ｆについて　１）区間I=[a,∞）上連続
　　　　　　２）任意のｘ∈Iに対してｆ（ｘ）≧０
　　　　　　３）lim[x→∞]f(x)＝０　　　　　　　　が成立。
このとき、ｆが最大値を持つことを示せ。

この問題なんですが、
任意のε＞０に対して、x_1∈Iが存在し、ｘ≧x_1のときｆ(x)＜εとして、
最大値の定理よりｆが区間[a,x_1]で最大値を持つことを示せば十分でしょうか？
他に何か説明する必要はあるでしょうか？