> (*)のような事実は直感として認識できるわけで
> そうした基本的な性質を認めた上で、
> 主要な定理を導くことは可能だと思う。

二重極限の交換は結構厳しい。

例えば、
リーマン積分の存在、
lim_[n→∞] ∫f_n(x) dx = ∫lim_[n→∞] f_n(x) dx の類の関係式
・・・
一変数に限ってもこんなの沢山ある。

こういうのを「直観として認識できる」あるいは
「主要な定理ではない」だとか言いだすのなら話は別だが。

> 実際、高校の教科書や数学科向けではない学部向け教科書
> の多くは、そういう構成をとっているわけでしょ。

ごまかしてるんだよね、いろんなところをね。
「直観より明らか」と本読む人に思いこませるようにして。

というかね、単に理論構成レベルや形式的な話だけじゃないんだよね。

無限(大、小)というものを定量的に捉えるというε-δの考え方自体を理解して欲しいんだけどね。
理論構成を単になぞるだけよりも、そういうことことそが役に立つと思うんだけどね。
単に目の仇にしてる人には理解できないんだろうけど。