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87コメント20KB

数学的帰納法の拡張思いついた

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0001１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 19:55:28
命題P(ｎ)について

[Ⅰ]ｎ＝1で成立を示す

[Ⅱ]ｎ＝ｋで成立を仮定するとｎ＝ｋ＋１でも成立することを示す

[Ⅲ]ｎ＝ｋで成立を仮定するとｎ＝ｋ－１でも成立することを示す


[Ⅰ]～[Ⅲ]より、すべての整数においてP(ｎ)が成り立つことが示される



従来の数学的帰納法は全ての自然数についての証明に用いることができるが、このようにすると全ての整数についての証明まで拡張することができる


異論があるだろうか
0002１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 20:26:24
　　/　　／　　　　 ＿＿　　　､　　ヽ　｀´　 ヽ
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　l / 　／ , -‐i ´ l ./ト ､._￣､　- ヽ､＿￣｀ヽ .',
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　　　 川 　 l i ﾄ､　　　　　　　　　　／i　 　 　　／￣:::::::::::::::::::::::::√　
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0003１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 21:17:13
でっていう
0004１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 22:07:11
じゃあ、同じ手法で有理数もやってね。
0005１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 22:45:23
非負有理数上の命題について
1. q = 1 について成立を示す
2. q = n/m について成立を仮定すると q = (n+1)/m でも成立することを示す
3. q = n/m について成立を仮定すると q = n/(m+1) でも成立することを示す
有理数への拡張は容易
0006１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 23:40:24
ここは数学板の自称神Kingの見解を伺おうではないか
0007１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 23:41:28
非負有理数上の命題について。有理数p/qは全て既約として考えればよい。
1. p＋q＝1について成立を示す(自動的にp＝0,q＝1従ってp/q＝0となるしかない)
2. p＋q＝kについて成立を仮定すると、p＋q＝k＋1でも成立することを示す
0008１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 23:49:08
じゃあ次は順序数ね。
0009１３２人目の素数さん2008/05/19(月) 03:25:38
何か新しいことでも見つかると良いな
あまり期待出来そうもないが
0010１３２人目の素数さん2008/05/19(月) 04:21:57
新しいも何も、可算集合にどう番号付けるかだけの話じゃないの？
0011１３２人目の素数さん2008/05/19(月) 08:45:52
フラクタル集合上の帰納法とか
0012１３２人目の素数さん2008/05/20(火) 01:03:08
>>1
まず、それを証明しろ。

そういえば、超限帰納法は整列集合にしか証明されてないが、
Ｚ（整数全体）を整列集合にするだけの話か？
それとも、何か、目新しいことがあるのか？
0013１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 15:03:40
>>12
kwsk
0014１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 15:16:38
よし、じゃあ整列集合以外の構造を持つ集合での帰納法を考えよう！
任意の集合は整列可能とはいえ整列しちゃうと上手く漸化式が書けるとも限らないからな。
0015１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 16:58:53
アナル拡張
0016１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 20:28:51
全然拡張になってない。
二つの全く関係ない命題P,Qを数学的帰納法で示したに過ぎない。
0017１３２人目の素数さん2008/05/23(金) 00:06:21
>>14
ただの全順序集合だと、数学的帰納法が成り立たない例が作れるらしい。
整列集合であることを仮定するのは本質的。
0018１３２人目の素数さん2008/05/23(金) 02:06:17
これは面白そうなスレ
0019１３２人目の素数さん2008/05/23(金) 04:30:44
良スレ
0020１３２人目の素数さん2008/05/23(金) 07:56:32
入試でも下がるタイプはあったな
0021１３２人目の素数さん2008/05/23(金) 08:22:24
>>17
面白そう。何を調べれば載ってるかな？
0022１３２人目の素数さん2008/05/24(土) 00:05:18
>>21
ググレ
0023１３２人目の素数さん2008/05/24(土) 19:27:57
>>17
全順序集合に限ることもあるまい
0024１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 15:35:34
>>1
数学的帰納法ってのはつまり、演繹法を繰り返し使っているだけだから
いわゆる直接証明の一種。

>1の手法は正しい。
0025１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 15:38:13
なんだよ、この稀に見る良スレは
0026１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 15:48:19
>>23
それは半順序で考えるということか？仮に半順序で考えるとしても、
その中でも特に全順序を考えることによって(全く同じ)反例が作れて
しまうから、結局、より強い条件を課さなければならない。

つまり、半順序で考えているつもりが、結局のところ、半順序よりも
強い条件(実際には全順序よりも強くなければならない)を課さなければ
ならなくなる。
0027１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 16:38:07
何を物々しく言っているのか訳が分からない。
当初の質問の答えは「赤摂也　実数論講義」または「加藤十吉　微分積分学原論」を見よう！
0028１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 16:41:35
何を物々しく言っているのか訳が分からない。
当初の質問の答えは「赤摂也　実数論講義」または「加藤十吉　微分積分学原論」を見よう！
0029１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 16:45:04
>>26
＞実際には全順序よりも強くなければならない
この部分に根拠はあるのか？
0030１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 16:45:44
対象集合の濃度が自然数と同じであっても有限個の例外を含む場合は数学的機能法を単純に適用できない
0031１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 16:46:06
test
0032292008/05/25(日) 19:45:16
>>29
よく考えたら根拠は無かった。
003329じゃなくて262008/05/25(日) 19:46:05
名前訂正
×29
○26
0034１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 21:45:10
おいおい…
0035１３２人目の素数さん2008/05/25(日) 22:19:29
>>28
その本から、このスレの答えとなることのエッをセンス抜き出して書いてくれよ
0036１３２人目の素数さん2008/05/28(水) 10:05:01
普通に集合論の本に載っているだろ
高校生や大学新入生か？
0037１３２人目の素数さん2008/05/28(水) 15:42:28
>>36
何が？
0038１３２人目の素数さん2008/05/28(水) 22:26:28
0<=x<1を１と置く。
1<=x<2を２と置く。
・・・
n-1<=x<nをｎと置く。

１、２・・・ｎまで証明すれば０以上の全ての実数について証明したことになる。
数学的帰納法は離散的なものだけではなく連続的なものにも適用できたのだ。
0039１３２人目の素数さん2008/05/28(水) 22:59:44
>>38
要するに、
(1) 0<=x<1の実数xについて命題P(x)は成り立つ
(2) P(x)を仮定すると、P(x+1)が成り立つ
の2つがいえれば、すべての非負実数xについてP(x)が証明できたことになる
ってことだろ。
それは正しい。
0040１３２人目の素数さん2008/05/28(水) 23:02:58
問題は、0以上のすべての実数xについて成り立つ命題P(x)を証明するのに、
そんなまわりくどいやり方をしなければならないような例が思いつけない
ってことだな。
0041１３２人目の素数さん2008/05/29(木) 00:11:41
ガウス記号の中に実数が入ってるような命題は
しばしばこういうやり方をするよね
0042１３２人目の素数さん2008/05/29(木) 00:45:36
コラッツ帰納法

任意の自然数n に対し、

P(n) ならばP(2n)
n-4 が6 の倍数かつP(n) ならばP((n-1)/3)

が成り立つならば、任意の自然数n に対しP(n) が成り立つ。
0043１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 00:29:55
で、この拡張が役にたつの？
0044１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 00:43:07
お前らZornの補題でも学んでから議論しろ。
0045１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 00:59:57
King、Zornの補題ってなに？
0046１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 01:14:03
Zornの補題自体を知っているだけでは大したメリットは無いと思うが、
このスレにおいては、超限帰納法ぐらいを知ってから議論してもらいたいものだ。
00471stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/06/09(月) 04:24:04
Reply:>>45 数学ではよく知られている命題で、選択公理と同値である。はじめに順序集合を覚えよう。帰納的順序集合には極大元が存在する。
0048１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 18:41:19
>>46
超限帰納法の話なら既に何度も出ているだろう。
0049１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 18:46:00
>>47
きんｇはなんでそんなに頻繁にトリップ変更するの？
00501stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/06/09(月) 18:57:30
Reply:>>49 何か。
0051１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 19:00:01
>>50
なんでそんなに頻繁にトリップ変更するの？
00521stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/06/09(月) 19:03:43
Reply:>>51 何のことか。
0053１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 23:22:20
彼女のアナルじゃあるまいし気軽に拡張すんな
0054１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 23:25:45
1 のチンポは 2 のマンコに挿入され、つながってる。

n - 1 のチンポは n のマンコに挿入され、 つなかってる。

このとき任意の n は 1 とチンコ-マンコの連結でつながってる。
0055１３２人目の素数さん2008/06/09(月) 23:29:29
この定理でわかるのは２以上の自然数は両性具有だと言うことである
0056１３２人目の素数さん2008/06/11(水) 23:35:24
位相空間上でよくやる議論に、
｢連結位相空間Xの点の中で、条件Pを満たす点全体の部分空間をAとする。
このとき、A＝Xであることを示すためには、Aが空でなく、Xの開かつ閉集合
であることを示せばよい｣
というのがあるけど、これは帰納法の連続バージョンとも言えるな。
0057１３２人目の素数さん2008/06/12(木) 03:57:22
なんか数セミの特集みたいだな。
0058１３２人目の素数さん2008/07/07(月) 02:07:58
つ structural induction
つ rule induction
0059１３２人目の素数さん2008/07/08(火) 16:08:37
>>56
それって、連結の定義なだけじゃ？
0060１３２人目の素数さん2008/09/08(月) 22:00:12
300
0061GiantLeaves ◆AtWRd2AMHg 2008/09/22(月) 00:49:19
Talk:>>52　人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ
0062KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/09/22(月) 20:24:58
Reply:>>61 お前は何をしようとしている。
0063GiantLeaves ◆AtWRd2AMHg 2008/09/22(月) 20:48:09
Talk:>>62　人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ
0064KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/09/23(火) 21:54:46
思考盗聴で私から1km以内に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。
0065１３２人目の素数さん2008/09/24(水) 06:26:28
n個の相加相乗平均の不等式の証明の一つに
変形した数学的帰納法を使っていた気がする
形としては >>42 が近かったような
0066GiantLeaves ◆AtWRd2AMHg 2008/09/24(水) 22:01:23
Talk:>>64 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
0067１３２人目の素数さん2008/09/24(水) 23:07:29
>>16
そうか、>>1 は命題P(n)と命題P(-n)それぞれについて
nについての数学的帰納法を適用しただけのことだね。
0068１３２人目の素数さん2008/09/25(木) 00:44:52
>>1
[Ⅱ]ｎ＝ｋ＋１
[Ⅲ]ｎ＝ｋ－１

これらは、高校数学の段階でも十分に学びますし
過去の大学入試問題にも題材がありますが…
0069１３２人目の素数さん2008/09/25(木) 04:11:15
１は自分の頭で考えたんだよ。それって立派な頭脳の持ち主だろ
0070１３２人目の素数さん2008/09/25(木) 18:16:57
自分が世界で一番最初に発見した
と思っていたら、既出であったと

つまり教科書を読んでいなかったことに起因しているな

ヴァージンと思っていたが、そうではなかったみたいな…ｗ
0071１３２人目の素数さん2008/09/28(日) 23:10:03
昔、京都大学が出した大学入試問題で、

命題P(ｎ)について
[Ⅰ]ｎ＝1で成立を示す。
[Ⅱ]ｎ＝２のｋ乗 で成立を仮定するとｎ＝２の(ｋ＋１)乗 でも成立する
ことを示す。
[Ⅲ]ｎ＝ｍで成立を仮定するとｎ＝ｍ－１（ただしｍ－１は自然数）
でも成立することを示す。
[Ⅰ]～[Ⅲ]より、すべての自然数ｎにおいてP(ｎ)が成り立つことが示される。


というのがあった。
京都大学らしい素晴らしい考え方だ。
0072１３２人目の素数さん2008/09/28(日) 23:12:51
>>71
>>68
0073１３２人目の素数さん2008/09/28(日) 23:25:25
>>71
それ京大じゃなくても既出。
0074１３２人目の素数さん2008/09/30(火) 08:07:43
>>71
へぇ、自明ではあるけど帰納法の基本概念を理解している必要がある問題だね。

その帰納法を使う事で、証明が楽になる具体的な問題もあるのかな？
0075１３２人目の素数さん2008/09/30(火) 16:35:28
超限帰納法って、それと意識せずに使ってることが多いよね。
アルゴリズム関係とかで。
0076１３２人目の素数さん2008/10/01(水) 02:40:26
これって、要するに[Ⅰ]は、nが1である必要はないってことだよな？
0077１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 10:56:43
>>74
n変数の相加相乗。
0078１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 11:05:29
>>74
相加相乗の一般証明の他に・・・

文字は全て0以上π以下として
(sin(a_1)+sin(a_2)+...+sin(a_n))/n≦sin((a_1+a_2+...a_n)/n)

とか．これは某医大の過去問
0079１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 13:39:37
>>1

高校生なら誰でも気付くよ。＾＾


高二は帰れや！
0080１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 14:07:45
何をいまさら…ｗ
0081１３２人目の素数さん2008/10/02(木) 15:43:33
>>78
どっちも中点凸から(f(a_1)+・・・+f(a_n))/n≧f((a_1+・・・+a_n)/n)を出すパターンだな。
他にない？
0082１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 01:56:11
以前高校生スレでオイレルの公式らしきものを数学的帰納法で証明する問題があった
どっかの大学の過去問だったらしいが
0083１３２人目の素数さん2008/11/27(木) 01:03:11
うるさい。
0084１３２人目の素数さん2008/12/07(日) 12:17:46
このような>>1は「漸化式の解き方を思いついた」なんてスレまた立てそうだな
ごく普通の高校の教科書にも載っていることをわざわざな

それでも>>69氏のように
>>自分の頭で考えたんだよ。それって立派な頭脳の持ち主だろ
と生暖かい（白い）目で見守るのだろうか？
0085１３２人目の素数さん2008/12/09(火) 18:43:53
またこんな糞スレを立てやがって・・・・
0086１３２人目の素数さん2008/12/16(火) 10:56:07
アナルの拡張思いついた
0087１３２人目の素数さん2009/01/04(日) 04:01:25
"ゲーデルと20世紀の論理学_4_集合論とプラトニズム",田中一之編
の第二章p.78辺りからの引用で、少し変わったタイプの帰納法なんだけど
整順的二項関係を有する集合上の帰納法ってのがあるね。

これは整列集合上の帰納法の拡張になってる。
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