５は今年の東北大後期と同じ解法ですね。

実数の間の等式
(5√2+7)^(1/3)-(5√2-7)^(1/3)=2を以下の手順にしたがって示せ。
(1)係数が整数であるxの３次方程式でx=(5√2+7)^(1/3)-(5√2-7)^(1/3)が
解になるものを１つ求めよ。

　p=5√2+7、q=5√2-7とでもおいて、p-q=14,pq=1に注意して、
　(p^(1/3)-q^(1/3))^3=14-3(p^(1/3)+q^(1/3))

(2)(1)で求めた3次方程式を解くことにより、等式を証明せよ。

　x^3+3x-14=(x-2)(x^2+2x+7)=0の実数解はx=2