>>210 の、ベクトルの「定義」を、私なりに、解釈して見ました。
基本的な考え方は、可微分多様体の一点における、接ベクトル空間と、
おなじです。

X を集合、E=R^n とします。いま、Φ= (f_i) (i∈I) を、I を添え数集合として持つ、
X から E への、全単射の族とします。
さらに、i,j ∈ I に対して、ψ_{i,j} = (f_j) (f_i)^{-1} （合成関数）とおくと、
ψ_{i,j} は、O(n,R) （n 次の直交群） に入るとします。

今、i が I の中を、x が E の中を動くときの、対 (x, i) の全体を、
E' として、E' 上の同値関係 〜 を、
(x, i) 〜 (y,j)　⇔ y = ψ_{i,j} (x)
として定義し、その同値関係 〜 による、E' の商を E'' とおくと、
E'' には、各 f_i (i ∈ I) が、O(n,R) に入るような、
内積付きのベクトル空間の構造が、一意に定まります。

こんな具合で、どうでしょう？