log(1+x)=x -(1/2)x^2 +(1/3)x^3 -(1/4)x^4 +･･･+(-1)^(n-1)*(1/n)x^n+･･･

x=1/n^2,2/n^2,3/n^2,・・・,n/n^2を代入してたすと、

log(1 +1/n^2)=(1/n^2) -(1/2)(1/n^2)^2 +(1/3)(1/n^2)^3 -(1/4)(1/n^2)^4+・・・
log(1 +2/n^2)=(2/n^2) -(1/2)(2/n^2)^2 +(1/3)(2/n^2)^3 -(1/4)(2/n^2)^4+・・・
・・・
log(1 +n/n^2)=(n/n^2) -(1/2)(n/n^2)^2 +(1/3)(n/n^2)^3 -(1/4)(n/n^2)^4+・・・

a_n=(1/n^2)婆 -(1/2)(1/n^4)婆^2 +(1/3)(1/n^6)婆^3 -(1/4)(1/n^8)婆^4 +・・・
　　=(1/n^2)(1/2)n(n+1) 　+o(1/n)
　　→1/2 (n→∞)