続する４つの自然数を掛けて１を足すとある数の二乗になるというのはよく知られているとおもいます。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n(n+3)+1)^2

さて、この、ある数=n(n+3)+1 は素数になる事が多いようです。
実際、n=1,2,3,4,5,,, に対して　5,11,19,29,41,,,という感じです。

一方　n=5m+1( mは自然数)　の場合は、必ず素因子5を持ちます。
この、ある数が、素数にはならない必要充分条件を教えてください。