>変わるのはベクトルの座標であってベクトルは変わらない。

>>418 さんの主張を、もう少し付け足していうと、
有限次元の線型空間 E のベクトル x と、E の
二つの基底 [e_1, ..., e_n], [f_1 ,..., f_n] を考えるとき、
x = a(1)e_1 + ... + a(n)e_n = b(1)f_1 + ... +b(n)f_n
という風に、表した場合、
[e_1, ..., e_n] に関する x の成分表示 (a(1), ...,a(n)) と
[f_1 ,..., f_n] に関する x の成分表示 (b(1), ...,b(n)) と
は、一般には異なるが、x 自身は、変化を受けない、
という意味だろう。
ここでいう座標変換の意味も、(a(1), ...,a(n)) が
(b(1), ...,b(n))　に変換されるということだが、
それは、x 自身が変換されるのではなく、x をどういう基底で
成分表示するのかが、変わるということだ。