【頂上】東大京大東工大 数学入試問題対決【決戦】
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0001W.P.Thurston
2008/05/08(木) 01:08:43http://titech.J3E.info/ojyuken/math/kyoto/
http://titech.J3E.info/ojyuken/math/titech/
この板の諸兄にとっては算数レベル？やさしすぎる問題ばかりかもしれません
幾何化予想の証明に疲れた時にでも、頭の体操と思ってやってみてください
もっとエレガントな別解や、大学による特色、傾向など、感じたままにカキコして
From Russia with Love
0002１３２人目の素数さん
2008/05/08(木) 01:14:030003１３２人目の素数さん
2008/05/08(木) 01:33:35_,,....,,_ ＿人人人人人人人人人人人人人人人＿
-''":::::::::::::｀''＞ あせらずゆっくり考えていってね！！＜
ヽ:::::::::::::::::::::￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^￣
|::::::;ノ´￣＼:::::::::::＼_,. -‐ｧ ＿_ _____ ＿_____
|::::ﾉ ヽ､ヽr-r'"´ （.__ ,´ _,, '-´￣￣｀-ゝ 、_ イ、
_,.!イ_ _,.ﾍｰｧ'二ﾊ二ヽ､へ,_7 'r ´ ヽ、ﾝ、
::::::rｰ''7ｺ-‐'"´ ; ', ｀ヽ/｀7 ,'＝=─- -─=＝', i
r-'ｧ'"´/ /! ﾊ ハ ! iヾ_ﾉ i ｲ iゝ、ｲ人レ／_ルヽｲ i |
!イ´ ,' | /__,.!/ V ､!__ﾊ ,' ,ゝ ﾚﾘｲi (ﾋ_] ﾋ_ﾝ ).| .|、i .||
`! !/ﾚi' (ﾋ_] ﾋ_ﾝ ﾚ'i ﾉ !Y!"" ,＿__, "" 「 !ﾉ i |
,' ﾉ !'" ,＿__, "' i .ﾚ' L.',. ヽ _ﾝ L」 ﾉ| .|
（ ,ﾊ ヽ _ﾝ 人! | ||ヽ、 ,ｲ| ||ｲ| /
,.ﾍ,）､ ）＞,､ _____, ,.イ ハ レ ル｀ ー--─ ´ルﾚ ﾚ´
0005１３２人目の素数さん
2008/05/08(木) 21:47:28/: :／: : : : : : : : : : : : : : : : : .
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0006１３２人目の素数さん
2008/05/09(金) 17:43:520007１３２人目の素数さん
2008/05/10(土) 13:48:25というかコレはなんか著作権とかに引っ掛かったりしないのか
0008１３２人目の素数さん
2008/05/11(日) 00:25:220009１３２人目の素数さん
2008/05/11(日) 01:44:580010１３２人目の素数さん
2008/05/11(日) 03:37:000011１３２人目の素数さん
2008/05/12(月) 03:05:05/: :／: : : : : : : : : : : : : : : : : .
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0012１３２人目の素数さん
2008/05/16(金) 01:00:23どうやって？
0013１３２人目の素数さん
2008/05/16(金) 14:35:31そっとしておいてやれ。
0014１３２人目の素数さん
2008/05/17(土) 19:47:53【理由】もし有理数とかだったら数研の教科書とかに太字で出てるはずだから。
同様にcos 1とかsin 1とかも有理数でわない。
0015１３２人目の素数さん
2008/05/17(土) 20:10:030016１３２人目の素数さん
2008/05/17(土) 22:27:06M嶋先生？
0017１３２人目の素数さん
2008/05/18(日) 18:01:560018１３２人目の素数さん
2008/05/21(水) 00:10:43e^i=e^((iπ)/π)=(-1)^(1/π)も代数的数になる
後は「(-1)^aが代数的数→aは有理数」を示せればtan1が超越数である事が分かるのに…
0019W.P.Thurston
2008/05/23(金) 20:22:38>http://titech.J3E.info/ojyuken/math/tokyo/
2008年東大理科前期 問１は簡単過ぎますな
普通の理系の高一なら楽に解けるレベル
そうそう、(2)の解答は間違ってますよ
太線分上の座標は、解答の領域に含まれません
ケアレスミスでしょうけど、早く直したほうがいい
0020１３２人目の素数さん
2008/05/24(土) 17:12:3500211stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/05/24(土) 19:52:210022１３２人目の素数さん
2008/05/25(日) 09:07:070023１３２人目の素数さん
2008/05/25(日) 09:10:15東大前期 2008年の問２はマジいい問題だね
それにしても東大って無限級数が好きだね
0024１３２人目の素数さん
2008/05/25(日) 20:34:59>太線分上の座標は、解答の領域に含まれません
ひょとして白雉の方ですか？
0025W.P.Thurston
2008/05/26(月) 06:08:29私の指摘で、正しい位置に直したんですよ
0026１３２人目の素数さん
2008/05/28(水) 01:17:17tan1°が有理数であると仮定する
tan(ｎ)°（nは任意の実数）が有理数であるとすると、加法定理より
tan(n＋1)°＝tan(n)°＋tan1°／1－tan(n)°tan1°
∴tan(n＋1)°も有理数である
よって数学的帰納法より、自然数nに対して、tan(ｎ)°は常に有理数である
ところが、tan60°＝√３より、矛盾
∴tan1°は無理数である
ちなみにオレ≠>>9なので、あしからず
0027１３２人目の素数さん
2008/05/28(水) 03:23:280028１３２人目の素数さん
2008/05/28(水) 08:54:21これは恥ずかしい
0029１３２人目の素数さん
2008/05/28(水) 09:08:160030１３２人目の素数さん
2008/05/28(水) 09:27:120031１３２人目の素数さん
2008/05/29(木) 00:29:13仮に中盤で解決できそうになったとする。プロなら、それを探し出して一気に解こうとする。
ところが、ペレルマンはそういった常識に囚われない。
有利な態勢になっても、決して解決を急がない。
ポアンカレ予想に対して、ゆっくり解こう、などと考えるのは大変な素質で、
恐るべき底の深さを感じる。
全盛時代のドリーニュは、「最初のチャンスは見送る」と言っていた。
何となく似ているではないか。
底の深さと言えば、もう一つ感じたことがある。
それは、人生経験が数学にプラスするだろう、と思わせる点で、
ペレルマンは五十歳くらいまで年々進歩するはずだ。
もしかしたら、ここ数年がピークなのではないか、
という感じのタオと違う、人間的なスケールの大きさがある。
「たくさん未解決問題を解くのはタオ君でしょうが、ここ一番で仕事をするのはペレルマン君のような気がしますね」
長尾少年の言である。恐らく当っているだろう。
0032１３２人目の素数さん
2008/05/29(木) 01:58:38ペレやタオが聞いたら鼻でせせら笑うんじゃね？Nagao? Who?
「ところで長尾君 キミの定理は何？」
なんて底意地の悪い質問返してきたりして。
0033１３２人目の素数さん
2008/05/30(金) 11:44:08ポアンカレ予想を解決したことである。手法もリッチ・フロー（ハミルトン・ペレルマンのリッチ・フロー理論）と
統計力学を用いた大変独創的なものである。ペレルマン論文に対する他の数学者達による検証は2006年
夏頃まで続いたが、結論として少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンの証明は正しかったと考え
られている。
2006年度、ポアンカレ予想解決の貢献により「数学界のノーベル賞」と言われているフィールズ賞
（幾何学への貢献とリッチ・フローの解析的かつ幾何的構造への革命的な洞察力に対して）を受賞したが、
「自分の証明が正しければ賞は必要ない」として受賞を辞退した。
アメリカの雑誌の取材に対して「有名になると何も言えなくなってしまう」と答えている。
フィールズ賞の辞退は彼が初めてである。
また、これ以前にも昇進や欧州の若手数学者に贈られる賞などを辞退したりしている。
その他100万ドルに全く興味を示さなかったり、自分の論文をあまり公表したがらない。
現在は故郷で母親と共にわずかな貯金と母親の年金で細々と生活しているらしく消息は不明だが、
ひそかにケーラー・アインシュタイン計量の存在問題に取り組んでいると言われている。
以上のようにほとんど人前に姿を見せないなど一風変わった人物であるが、元々は快活で社交的な人物で
ありポアンカレ予想の証明に取り組み始めてから他人との接触を避け、内に籠もるようになったといわれる。
0034１３２人目の素数さん
2008/05/30(金) 12:22:25なんでこんな時間に書き込みできるわけ？
普通の人なら学校や会社があるはずなんだけど
0035１３２人目の素数さん
2008/05/30(金) 12:27:100036ｗｗｗ
2008/06/02(月) 03:05:07それはtan(ｎ)°が常に有理数ではない、という証明だと思うが・・・。
tan45°＝１のときは？
0037１３２人目の素数さん
2008/06/02(月) 03:29:55背理法とか、数学的帰納法の論理構造を、もう一度よくお勉強なさいな。
２６は間違ってるよ。だれか教えてあげなよ。かわいそう。
0038１３２人目の素数さん
2008/06/02(月) 04:18:040039１３２人目の素数さん
2008/06/02(月) 04:29:31横レスだが、
＞それはtan(ｎ)°が常に有理数ではない、という証明だと思うが・・・。
26がやっているのは、
「tan1°が有理数だと仮定すると、tan60°も有理数になってしまい矛盾」
ということだ。tan(n)°が常に有理数でないことの証明などやっていない。
＞tan45°＝１のときは？
tan45°(＝1)から出発して同じように計算すると、tan(n)°は有理数だと言えるか？
いや、言えない。たとえば、tan46°については、
tan46°＝{tan45°＋tan1°}/{1－tan45°tan1°}＝(1＋tan1°)/(1－tan1°)
となって、この式だけでは何も言えない。もし「tan1°は有理数である」という
仮定を置くならば、tan46°は有理数になるが、この仮定を置かないならば、
tan46°は有理数なのか無理数なのか分からない。
>>37
(1)tan1°が有理数だと仮定する。
(2)この仮定と数学的帰納法を使うと、tan(n)°は常に有理数となる。
(3)n＝60のときは無理数だから、矛盾。
(4)よってtan1°は無理数。
合ってるがな。
自然数nについての命題P(n)について、
・「P(n)が真ならばP(n＋1)も真」が各nについて成り立つ
・P(n)が偽であるようなn＞1が存在する
の2つが成り立つとする。このとき、P(1)は偽だと分かる。
この論法でやってるのが26だろ。何がおかしいんだ？
0040１３２人目の素数さん
2008/06/02(月) 05:00:16P(n)：tan1°とtan(n)°はともに有理数である
とおく。このとき、
・「P(n)が真ならばP(n＋1)も真」が各nについて成り立つ
・P(n)が偽であるようなn＞1が存在する
の2つが成り立つ。1つ目はtanの加法定理を使って証明する。
2つ目は、P(60)が偽だからn＝60とおけばよい。
以上より、P(1)は偽である。すなわち、tan1°は無理数である。
0041１３２人目の素数さん
2008/06/02(月) 21:39:530042１３２人目の素数さん
2008/06/02(月) 23:01:32なんでそうなるのか？よく読め。
「tan1[rad]が無理数であることの証明」として見たときに
26は間違っていると言っているのが27,28,30だ(これは尤もである)。
一方で、「tan1°が無理数であることの証明」として見たときに
26は間違っていると言っているのが36,37だ(これはアホである)。
俺は36,37に対してレスしているので、度数法と弧度法の違いを
調べる必要は無い。36,37にレスするのに、度数法と弧度法の
違いを使う場面は無いからだ。
反射的に変なレスを書く前に、少しは話の流れを把握しろよボケ。
0043１３２人目の素数さん
2008/06/03(火) 18:48:47恥ずかしいやつだな
>>36>>37が間違っていることは明らかだがら議論する必要ないんだよ
文字どおり論外
0044１３２人目の素数さん
2008/06/05(木) 22:50:19ＡＢ＋ＡＤ＝ＤＣ、ＡＤ＋ＡＣ＝ＢＣが成り立つ
この時∠ＡＤＢの大きさを求めよ
0045１３２人目の素数さん
2008/06/06(金) 16:36:1660°だな。計算でやると氏ぬタイプか
0046１３２人目の素数さん
2008/06/06(金) 16:56:570047１３２人目の素数さん
2008/06/06(金) 22:42:23なんで80°？
解説プリーズ！
0048１３２人目の素数さん
2008/06/06(金) 23:56:110049１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 00:01:000050１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 00:08:360051１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 01:11:460052１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 17:01:32他のサイトでこの問題を質問したけど…
この問題は高校レベルを超えてるらしい…
0053１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 21:37:31長野県警への１１０番通報で考えられない事が多発している。
「○○山の頂上ですが喧嘩しています、直ぐ来て下さい」状況から隊員や近隣の山小屋の方が急行する。
殆どが団塊の世代に代表される年齢層と若い世代の喧嘩だ。傍から見ると若い世代が老人へ暴力を振るった
と思われるが実情は逆だ。団塊世代の登山マナーに若い方が苦言を呈す、団塊世代は逆切れし結果暴力となる
、若い方は相手が老体や女性で有る事から殴られ放題、周りの方が見ていられずに警察へ電話～中略～
「登山用のストックを振り回し失目寸前まで怪我をした学生もいました」～中略～
「一昔前は教育する側の世代が逆に若い方に教育されている、現場へ行くと怒りより何故か悲しくなります」
0054１３２人目の素数さん
2008/06/11(水) 22:58:20a[1],…,a[n]を相異なる代数的数としたとき、
e^a[1],…,e^a[n]は代数的数体上線型独立である。
この定理を使う。
代数的数α≠0(cosα≠0)に対して、tanαが代数的数であるとすると
tanα=sinα/cosα=(e^(iα)-e^(-iα))/((e^(iα)+e^(-iα))i)より
(itanα-1)e^(iα)+(itanα+1)e^(-iα)=0
itanα±1は代数的数で同時に0とはならない。
これはリンデマンの定理から矛盾する結果である。
したがってtanαは超越数。
特にα=1は代数的数だからtan1は超越数。したがって、tan1は無理数。
0055１３２人目の素数さん
2008/06/12(木) 02:32:45>>13
リンデマンの定理
a[1],…,a[n]を相異なる代数的数としたとき、
e^a[1],…,e^a[n]は代数的数体上線型独立である。
この定理を使う。
代数的数α≠0(cosα≠0)に対して、tanαが代数的数であるとすると
tanα=sinα/cosα=(e^(iα)-e^(-iα))/((e^(iα)+e^(-iα))i)より
(itanα-1)e^(iα)+(itanα+1)e^(-iα)=0
itanα±1は代数的数で同時に0とはならない。
これはリンデマンの定理から矛盾する結果である。
したがってtanαは超越数。
特にα=1は代数的数だからtan1は超越数。したがって、tan1は無理数。
2008-06-11 00:42
http://83.xmbs.jp/br2_res.php?ID=checkmath&c_num=6693&no=108647&action=res
0056１３２人目の素数さん
2008/06/12(木) 03:44:422008/06/11-14:21 米ＩＢＭが最速スパコン＝ＰＳ３「セル」が本領発揮
ソニーの家庭用ゲーム機「プレイステーション（ＰＳ）３」に使われる半導体「セル」を搭載し、
高速化を実現した。
http://www.jiji.com/jc/c?g=int_30&k=2008061100532
米IBMは、新開発したスーパーコンピューターの「ロードランナー」が世界最速となる
演算速度１ペタフロップスを記録したと発表した。
これまで世界最速だったコンピュータは「BlueGene/L」で、478.2テラフロップスで動作し、
21万2992個のプロセッサを使っていた。
「BlueGene/L」は21万2992個のプロセッサを使用していたが、「ロードランナー」はたった2万プロセッサで、
これまでの世界最速となる速度の2倍以上の速度を実現しており、米国国家核安全保障局の行政官
Thomas P. D'Agostino氏によると、もし地球上の60億人すべてが電卓を使って1日24時間、
週に7日間計算をしても、ロードランナーが1日で行う計算をするのに46年かかるという。
0057W.P.Thurston
2008/06/17(火) 00:32:47東大理科2008年 問3 (1) の解答間違ってる
ケアレスミスのレベルだけど
C点の座標は ( (2root3)a/6, 0 ) じゃなくて ( (2root3)a/6, a/2 )
あと東大理科2008年 問4 (2)は問題文の整合性が取れていない
(2)のｋは、ｈの間違い
早く直しておいたほうがいいな
0058１３２人目の素数さん
2008/06/22(日) 14:05:19この化け物を倒すために、魔法の剣を使う
この剣は一度に、頭１個or頭２個or尾１本or尾２本を切り落とすことができる
頭１個が切り落とされると、頭が１個再生される
頭２個が一度に切り落とされると、何も再生されない
尾１本が切り落とされると、尾が２本再生される
尾２本が一度に切り落とされると、頭が１個再生される
頭と尾がなくなり、なおかつ再生不可能になれば、化け物は死ぬ
例えば、頭１個、尾０本の場合、頭を切り落としても、また頭が再生されるので死なない
またこの化け物は、頭も尾も３個より多く生えることができる
さてこの化け物を倒すためには、最低何回、剣を使う必要があるか？
答えだけでなく理由も述べよ
0059W.P.Thurston
2008/06/22(日) 15:56:47尾１本が切り落とされると、尾が２本再生される - 奇数回
尾２本が一度に切り落とされると、頭が１個再生される - 奇数回
0060W.P.Thurston
2008/06/22(日) 16:02:16【東大理科2008年 総評】
【問1】
無限数列
高１レベルの知識で解けるサービス問題
b[n+1] - b[n] と b[n] - b[n-1] との関係を導く所が肝
上記URIの解答例では、しっかり n=0 の時まで気配りしているのがいい
【問2】
確率
中３レベルの知識で解けるが、頭の柔軟さを必要とする良問
場合分け、樹形図がしっかり構築できたら、解ける
【問3】
空間図形（正8面体）
(1)は中３レベル、(2)は高２レベル（積分）の知識で解ける
ヒラメキを必要とする良問、(2)は式のderivationがウザイけど
ひし形を作った所が、肝
【問4】
2次曲線（放物線）
(1)は中3レベル、(2)は高２レベル（微分）の知識で解ける超サービス問題
f(m) = m^2 + L^2 / (m^2 +1) の振る舞いを x = m^2 (ただし ｘ ≧ 0) とおいて解いた所が肝
0061１３２人目の素数さん
2008/06/26(木) 17:20:090062１３２人目の素数さん
2008/07/06(日) 22:36:470063１３２人目の素数さん
2008/07/07(月) 00:08:420064１３２人目の素数さん
2008/07/07(月) 09:52:09何も起きないから
つまり頭を偶数個切る（２の倍数）ことになって、そのためには尾を２回切る動作を奇数回する必要があるってことか
0065１３２人目の素数さん
2008/07/09(水) 18:44:45http://school7.2ch.net/test/read.cgi/juku/1215462332/
0066１３２人目の素数さん
2008/07/20(日) 02:04:510067１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 16:28:35評しているようである。東大数学で3桁ｗｗｗｗ ワロス
知っている人もいるだろうが。ｗ
0068１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 18:24:04日本語力なさすぎだろ。
0069１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 00:04:27何がおかしいのか分からないので説明してくれ
0070１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 23:27:56P６４、ｐ１１７ページに載っている東大の問題が何年度のものか
ご存知の方いらっしゃいませんか？
0071１３２人目の素数さん
2008/10/12(日) 23:43:230072１３２人目の素数さん
2008/10/13(月) 00:31:28（１）ｆ（ｘ）の増減・凹凸を調べｆ（ｘ）のグラフの概形を図示せよ。
以下、（３）まで問題があります。
正整数ℓを与える。各正整数ｎに対して、関数ｙ＝ｘのℓ乗sin(nx)
０≦ｘ≦２πのグラフとｘ軸で囲まれた図形をCｎとする
（１）Cｎをｘ軸の周りに回転させて出来る回転体の体積をVｎとするとき、
ｎ→∞、Vｎの極限値を求めよ
以下（２）まであります。
上付き文字等、見づらくなって申し訳ありません。
お手数ですが、宜しくお願いします。
0073１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 03:36:062002年後期1番
2000年後期2番
0074１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 08:15:58どうもありがとうございました。
0075１３２人目の素数さん
2008/11/07(金) 10:42:57普通に東京大学や京都大学の方が凄い。
京都大学のノーベル賞受賞者輩出数は日本NO.1。
日本人初のノーベル賞受賞者である湯川秀樹(物理学者)も京都大学出身。
ちなみに湯川秀樹は水瓶座O型。
慶應義塾大学や早稲田大学は所詮は私立大学。
ノーベル賞には縁が無いし国立大学の足下にも及ばない。
水瓶座(湯川秀樹、京都大学)＞山羊座(福澤諭吉、慶應義塾大学)＝魚座(大隈重信、早稲田大学)
0076１３２人目の素数さん
2008/11/09(日) 03:18:340077１３２人目の素数さん
2008/11/14(金) 01:29:54ケンブリッジ大学の入試問題みつけてきた
ここに2008年から1998年まで過去問がPDFでおいてある
http://www.admissionstests.cambridgeassessment.org.uk/adt/step/Test+Preparation
2008年数学だけ直リン
http://www.admissionstests.cambridgeassessment.org.uk/adt/digitalAssets/109701_2008.zip
お暇でしたら突撃してみてください
0078１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 16:45:410079１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 16:36:010080１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:06:08f(0）＝０
f(-x)=-f(x)
log(f)=logx-x^3
logf->-∞ー＞f->0
0081１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:06:540082１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:07:30a^2=ab
a^2-b^2=ab-b^2
(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b=b
2b=b
2=1
0083１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:17:46Sydx=Sx^L(e^inx-e^-inx)/2idx
Sx^Le^inxdx=x^Le^inx/in|-SLx^(L-1)e^inx/indx=(2pi)^L/in-SLx^(L-1)e^inx/indx
-Sx^Le^-inxdx=-(x^Le^-inx/-in|-SLx^(L-1)e^-inx/-indx)=-((2pi)^L/-in-SLx^(L-1)e^-inx/-indx)
-----------------------------------------------------------------------------------
S(L,inx)=2(2pi)/in-LS(L-1,inx)/in
0084１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:19:430085１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 21:24:13Y(0,n)=0
0086１３２人目の素数さん
2008/12/19(金) 22:18:090087１３２人目の素数さん
2008/12/20(土) 08:20:020088１３２人目の素数さん
2009/01/15(木) 19:26:36東大が出してたよ
0089１３２人目の素数さん
2009/01/15(木) 23:58:04面白かった
日本の入試の方がやっぱり難しいな
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