ある正数Eの与えられたとき、|(a_1+...+a_N)/N - a| < E
なるNを選べることを示す。つまり|a_1+...+a_N - Na| < NE
を示す。
|a_1+...+a_N - Na| = |(a_1-a) + ... + (a_N-a)|
<= |a_1 - a| + ... + |a_N - a|
ここでa_n の a への収束性から、あるεについて、kを選べて、
n>k なら |a_n - a| < ε。すなわち |a_1 - a| + ... + |a_N - a|
< (i=1,k)|a_i-a| + (N-k)ε。　　Max(i=1,k) |a_i-a| = M_k
とすれば、前式 <= k・M_k + (N-k)ε <= k M_k + Nε。
ここで k M_k + Nε < NEなる Nを選ぶことを考える。
これは N > k M_k / (E - ε) ...(A)とすればよい。
すなわちEを与えられたら、これより小さい εを選び、それから
kを決定して、(A)により Nを決定する。証明終わり。