>いきなり直交変換なんてという気持がねぇ、わからないですよねぇ。

一般のベクトル空間の話としては、私にも、違和感があります。
K = R で、有限次元に限定しているのではないでしょうか？
そこで、さらに、「直交座標系」を考えるのですから、
それらの座標系の間の座標変換として、
直交変換のみを、考えざるを得ないのでしょう。
ただ、どうして、そうするのか？までは、わかりません。