0点から出るn本の互いに線型独立なm次元列ベクトル \bm{l}_i (i=1〜n)と
それらn本のベクトルの線型結合で表される x点 \bm{l}_x を考え、
n本のベクトルが作る n次元単体の外接超球とx点との距離Fを求める。

n本のベクトル \bm{l}_i が作る n次元単体をm×n行列 \bm{L} = [\bm{l}_1, …, \bm{l}_n]で表すと、
0点からこのn次元単体の外接超球の中心（外心）へのベクトルは l_O=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0
（ただし、\bm{b}_0 = [(\bm{l}_1^T \bm{l}_1)/2, …, (\bm{l}_n^T \bm{l}_n)/2]^T）と書ける。

これより、外接超球とx点との距離を F= (l_x-l_O)^T (l_x-l_O) - l_O^T l_O= l_x^T l_x - 2 l_x^T l_O とする。

ここで、iとjは0〜nまたはxとなるとし、i点と j点の距離の二乗を b_{ij} = (\bm{l}_i - \bm{l}_j)^T (\bm{l}_i - \bm{l}_j)
とおき、\bm{b}_x = [(b_{x0} - b_[x1})/2, …, (b_{x0} - b_[xn})/2]^T）として、このFの式を書き換えると
F= \bm{b}_x^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_x - \bm{b}_0^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0 となる。
（これを整理すると \det()-\det() の式になる。）

上記を用いて、x点についてこのFの値が負となる場合は x点は ｎ次元単体の外接超球の内部にあり、
F=0でx点が外接超球上、F>0となるならx点は外接超球の外部にあることが言える。
これを仮に「複体外接超球の定理」と呼ぶ。

例えば、1次元のみで考えると、F=(b_{x0} - b{x1} - b_{01}) (b_{x0} - b{x1} + b_{01}) / b_{01}
となり、x点は0点と1点の間にある場合 F<0 で、0点1点上にあればF=0、それ以外でF>0となる。

2次元の場合を計算すると、F= (b_{01} (b_{2x} - b_{0x}) (b_{2x} - b_{1x}) ) + (b_{12} (b_{0x}
- b_{1x}) (b_{0x} - b_{2x}) ) + (b_{20} (b_{1x} - b_{2x}) (b_{1x} - b_{0x}) ) - b_{01} b_{12} b_{20}
というどこかで見た式になる。幾何学的に本当かどうかとトレミーの定理との関係はまだ謎。

今後は、x点が外接超球上にあるときはサイクリックとなることを利用してつめていきたいです。
という感じの今日（もう昨日か）でした。まだめちゃくちゃでゴメンナサイ。眠い…