数学検定1級（15年前の問題）

①
正八面体の各面に1～8の数字を1ずつ書き込んでできる八面体さいころは,種類できますか。
ただし回転して同一になるものは同じとみなします。

②
①の中で,どの頂点についても,そこ会する4枚の面につけられた数字の和が,同一値になるようなものがありますか。
そのようなものがあるなら配列の一例を示しなさい。

③
△ABCの三辺AB,BC,CAの長さはそれぞれ13,14,15です。
頂点Aから対辺に垂線ADを引くとき,AB,BD,CDの長さを求めなさい。

④
正十二面対の隣り合う面の間の角をθとするとき,cosθの値を求めなさい。

⑤
3個の正の整数a,b,cがあります。
abをcで割った剰余が1,bcをaで割った剰余が1,caをbで割った剰余が1のとき、このような3数(a,b,c)の組を決定しなさい。

⑥
平面上の点全体を,共通部分がない2つの集合A,Bの和集合に分けると、必ずどちらかの集合は,任意の距離だけ離れている2点を含むことを証明しなさい。

⑦
次の関数をx=0においてテイラー展開（マクローリン展開）しなさい。
arcsinX<sinXの逆関数>の主値。