自己レスです
＞それを、f_i (i∈I) のどれかで、E'' に移せばよい。
を、次のように、訂正します。
(x,i) (i∈I, x ∈ E) を含む E'' の類を [x,i]として、
g_i : E → E'' を、g_i (x) = [x,i] とおくと、
g_i は、全単射になる。
そうした上で、
「それを、g_i (i∈I) のどれかで、E'' に移せばよい。」
と、訂正してください。