元ユークリッド空間内におけるn元2次超曲面の話
（例えば、2次超曲面上のある点 \bm{p}_x の 接線方向 \bm{d}_i における 曲率半径など）
についてかと予想しますが、今回の複体外接超球の定理に絡んで面白そうな感じしてるので、
再来週あたりまとめたいです。
0158１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 22:31:04なんか最近、超弦理論とかM理論とか１１次元とかすごすぎ！
僕的には、現実に則さないといけない物理学より、
頭の中だけで後は応用し放題の数学のがいいと思てる、とか言ってみたり
0159１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 22:55:21４次元なら距離は普通のベクトルの内積。
ミンコフスキーならテンソル積
0160１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 22:58:360161１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:01:08これ証明は未解決？
0162１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:10:440163１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:15:590164１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:37:03http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology
0165１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:39:010166１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:45:44スムースな多様体の曲率の面積積分は反対側の側面とキャンセルしあうので、結局、ひものトポロジーと
同相になってしまう。
３次元のトーラスを２次元に埋め込むと２つ穴の平面になる？
0167１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:48:58３次元に４次元の中の３次元トーラスを展開すると、メビウスみたいに裏と表がつながったトーラスになる？
0168１３２人目の素数さん
2008/10/31(金) 23:58:55４次元で３次元の球を見ると、４軸上に移動することで球の内と外に移動できる。
４次元のなかで３次元球を見ると円にみえる。
４次元で３次元のトーラスを見ると２つの円にかこまれた形にみえる。
４次元でクラインのツボを見るとメビウスにみえる。
４次元トーラスは３次元で見ると時間とともに円に閉じてしまうクラゲ？
４次元クラインのツボは３次元で見ると、おなじように時間とともに円に閉じてしまうクラインのツボ？
0169１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 00:08:02俺は気付かなかったので、天下り的に重心ベクトル＝（各頂点へのベクトルの合成）÷（頂点の数）とやりました。
>>161 閉曲面での話！？ 2次超曲面なら…うーん…接線方向によって曲率って変わりそう…
曲率って曲率半径の逆数でいいんだっけ？ガウス曲率とかいう名前だっけ？なんかすごそう。
>>162 が解？ポアンカレ予想とペレルマンさんの件かもしれないけど私よく知らない…
英語…もよくわからない！勉強します！私は日本語もうまく書けませんが…（欝）
0170１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 07:23:32余因子総和の式とどういう関係か急激に調べ中！めちゃくちゃありがとう！
0171１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 13:12:54>>166 私的には2次元への像と考えて、アニュラスか円板になると想像してます。
>>167 4次元内で3次元トーラスを考える場合などの向き付け可能性は、
3次元の体に沿っていったら辻褄が合わなくなるというか 体の内部から外部に出ちゃうというか
だと今想像したので、3次元トーラスは普通に射影したらメビウスに見えることはない気がしてます。
>>168 のことに関連して、これから私見で２つの想像図↓、
分点心補超球（仮）を用いた m次元ユークリッド空間内におけるn次元超球の概念図、および、
3次元トーラスと3次元クラインの壷 の展開図（立方体）、を書いてみたいと思います。
私は、位相幾何学とか代数幾何学とか今は全く無知なので悪しからずでお願いします。
0172１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 15:01:25ttp://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topview/apltop06.pdf
ｎ次元複体のオイラー標数はn次元単体も数えるんか… >>97 間違ってた！
n次元トーラスのオイラー標数は 0らしい。 >>104 で完全に間違えてました。
今、3次元トーラスの展開図？としての立方体を単体分割してオイラー標数だしたら 0になった感じ
0173１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:18:45ビッグバングはブラックホールにむかう？ トロイダルウニバース
0174１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:22:33概念図・立方体への展開図・オイラー標数について書きました↓
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/56.html
3次元クラインの壷は、3次元トーラスの展開図である立方体において
くっつける3つの面の全てを逆向き（上下か左右反転）にくっつければ
よいと思いましたが、考えづらいので、一つの面だけ反転させて付ければ
後の面は同相な変換によって逆向きに付けたものと同相になると信じてます。。
0175１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:24:154d torus cross section
0176１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:27:240177１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:30:530178１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:37:513次元トーラスの展開図で使った単体分割ではおかしい！
でも、おなじだよね。。そう信じることにした。
3次元の立方体の単体分割を探してるときに、多面体の「表面（2次元）の」
オイラー標数は「球面（2次元）と」同相なので同じく 2という記述はよく見かけたけど、
3次元体のオイラー標数については見つけられなかった。あと、単体分割は
めんどくさいので胞体分割という手法があるらしい。初耳ー
>>173 さんありがとうございます！ようつべ見れないのでアレですが、
それはどこまで本気でどこまでネタなんでしょうか？みたいな
0179１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:37:55４次元からクリフォードトーラスを見るとやっぱりパイナップル
それか、円にむすんだテープ
球は円盤、クラインのツボはメビウス
４次元トーラスは４次元球面の２点を同一視すること。
４次元クラインのツボは４次元球の裏面と表面をつなぐこと。５次元のメビウス。
0180１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 21:42:360181１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 22:58:49CONFORMAL MAPPING OF RIEMANN SURFACES AND THE CLASSICAL THEORY OF ...
File Format: Adobe PostScript - View as HTML
is naturally and closely connected with the theory of conformal mapping (cf. ...... to study the change of modulus of the torus under the conformal sewing. ...
www.emis.de/journals/PIMB/089/n089p217.ps.gz - Similar pages
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0182１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:13:01トーラスはラプラシアンが使えるからにんきもの：
0183１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:19:11By Harvey Cohn
0184１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:22:23By Constantin Caratheodory
0185１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:25:13By Kurt Strebel
0186１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:31:360187１３２人目の素数さん
2008/11/01(土) 23:52:27最初は、↓のページの内容全部をノートに書き直そうかと思ってたけど、
そんな時間は無かったので概念図だけ書いて↓の末尾に追加しました。
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html
↑のようなことも考えているため、個人的には超球を三日月が2つくっついた形で書きたいこともあります。
しかし、この図を客観的？に見たら、俺そうとう頭いかれてるなぁーと思った（自画自賛）
0188１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 01:13:30位相幾何学・物理学・微分幾何学あたりの話ですか？
私の頭では難しくてほとんど理解できませんですた。
パフィアンもまだよくわかってません。
ということで、今日は起きてから >>152 やりますー。
0189１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 11:35:35内分点と外分点を通るアポロニウスの円と呼ばれてるものを一般化し、
m次元内のn次元で(n+1)点からの距離が一定の比にある点
（そのn次元内にある点は私的に内分点心・外分点心と呼んでる）
の軌跡のことについて仮に俺が勝手に呼んでる名前です。
まとめ： 分点心補超球とは アポロニウスの円を m次元に拡張したときの仮の名前として使ってます。
>>187 の図では内分点心がn次元単体の0対面上にあるように見えますが、
本来、内分点心はn次元単体の内部、外分点心は外部にあり、内分点心と
外分点心が一致する場合はn次元単体のどこかの対面上になると思ってます。
計算式からまだそこまで証明とかできてませんが…
0190１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 20:52:49ｎ次元の幾何化予想ってあるのかな？
0191１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 20:53:480192１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 21:13:01x=+-(+-(+-(z-c)^.5-c)^.5-c)^.5....
0193１３２人目の素数さん
2008/11/02(日) 21:19:24これじゃ相手にされんよ
0194１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 00:02:200195１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 13:53:08The general n-dimension MObius transformation is conjugate ..... The table indicates the conjugacy classes of Yn for n -- 1, 2, 3, 4. The ...
www.akademiai.com/index/7V3877P846521032.pdf - Similar pages
by JB Wilker - 1983 - Cited by 1 - Related articles
0196１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 13:59:540197１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 19:00:56(p-a)*(p-a)m^2=(p-b)*(p-b)n^2
p*pm^2-2a*pm^2+a*am^2=p*pn^2-2b*pn^2+b*bn^2
p*p(m^2-n^2)-2(m^2a-n^2b)*p+a*am^2-b*bn^2=0
(p-(m^2a-n^2b)/(m^2-n^2))^2-(m^2a-n^2b)^2/(m^2-n^2)^2+(a*am^2-b*bn^2)/(m^2-n^2)=0
0198１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 21:18:19p^2-2(a-bc^2)p/(1-c^2)+(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)=0
(p-(a-bc^2)/(1-c^2))^2=-(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)
0199１３２人目の素数さん
2008/11/03(月) 22:34:460200１３２人目の素数さん
2008/11/04(火) 00:25:36全ての辺の長さを使って書くと >>137 のようにいい式になるのになぁー
そして、３連休が終わってもーた…
>>190-199 ありがとうございます！
>>193 なるほど、僕は相手にされてなかったわけか…（笑）
m次元ユークリッド空間内での n次元単体の五心を
行列演算を駆使して出してみました。どうですか？では、
ネタ的に足りないのかと思って、分点心補超球の案とかを
私的に出してみたりしてました。恥ずかしいー
n=1,2 次元の平面幾何とかでいろいろ成り立つことまでは確認してる気がしますが、
n=3 代入すればいい 3次元の立体幾何とか以上の資料が
あまり見つからないので答え合わせも出来ないことから、
mとnを一般化して計算した結果だけでも同じかなと思って油断してた！
時間をとって、3次元（や2次元や1次元）で例示しながら、わかりやすくまとめたいと思ってます。
その前に、この分野の先人の知恵（わかりやすい 著書やURLや書き方）などをもし教えて頂けるか
自分で見つけたなら引用して、自分は其処の所を手抜きしようとしてました。ゴメンナサイ。
じゃあ、俺、この分野、新規性はあると見た！ということで、ガンバリマス。
まぁーこのスレ見る限り、俺の言葉や書き方では、まとめたとしても伝わらない気がしますが…
>>197 アポロニウスの円っぽい！>>198 2次元？ 重ね重ねありがとうございます！
0201１３２人目の素数さん
2008/11/04(火) 20:31:460202１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 16:46:38内分点・外分点・アポロニウスの円の導出を、例によって紙に書いてうｐしますた↓
なお、同じ手法で m次元空間内の n次元単体の各頂点との
距離の比が一定になる軌跡（分点心補超球）についてもやりました↓
どちらも、m次元空間内で i点(i=0〜n)との距離の比 t_i が一定となる点
（分点心） l_T の軌跡について (l_T -l_{TO})^T (l_T - l_{TO}) = R_T^2 となる
(m-n+1)次元超球の（分点心）中心 l_{TO} と（分点心）半径 R_T を導出した感じです↓
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html
↑について、式がダメとか、字汚いとか、図が意味不明とか、いろいろ
おかしいことあると思うので、相手にしていただけるとありがたいです（￣ー￣）ニヤリッ
この土日はどうしようか今考えてます。とりあえず、昨日の夜から↑やってて疲れた。
やってる間にも、複体外接超球の定理は(m-n)次元直交補空間の方向も考えると、
n次元単体にとりあえず外接するm次元超球上の点で成り立ってしまうという罠、
とか少し考えてた（謎）
0203１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 17:04:46言ったけど違った！「n次元単体の外接超球（n次元）の中心と半径が同じm次元超球」
じゃないと成り立たないス。前提条件で F_X = (l_x - l_O)^T (l_x - l_O) - l_O^T l_O = 0 だから、
m次元超球を n次元部分空間で切った小円（以後、小超球）としての n次元超球がその
n次元単体に外接してる場合、>>202 じゃおかしいもんね。という間違いだらけの人生。
0204１３２人目の素数さん
2008/11/08(土) 17:30:48t_0 : t_1 となる点の軌跡であるアポロニウスの円の中心は、
距離の比が t_0^2 : t_1^2 となる 0点と1点の外分点となるっすか？
すごくね？
0205１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:03:18「定点A,Bがあり、
点Pが、AP:BP=m:nを満たすように動く時の
点Pの軌跡を求めよ。（ただし、mとnは異なる複素数とする）」
0206１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:06:07２ タイトル : 写真から撮影位置を予測する(2) : アポロニウスの円の発見とその利用 (数学科授業研究会記録(2)) (数学科)
0207１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:09:12ポンスレーの定理
フースの定理
0208１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:12:06デザルグの定理
パップスの中点定理
パスカルの共線定理
ニュートンの定理
パスカルの定理
ブリアンションの定理
0209１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:13:520210１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:14:280211１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:15:10セブンアンドワイ ヤフー店 現代幾何学の流れ [本] - Yahoo!ショッピング
チャーン／チャーン特性類トム／コボルディズム理論、カタストロフィー理論小林昭七／ 小林双曲的多様体の理論ヒルツェブルッフ／リーマン‐ロッホの定理の解決スメール／双曲型力学系ミルナー／微分位相幾何学、異種球面の発見クリンゲンバーグ／ ...
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0212１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:15:49ピタゴラスの定理がわかれば，球面幾何学の意味がすっきりし，双曲幾何学が手に取るようにわかります。さらに ピタゴラスの定理見方を変えて再度吟味してみると，球面 幾何学の意味がすっきりし，双曲幾何学が手に取るようにわかります。 ...
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0213１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 20:16:460214１３２人目の素数さん
2008/11/11(火) 23:29:44>>205-213 を書いてくれた聡明な御方、すごく重要で貴重な情報 超ありがとうございます！
俺の頭の中でいろいろ超展開しそうな予感であります！明日休みてームリorｚｚｚ
しかし、>>205-213 に答えが載ってそうで、直視できない自分がいるｗｗｗ
>>137 の式に n=2 次元単体（三角形）を代入して因数分解したら、
トレミーの式が零因子として出てくると俺は信じたいんだッ。
>>213 トレミー自体が \bm{1}_1, \bm{l}_2で作られる三角形の外接円上の \bm{l}_x に対して
\bm{l}_x = a_1 \bm{l}_1 + a_2 \bm{l}_2 (a_1, a_2>0)のような制約の下での式だと思いますので、
3次元の球面上の5点に拡張しようとするとその5点の位置によってそれぞれ結ぶ
辺の長さ(10本)の性質（どこが対角線となるかなど）が変わってきて難しいと思います。
しかし、点がどこにあるか固定しないでベクトルを用いて >>137 の式に n=3 を代入した式が
トレミーの定理の3次元バージョンのような気が、今は僕はそう思てる。
先日、別に円に内接してなくても、四角形（2次元4点複体）の辺と対角線のそれぞれの長さ（6本）の間には、
何かしら制約式（チェバメネラウスの定理みたいな？）があるような気がしまして、それを拡張すれば
n次元(n+2)点複体のそれぞれの全ての辺の長さに対して何かしらの制約式となる気がしまして、
それを用いれば >>137 の式を因数分解できると今は考えておりますので、この件はしばしお待ちください。
それでは、一旦CM…もとい、寝まーす
0215１３２人目の素数さん
2008/11/12(水) 23:35:49>>205-206 あたりを今日から明日の夜にかけてやることにした！
>>207 について、アルベロスの定理とサリノンの定理を見ました！↓
ttp://thaler.blog.so-net.ne.jp/2007-10-21
すげぇ！ってアルベロス違いか…円列やボンスレーやフースは
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/508_ct.htm
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/587_g2.htm
でちらっと見ましたが、大円小円基線という用語に途惑いよくわかりませんでした。しかし、
「『ポンスレーの閉形問題』（ポンスレーの定理）ー２つの定円に内外接する三角形の問題ー」
という所で図とか見て→ ttp://horibe.jp/Poncelet.HTM
うわぁ、めっちゃ「あるn次元部分空間内で2つのn次元超球に内外接するn次元単体の問題」
へのm次元拡張を考えたくなってきた。。外接超球の半径 R_O、内接超球の半径 R_I、
外接超球と内接超球の中心（n次元単体の内心と外心）間の距離 d_{IO}に対して、
「d_{IO}^2 = R_O^2 - 2 R_O R_I となるとき（に限り？）、この外接超球に内接し、かつ、
この内接超球に外接するような n次元単体が無数に存在する」とかが成り立っちゃうのかなぁ？
いや、まさか、そんなことは、うそだろ、えっ、でも、どう導出や証明すればいいのか全くわからないッ！
さて、複素数でアポロニウスの円を考えつつ… 寝まーす
0216１３２人目の素数さん
2008/11/14(金) 23:51:25様に書ける（？）と思ってますが、m次元ユークリッド空間内の各点との距離の比だけ複素数比となるとするなら、
実数比の場合でも3点以上であると思われる分点心半径の自乗がマイナスになってしまう場合と同じように、
複素数比に分ける点の軌跡は虚数の方向にある双曲線のような形の(m-n+1)元2次超曲面（下図参照）となると思います。
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html の上から3つ目の画像↓
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%B0%8E%E5%87%BA%2F%E5%88%86%E7%82%B9%E5%BF%83&file=irt.JPG
これは、まだちゃんと計算してないのでたぶん間違ってます。でもあえて「虚分点心補超球」の問題と呼びたいです。
そして、この問題は置いといて、これから複体の全ての辺の長さについて、何かしら制約式があるか考えますー。
0217１３２人目の素数さん
2008/11/15(土) 03:55:27\det( [\bm{L}, \bm{l}_x]^T [\bm{L}, \bm{l}_x] ) = \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [-\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0
なら x点がn次元単体と同じn次元部分空間内にある、というのが前述の何かしら制約式の正体だった感じです。
さらに、>>214 より、>>137 の式 \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [ \tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0
は x点がn次元単体の外接超球の中心から外接超球の半径と等しい距離にあるときに成り立つという感じです。
つまり、上の2式とも成り立つとき、x点がn次元単体の外接超球上にある（x点とn次元単体が作る複体に外接超球が存在する）
ことになる感じです。特にn=2とすると、四角形に外接円が存在する場合の式となり、上の2式からトレミーの定理が導出でき、
特にn=3を代入すれば、四面体ともう1点で作られる3次元5点複体に外接球が存在する >>213 の場合に満たすべき2式が求まる、
ということに帰着できたと思うので、寝て起きてから、1と2次元で確認して、複体外接超球の定理としてまとめますー
0218１３２人目の素数さん
2008/11/16(日) 15:37:40ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/kika.htm
佐藤郁郎さんすごすぎ！メールで何か聞いてみようかな…
0219１３２人目の素数さん
2008/11/17(月) 03:15:564点の位置を固定した上で、その円周角における余弦の式を用いて>>137を式変形すれば、
トレミーの定理の式が出てきそうです。4点の位置を固定しない場合やn次元では、一応
きれいな式になる >>217 の方法の計算式で止めといていいと思った。しかし、2次元のトレミーと
>>213 の3次元の場合（5点あって10辺の関係式になると思う）は確認します。
あと、>>207 >>208 >>210 >>211 は応用的過ぎてまだ手が出せませんが、
>>205と>>206の１は虚分点心補超球（と2次超曲面）に絡めてやってみたいと思ってます。
さらに >>206 の２は、「n次元単体とその重心（またはn次元超球とその中心）という物体を、直交補空間を含む方向にある
ある光学中心に向かってある像面に射影（撮影）してできるn次元像と1点の情報（遠方短縮の写真）を用いて、
その物体から光学中心へのm次元方向ベクトル（相対的な撮影位置）を求める」という問題に置き換えてやってみたいです。
具体例としては、「n次元単体とその重心」ではなく「長方形」を用いて m=3, n=2の時について例示したいです。
ところで、デザルグの定理は個人的に消失線のことを言ってるような気がしますが、n次元透視投影でも、
n次元単体の重心と各頂点 i点(i=0〜n)を結ぶ直線方向の無限遠点（n+1個）を撮影してできる(m-1)次元
像面内の(n+1)点が(n-1)次元部分空間内におさまる（1点過剰みたいな）感じだと思いますので、後々…
0220１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 22:30:30トレミーの定理）などを導出しなければいけないことは木曜あたりに気付きました。
そこで、四角形（2次元4点複体）に外接円が存在する場合は、>>217 の n=2 のときの2式を足した
式を整理したもの、およびその点の位置を入れ換えたとき（サイクリックで）成り立つ式を用いて、
円周角の定理およびトレミーの定理（のようなもの）が導出できることを確認しました↓
まとめると、私案の n次元(n+2)点複体に外接超球が存在する場合に満たすべき式
「複体外接超球の定理」と、n=1, n=2, n=3 の次元の場合における例示（トレミーの定理も含む）
を例によって紙に書いてまとめてみました、ということです↓
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html の上から2番目の画像
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E8%A4%87%E4%BD%93%E5%A4%96%E6%8E%A5%E8%B6%85%E7%90%83&file=vfx.JPG
1次元（直線上3点）でも2次元（四角形）でもうまくいく事が↑で確認できたと思うし、
>>213 の人も言及していた3次元（3次元5点複体）の場合でもこの等式以上にするのは
難しいと思うので、3次元以上もこの複体外接超球の定理で間違いないと思うんですが、
どうですか？
個人的にはこの問題はこれで解決したと思うので、ちょうどこれらを始めて半年になる11月30日
までにPDFのレポート的な総括的な何かを公開したいと思って、今がんばってますー
0221１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 22:56:15その前ページというのは「n次元単体の外接超球の中心からその外接超球の
半径と等しい距離に点があるときの式」をがんばって導出した↓のページのことです。
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html の上から1番目の画像
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E8%A4%87%E4%BD%93%E5%A4%96%E6%8E%A5%E8%B6%85%E7%90%83&file=fx.JPG
これ出したのって >>137 だから、もう1ヶ月前になるんだなぁーはやいなぁー
0222１３２人目の素数さん
2008/11/23(日) 16:07:50といっても、@wikiの方のページに関する誰かの検索クエリしかわかりませんが…
●ここから引用
表示回数
サイトの検索に使用された上位 20 の検索キーワードと、上位 20 の検索キーワードが各検索で使用された割合です。
上位の検索クエリ
順位 % クエリ 広告掲載位置
1 12% "超 平面" wiki 7
2 9% neetubot 5
3 9% "幾何 学" "傍 心" 8
4 9% "外 心" ベクトル 17
5 5% 内心 ベクトル 14
6 5% "行列 の 内積" 35
7 5% 楕円 体積 公式 38
8 5% "正 多 胞体" 48
9 3% 単体 "外 心" "位置 ベクトル" 1
10 3% 正 複 1
11 3% ｎ 単体 体積 6
●ここまで引用
9位の検索クエリ「単体 "外 心" "位置 ベクトル"」がガチですなぁー
垂心が存在する等内積単体のときに外心と重心の間にあるか（オイラー線だっけ？）もやらなきゃなぁー
まぁーといっても、これ全部俺の検索クエリかもしれませんがwworz
0223222ｹﾞﾄ
2008/11/23(日) 16:38:27＼ ／
＼ ／
＼ ／
＼ ／
＼∧∧∧∧／
＜ 俺 ＞
＜ 予 し ＞
＜ か ＞
─────────＜ 感 い ＞──────────
＜ な ＞
＜ !!! い ＞
／∨∨∨∨＼
／ ∧＿∧ !? ＼
／ （ ´_ゝ`） ＼
／ ／ ＼ ＼
／ / /￣￣￣￣/ ＼
／ ＿_(__ﾆつ/ FMV /＿ ＼
＼/＿＿＿＿/
0224１３２人目の素数さん
2008/11/24(月) 12:27:56ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/57.html
等内積単体でない一般的なn次元単体でも外心と重心は常に存在することから、
私的にn次元単体の外心と重心を通る直線を広義オイラー線と仮に呼び、
その外心と重心を(n+1)：2に外分する広義オイラー線上の点を「n次元単体の広義垂心」と仮に呼ぶことにする。
広義垂心はどんなn次元単体にも存在し、特にn次元単体が等内積単体となる場合、広義垂心は
そのn次元単体の頂点から対面への垂線（(n+1)本）の交点である通常のn次元単体の垂心になる。
という感じに、垂心だけ存在するための条件があって気持ち悪かったので、オイラー線あったしこの際
垂心の自然な拡張として、どんなn次元単体にもある広義垂心を考えようと、また俺一人で暴走してるわけですが…
↓を見ると、いろいろ応用が思いつきますなー1次傍心n次元単体とか広義ドロンシャン点とか…
Wikipedia: オイラー線
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B7%9A
0225１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 19:06:450226１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 19:19:020227１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 21:34:02垂足単体の内心が元のn次元単体の垂心となるような気がすると言うべきだった。
三角形（2次元単体）の場合なら、鋭角三角形の場合のみ成り立つらしいし、
こっちを広義垂心と呼ぶべきか考えてるけど、今はオイラー線上の広義垂心と
一致してくれることを祈るのみです。
0228１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 02:01:12n次元超球（対象のn次元単体の内部と外部に半超球ずつ）が常に存在し、そのn次元超球の中心は
対象のn次元単体のi点から内心へ向かう直線とi対面との交点（i内足と呼ぶ）にあることを発見しました。
あと、↓とかで「角心」って言葉が出てきて、ちょっとうれしかった。「角心」激しく同意。。
ttp://web2.incl.ne.jp/yaoki/a6sin.htm
0229１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 22:57:15といっても、まだ章立てを書いただけですが…2週間で中身入れて1.0作りてぇ。。
132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-0.0.pdf
0230１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 23:07:31童貞だからしゃーない。
0231１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 01:18:30あと、未発表で新しいってわかるってすごいっす。。俺は新しいかわからなかったから２ちゃんで発表した（笑）
童貞関係なくね？？かくいう私も童貞でね…（合田一人風）
0232１３２人目の素数さん
2008/12/26(金) 23:52:55といっても、まだ全然途中ですが…次は元旦あたりに1.1の予定…
【PDF形式】132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』【1.0】
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-1.0.pdf
0233１３２人目の素数さん
2008/12/31(水) 23:42:27http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/
の160が私ですが、「行列方程式の解法」について、私的に以下のように行き着いたのでこっちに書いときます。
Mをm次正方実行列、Eをm次単位行列、Oをm次正方零行列として、
|λ_1| ≧ … ≧ |λ_i| ≧ … ≧ |λ_n| ≧ 0 (m ≧ n)とするとき、
(Σ_{j=0}^m α_j M^j =) Π_{i=1}^n (M - λ_i * E) = O を満たすような M の解は、
λ_i を大きい順に飛びと重複を許し対角成分に配置したn次対角行列 Λ'、もしくは、
その行列の中に重解が k_i 個ある λ_i が対角に k'_i 個あるブロックがあれば k_i 次以下の
k'_i×k'_i冪零行列をそのブロックに付加し組み合わせた行列 Λ' （特に、j=1〜nのいずれでも
Π_{i≠j} (M - λ_i * E) ≠ O となるという制約があるなら、Λ' は対角成分にλ_1〜λ_nを持つジョルダン標準形となる）
と任意のm×n正規直交行列 Θ を用いて、M = ΘΛ' Θ^{-1} と書ける気がする。。
スレに動きが…最小多項式か、むずかしいなぁー
0234１３２人目の素数さん
2009/01/06(火) 03:07:00例えば、m×m正方行列をm次行列と呼ぶとか、k_i乗すると零行列になるn'_i次k_i乗冪零行列を\overset{[n'_i×n'_i]}{\bm{O}_{k_i}}とか、
n'_i次k_i乗ジョルダンλ_iブロックを\overset{[n'_i×n'_i]}{\bm{\Lambda}_{O k_i}} = \bm{\Sigma}[\bm{1} \lambda_i] + \bm{O}_{k_i}とか、
そのブロックの対角の組合せであるm次ジョルダン行列を \bm{\Lambda}' […, \bm{\Lambda}_{O k_i}, …] または単に \bm{\Lambda}' とか。
この行列多項方程式や指数行列や図も含めて、PDF形式1.1は1月30日あたりにします…。
0235１３２人目の素数さん
2009/01/24(土) 06:28:16まず、非斉次？の行列多項方程式について考えてました。m次行列 X と実数係数 v_i について
Σ_{i=1}^n v_i X^i = M = Θ Λ' Θ^T （Θはm×n正規直交行列、Λ'はn次ジョルダン行列）
が成り立つとする。X = Θ X' Θ^Tとし、Λ'の n'_i次k_i乗ジョルダンλ_iブロック Λ_{O k_i}とすれば、
Σ_{i=1}^n v_i (X'のn'_i次ブロック）^i = Λ_{O k_i} = λ_i E + O_{k_i} （O_{k_i}はn'_i次k_i乗冪零行列）と分解できる。
上式は、((Σ_{i=1}^n v_i (X'のn'_i次ブロック）^i) - λ_i E)^{k_i} = O と変形できるので、条件に応じて導出される
この式を満たす解を (X'のn'_i次ブロック）=Λ_{i X'} とすれば、同様に導出できる i以外の(X'のn'_i次ブロック）も全て
用いて対角成分に並べた X' = Λ' […, Λ_{i X'}, …] = Λ'_X を使って、「 X = Θ Λ'_X Θ^T 」と導ける。…と思いましたが、
どうでしょうか？この非斉次行列多項方程式（と↑を勝手に仮に呼んでます）は 線型システムの話では結構出てくる
と思って いろいろ検索してましたが、引っかかるのは微分方程式系ばかりで この解法のヒントは発見できませんでした。
↑だといろいろおかしいし、つっこみどころ満載だと思いますので、誰か何か情報をくれるとありがたいです。。
0236１３２人目の素数さん
2009/01/25(日) 01:01:45Plucker relations（といっても名前だけは大学で聞いてた）ぐらいだったので、それについて書きます。
プリュッカー関係式は位置行列について通常より1列多い同次座標系で成り立つ関係式のような気が
しますが、大事なのはm×n方向行列Lとその中の方向ベクトルl_iをあわせた行列 (L l_i) の中から
(n+1)列選んだ行列の行列式が0になるという( _m C_(n+1) )×n通り（多分独立な関係式はその
中でも n(n-1)/2通りぐらい）の関係式が成り立つということだと思いました、が使い道は不明…
Plucker coordinates - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates
あとは、m次元ユークリッド空間 U^m 内のあるn次元部分空間の基底を表すm×n行列を L とすれば、
m次元ユークリッド空間内のベクトルなどをその n次元部分空間へ正射影するm次基底変換行列
（正射影行列）は W[L] = L (L^T L)^{-1} L^T と書けるということが、↓の Orthogonal projections
の項で既に世界に概出してたのを発見しました。
Projection (linear algebra) - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)
しかしまだ、位置行列 P と余因子行列 C[] と余因子総和行列 \tilde{C}[] を用いて 正射影行列が
W[L] = \frac{P \tilde{C}[P^T P] P^T}{1^T C[P^T P] 1} = \tilde{W}[P] と書き換えれることや、
U^m内での L の直交補空間の基底 Y に対して W[L] W[Y] = O, W[L] + W[Y] = E（単位行列）
となることや、始点は同じ基底 L と L' で作られる和空間の基底が Θ[L ∪ L'] = Θ[W[L] + W[L']]
（Θ[ ] は []内で与えられる空間や行列の基底を 列の基本変形や特異値分解によって返す関数）
であったり、積空間の基底は Θ[L ∩ L'] = Θ[ E - W[W[ E - W[L] ] + W[ E - W[L'] ]] ] と表せたり
するようなことは、世界に概出してない！こともないか… という雑感。。
0237１３２人目の素数さん
2009/01/25(日) 02:37:40\bm{a}^T \bm{a} = 1 のとき、-√n ≦ \bm{1}^T \bm{a} ≦ √n （原点から単位超球上へのベクトルと\bm{1}の内積）が成り立ち、
また、\bm{1}^T \bm{a} = 1 のとき、\bm{a}^T \bm{a} ≧ 1/n （\bm{1}/nを通る\bm{1}/nの直交補空間上へ原点から向かうベクトルの長さ）
という関係式が成り立つと思われ。。美しいちゃ美しいけど、トリビアっちゃあトリビアル。
0238１３２人目の素数さん
2009/01/25(日) 06:08:29http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/416
>任意の正整数 n に対して次の条件を満たす4n×4n行列Aが存在する．
>(1) Aの成分は±1, (2) A A^T = 4n I
成分が±1/(√m)であるm次正規直交行列Θ（Θ^T Θ = E）は存在するか？だとすれば、
i≠jでθ_i^T θ_j = 0より、互いに半分の成分の符号が違わねばならず、満たすとすれば
m=2のときの[1/√2, 1/√2; 1/√2, -1/√2]のみでそれ以外のmでは存在しない？
>実数 a_1, ..., a_n が非負行列の固有値となる必要十分条件は何か．
m≧nのあるm×n正規直交行列Θに対して その非負行列が ΘΣ[a_1, ..., a_n]Θ^T と書けること？
だと思いました。先方のスレでは華麗にスルーするふいんき（←）を感じた。。
0239１３２人目の素数さん
2009/01/26(月) 05:51:58http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/392-393
先方のスレでは、449さんがスルーしない空気を作りましたが、俺は こっちの>>238で恥ずかしいこと
書いてしまったので、あっちでマルチもリンクも書けない！やっちまったなぁー。こっちにだけ書く！
>(392の意訳) n次正則行列 A, B を並べた行列 [A B] の n次部分行列 C で perm(C) ≠ 0 なるものが存在する。
この条件なら、A=B=Cとしてもいいと思うので、perm（正則行列C） ≠ 0 なるもの、存在する。
>(393の意訳) 有限体Fを剰余類Z/kZ (k≧4)とする。F上の任意のn次正則行列 A に対し、
> 全ての成分に零元 [0]_k を含まないF上のn次元列ベクトル x, y で A x = y を満たすものが存在する。
例えば、Aを単位行列 A=[E]_k とすれば、[0]_kを含まないベクトル A x = x = y が存在するのはわかりますが、
任意の正則行列Aとなると、たぶん存在すると思いますが、どう証明すればいいのかちょっと浮かびません…
ーーここまでーー
というのが向こうで未解決問題と言われてるもののの全てかな。さすが、難しいーぉ。。
0240１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 07:13:14http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/455
向こうの流れを妨げたくないので、例によって、問題を意訳しつつこっちにパクリます。
(1)n次元ベクトル a, x とおいたとき、xに対して成分積 a ⊙ x を対応させる線型変換は、
a ⊙ x = Σ[a] xより、aの成分を対角に持つ対角行列 Σ[a] で表せる。
(2)ｎ次行列 A のi列 a_i をn次元列ベクトル x で置き換えてできるｎ次行列を A_i(x) = \underset{(a_i ← x)}{A}
としたとき、行列式について |[ \underset{(a_i ← x)}{A} ]| = e_i^T C[A] x と（e_i は i成分が1の単位ベクトル）
書ける。これより、xから n次元列ベクトル [A_1(x), …, A_n(x)]^T = C[A] x への線型変換に対応する行列は
Aの転置余因子行列 C[A] で表せる。
(3) |[ A ]| = |[ (a_1 a_2 a_3) ]| = 1 のとき、f(x) = |[ ((3x+6)a_1+3a_2+(2x-1)a_3, -4a_1+(x+7)a_2-a_3, 5a_1+5a_3) ]|
= |[ A ]| |[ [(3x-6), -4, 5], [3, (x+7), 0], [(2x-1), -1, 5] ]| = 5 ((x+1)^2 -27)となることから、この行列式 f(x) は
x=-1のとき最小値 f(-1) = -135をとり、f(x)の絶対値の最小値は0でそのときはx=-1±3√3のどちらかである。
(2)はn次元単体を作る基底 L やその基底と座標 a = [a_1, …, a_n]^T で表される点を l_a = L a としたとき、
a_i は n次元単体のi点を除くi対面と点 l_a によって作られるn次元単体の体積を 元のn次元単体の体積で
割った値（以下、正規i分積）である（a_i = |[\underset{(l_i ← l_a)}{L}^T \underset{(l_i ← l_a)}{L}]| / |[L^T L]|）
となること、つまり、点を表す基底の座標ベクトル a は そのまんま 「点が基底を分割する体積比」であることを
表している！しかし、こっちで書いてる俺独特の表記を使っていろいろ書きたかっただけだった気持ちもあった…
0241１３２人目の素数さん
2009/01/27(火) 08:35:42http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181801767/13
意訳＞平面上にある2つの閉曲線の距離がどこも r なら、
その外側と内側の閉曲線における周の長さの差は 2 π r である。
と、昨日見て、うわっすげぇーと思いつつ、曲率半径が ｒ 未満の曲率中心方向には囲めないとか、
n次元多様体に拡張して距離 r で囲んだら表面の差は 半径rのn次元超球面と同じにはならない（！）
とか考えてました。同心超球とか萌え。しかし、n次元多様体で成り立つ関係式がなんかあった気がしたんだが…
いや、そして、何もオチはないですが… さて、m次元ユークリッド幾何学っと。。
0242１３２人目の素数さん
2009/01/28(水) 07:19:14（n次元単体を作る(n+1)点への位置ベクトルを列挙した位置行列 P も線型独立（原点から
n次元単体への垂線ベクトルp_y= P C[P^T P] 1 / (1^T C[P^T P] 1) ≠ \bm{0}）のときでなければ、
P \tilde{a}_\bm{0} = \bm{0}と任意のαで P \tilde{a} = P (\tilde{a} + \tilde{a}_\bm{0} α)に注意）
a_i = √(|[\underset{(l_i ← l_a)}{L}^T \underset{(l_i ← l_a)}{L}]| / |[L^T L]|)でした（ルート忘れてた）。
（↑はi=1〜nで、a_0 = √(|[(L - l_a 1^T)^T (L - l_a 1^T)]| / |[L^T L]|） = |[(E - a 1^T)]| = 1 - 1^T a）
a_i を 位置行列 P で書き換えると、a_i = √(1^T C[\underset{(p_i ← p_a)}{P}^T \underset{(p_i ← p_a)}{P}] 1) / √(1^T C[P^T P] 1)
であるので、Σ_{i=0}^n a_i = 1^T \tilde{a} = 1よりΣ_{i=0}^n √(1^T C[\underset{(p_i ← p_a)}{P}^T \underset{(p_i ← p_a)}{P}] 1) = √(1^T C[P^T P] 1)
（n次元単体Pの超体積は、そのn次元単体を内部点p_aによって(n+1)個のn次元単体に分けたi分積の総和に等しい）が成り立つ。
これは、Σ_{i=0}^n √(1^T C^T[\underset{(\tilde{e}_i ← \tilde{a}_i)}{\tilde{E}}] X C[\underset{(\tilde{e}_i ← \tilde{a}_i)}{\tilde{E}}] 1) = √(1^T X 1)
(ただし、1^T \tilde{a} = 1、a_i ≧ 0)であることを表していると思うが、まだ計算で左辺から右辺に持っていけてはないです。。
このことを用いれば、n次元単体Pについて、その重心 p_G = P \tilde{a}_G = P \tilde{1}/(n+1) により分けられるi分積は全て等しい（a_{iG} = a_{j G} = 1/(n+1)）、
および、その重心から各i対面への距離（下ろした垂線の長さ）の比が 元のn次元単体の各i垂線の長さの比に等しい（i対面×垂線＝超体積）
などが言えます。とここに適当に掻い摘んでダラダラ書いたところでただのオナニーでしかなく、ちゃんと@wikiとかにまとめなきゃいけねーんだなぁー大変だなぁー
0243１３２人目の素数さん
2009/01/30(金) 23:57:17【PDF形式】132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』【最新】
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot.pdf
0244１３２人目の素数さん
2009/02/02(月) 17:53:19http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/497
（意訳）> m次元ユークリッド空間で、0-点(8,0,0,0…)・1-点(0,4,0,0…)・2-点(0,0,8/3,0…)を通る平面に対し、
3-点(5,4,3,0…)からの垂線と垂足を求めよ。（解は垂線(-1,-2,-3,0…)、垂足(4,2,0,0…)のようだ。）
をこっち的に言えば、m次元ユークリッド空間内の3次元単体の3点目の頂点からの3-垂線と3-垂足を
求めるという問題なので、各i点(i=0〜3)をm次元列ベクトルp_iで表し、p_iを列挙した位置行列をm×4行列P
とすれば、（3-垂線）=-(P \tilde{C}[P^T P] e_3)/(e_3^T \tilde{C}[P^T P] e_3)、（3-垂足）=p_3+（3-垂線）より、
（ただし、余因子総和行列\tilde{C}[X]の[j,i]成分は、正方行列Xからi行とj列を除いた小行列X_{ij}の余因子行列C[X_{ij}]の
全ての成分の和1^T C[X_{ij}] 1に(-1)^{i+j}を掛けた値、すなわち、e_j^T \tilde{C}[X] e_i = (-1)^{i+j} 1^T C[X_{ij}] 1とする）
| 8 0 0 5 | | 6496/9 896/3 -672 -7168/9 |
P = | 0 4 0 4 | 、 \tilde{C}[P^T P] = | 896/3 12544/9 -896 -7168/9 | であることから、
| 0 0 8/3 3 | | -672 -896 1120 0 |
|↓0 0 0 0 | |-7168/9 -7168/9 0 14336/9 |
3-垂線(-1,-2,-3,0…)、3-垂足(4,2,0,0…)となる。（ちなみに、0-垂足(160/29, 80/29, 168/29, 0…)、1-垂足(8/7, 16/7, 24/7, 0…)、
2-垂足(24/5, 16/5, 0, 0…)と解ける。）この例では計算重いし、ぱっと見で あってるかわからないので、
以上より、@wikiとかに書く例は、原点とi点(…0, r_i, 0…)(i=1〜n)で作られるn次元直交単体(n=2,3,n)の五心がいいなと。。
0245１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 10:23:16以下、最近 考えてたことなど↓
線形代数/線型代数 5 のレス 790-797
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/790-797
から、任意の n次実行列Aが、ある n次正規直交行列Θと n次上三角行列Λを用いて、
１： A=ΘΛΘ^T と分解できる？（上三角分解？）
２： ケイリーハミルトンの定理より、Aの固有値λについての固有方程式を f_A (λ) = |[ λE - A ]| = 0 とすれば、f_A (A) = 0
３： k=0,1,…,nについて ||Λ^k p|| = 1 および |[Λ]| = 1 なら、k=n+1,…についても ||Λ^k p|| = 1 となる？
とか考えました。上のスレでもまだ答えは出てないようです。
n次元列ベクトル pを Λの正規一般固有ベクトル p_i (i=1〜n)の線型結合で表して、
f_Λ (Λ) = 0とかも使ってグリグリ計算すると答え出る気がしないでもないですが、うーん…
0246１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 11:49:18理由は、n次元列ベクトル x_i (i=1〜n)の列挙で作られる n×n行列 X=[x_1, …, x_n] とすれば、
Xの余因子行列を C[X] = [c_1, …, c_n] （c_i はC[X]のi列ベクトル）と書いたときに、
X^T C[X] = C^T[X] X = E |[X]| （Eは n×n単位行列、|[X]|は Xの行列式）と書けて、
c_i と x_j の内積 c_i^T x_j が i=jのとき|[X]|で i≠jのとき0と言えるので、
x_i をn次元ユークリッド空間内のn次元単体の 0点からi点への有向辺ベクトルと考えれば、
c_i = C[X] e_i は そのn次元単体のi点を除く(n-1)次元単体である i対面を表すベクトルとも考えられる。
ちなみに このとき、i点からi対面への i垂線ベクトルは 「 - c_i (|[X]| / (c_i^T c_i)) 」と表せる。
（ちなみに、このXで表されるn次元単体の超体積は|(|[X]|)|/(n!)、i対面の(n-1)次元超体積は(√(c_i^T c_i))/((n-1)!)。）
（個人的な趣味（位置行列Pと方向行列Lの間に成り立つ関係式を 1^T C[P^T P] 1 = |[ L^T L ]| と書きたかった）から
行列式を|[・]|で表してたけど、行列ノルムとして || L || = √( |[ L^T L ]| ) と書いていいなら、さっき使った苦肉の策の
行列式の絶対値を |(|[X]|)| = || X || と書けるのになぁと思った。そのうち、Wikipediaにある行列ノルムが満たすべき性質
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 を満たすか調べようと思った。）
あと、全く関係ないですが、質問者→回答者よりも、出題者→解答者という言葉のが好きかな、とか。という備忘録
0247１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 18:06:530248１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 19:22:41僕に何を求めてるかはわかりませんが、
休むと休まざるとでは似て非なるものでしょう？（笑）
0249１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 22:56:17やってたものを、n次元ユークリッド空間内のn次元部分空間を表すX （以下、U^n ⊇ U_{p_0}^n [X]）を用いたら、
余因子行列C[・]が意味するところ（C[X]は Xの 直交行列）は 幾何学的には「0対面以外の対面を表す行列」
と言えるのではと提言しました。ちなみに、0対面を表すベクトルは c_0 = - C[X] \bm{1} / n と書けると考えてます。
ちなみに、U^(n+1)内で n次元単体を位置行列Pで表す場合（以下、斉次を区別する記法\tilde{・}を\{・}で略す）は、
\{U}^(n+1) ⊇ \{U}^n [P] とか書き、(n+1)×(n+1)の余因子総和行列 \{C}[P] がそのまま「0〜n対面を表す行列」
になるかと思ってますが、これはまだ詳しく試してません。
>>246 の過程から、ベクトルの大きさを表すユークリッドノルムのm×n行列（例えば L）への拡張として、
|| L || = (√( |[ L^T L ]| )) / (n!) と考えようと思いました。これを「単体積ノルム」とか呼びたいのですが、
Wikipediaにある || L || > 0 以外のノルムの性質？（ || L α || = || L || | α^n | ≠ || L || | α | や他の
条件）を満たさないようなので、いいものかどうか…
とりあえず、わかってるところまでは書いてる気がするし、先人も全く見つけられないなか 暗中模索しながらやってるので、
あとは新しい情報や考えが浮かんでくるまで、みなさんも気長に読んだり書いたり ゆっくりしていってね！！！
0250１３２人目の素数さん
2009/04/08(水) 23:39:30しかし、\{U}^m ⊇ \{U}^n [P] で原点\bm{0}から Pで表されるn次元単体の各頂点へのベクトル p_i (i=0〜n) は
1次元だけ線型従属となる(p_0がLの線型結合で表せる)場合があり、このときは P \{a}_\bm{0} = \bm{0} でも
\{a}_\bm{0} が零ベクトル以外の 1次元の任意性を表す解を持ち、原点\bm{0}から Pで表されるn次元単体への
垂線ベクトルも p_y = P ((C[P^T P] \bm{1}) / (\bm{1}^T C[P^T P] \bm{1})) = \bm{0} と書ける。このことから、
Pが線型独立の場合、P \{a}_\bm{0} = \bm{0} なら \{a}_\bm{0} = \bm{0}_n でしかなく、p_y ≠ \bm{0} 。
Pが線型従属の場合、P \{a}_\bm{0} = \bm{0} でも \{a}_\bm{0} ≠ \bm{0}_n が存在し、p_y = \bm{0} でもあるため、
\{a}_\bm{0} = ((C[P^T P] \bm{1}) / (\bm{1}^T C[P^T P] \bm{1})) α （αは任意の実数） という式が成り立つと思う。
しかし この式は、p_i = \bm{0} を含む場合や、Pが線型独立の場合との整合性などが怪しいので確かめたい。
そろそろ一年やってみて、この先 一年くらいは これまでの成果などを まとめるターンかと 個人的に思ってますが、
同じような事を何度も書くのは けっこうトリビアルだとも思って 休んでしまうときもあるので、 …ゆっくりしていってね！！！
0251１３２人目の素数さん
2009/04/09(木) 08:11:08「凸五角形Sと その対角線によって作られる内部の凸五角形S'の 面積比S/S'の最大値を求めよ」
という問題に興味を持ちました。昔の数セミの問題らしいけど僕にエクセレントな回答は思い浮かびそうも無いので、
xy平面上の5点を[x0,y0],…,[x4,y4]として面積比を出して 凸の条件から導出するくらいしか考えつかないなぁー。
例えば、凸四角形と その頂点からその頂点を含まない2つの対辺の中点へ向かう線の組み合わせで
得られる内部の凸四角形との面積比とかなら、よりやりやすい気もした。 n次元(n+1)点複体ならどうか…zzz
平面の話ということで、これまた気になってたクリフォードの定理などと結び付けられたら面白くなりそうだな、と思った。
0252１３２人目の素数さん
2009/04/10(金) 04:53:25最小値は凸５角形じゃなくなるときのS'/S=0かな。俺がやったのは、小五角形の内部点から凸五角形の5点への2次元ベクトルを
x_i = [r_i cosθ_i, r_i sinθ_i] （極座標のように）として、x_iの始点から反対側にある小五角形の点への2次元ベクトルを y_i とすれば、
y_0 = (1-a) x_1 + a x_3 = (1-b) x_2 + b x_4などからy_iが出て、S'/S=(y_0×y_1 +…)/(x_0×x_1 +…)で定式化できると考えましたが、
計算が重すぎて、いろいろやったあげく、4 √(5+2√5) = (1+√5) √(10+2√5) という等式が成り立つのを見つけたところでギブアップ。
ということで、答えを探した結果、五角形の面積比問題
http://cheese.2ch.net/math/kako/955/955485321.html
で解である 「正五角形のとき S'/S=(7-3√5)/2≒0.146」 （小さすぎる？）が最大値というのと、
証明らしきものが載ってましたが、よくわからなかった。それより下記が気になった↓
106 名前： 甘美なノルム空間 投稿日： 2000/12/21(木) 05:01
凸Ｎ角形の面積をＳ、
頂点を反時計回りにV(0), v(1), ..., V(N-1)とし
V(x)とv((x+2)mod N)を結んで小Ｎ角形をつくる。
小Ｎ角形の面積をＳ'と するとき、
Ｑ１．正Ｎ角形の場合、ＮについてＳ'/Ｓを求めるの関数を求めよ。
Ｑ２. Ｓ'/Ｓの最大値をＮについて求める関数を存在するか。
Ｑ３. Ｎ＝５のとき、Ｓ'/Ｓの最大値を求めよ。
↑の凸Ｎ角形の縮小変換を再帰的に行って収束する点を求める問題とかも面白いかも。
時計回りに点を選んで逆方向で縮小変換を繰り返したら 反時計回りと違う点に収束するかも！？
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