>>569
解答のスケッチ

>>252の X を M-空間と呼ぶことにする。
M と N を体 K 上の有限次ベクトル空間とし、
X を M-空間、Y を N-空間とする。
X から Y への射を X から Y への写像で X と Y のそれぞれのある座標系で
線型になっているものと定義する（正確な定義は各自にまかす）。
この定義は X と Y の座標系の取り方によらない。

M を体 K 上の有限次ベクトル空間全体を動かしたとき、
M-空間 X 全体を対象とし、射を上のように定義すると圏 VSpace が得られる。
X が M-空間のとき M = V(X) と書く。
M を体 K 上の有限次ベクトル空間としたとき M は自明に M-空間となる。
この M-空間を S(M) と書く。

体 K 上の有限次ベクトル空間全体のなす圏を Vect と書こう。

X → V(X) は VSpace から Vect への関手であり、
M → S(M) は Vect から VSpace への関手である。

SV は恒等関手と自然同型であり、
VS は恒等関手に等しい。

したがって VSpace と Vect は圏同値である。