>>178
> ベクトルの定義はいくつかある。
> ベクトル空間の公理系を満たすというのが簡単だろう。
> 体上の加群という表現もある。
> 直交座標系で数の組からなる量が座標変換にともなってベクトル変換をうける場合、その数の組をベクトルと定義してもよい。

の最後を

>>210
> ある量があって、直交座標系を設定すると,その成分
> といわれる数の組がさだまり、座標変換にともなって
> その成分がベクトル変換されるならば、その量を
> ベクトルという。

と変更したって、同値にはならんでしょう。
>>178 の最初の二つは普通の「ベクトル空間」。
最後に一つはいわゆる共変ベクトル。
普通の「ベクトル」と座標変換は概念として全くもって関係ナッシング。