とりあえず幾つか。

>>239
1. いつの間にか M は有限生成だと仮定してるのね。

2. 「座標変換」はベクトル空間の基底のとりかえのことなんだね.
　　今までの文脈上それはないだろうと判断していたんだけど
　　（それでは「場」との関連で明らかな用語の混乱が生じる）、
　　あなたは良く自然にそう読みとれましたね。

3. 単なる座標ではなく、文系氏のは直交座標系と言ってるんだけど、
　 それは >>239 のどこに反映されてるんですか？
　 M に内積でもいれますか？