数学においてある分野にほぼ同値な二つの流儀があるというのは、
昔から結構あって、例えば代数的整数論ではイデアル論と
付値論がある。
微分幾何だと上にあげた座標変換で不変な量としてテンソルを定義する
流儀と、接ベクトルを微分作用素として定義して、接ベクトル空間の
テンソル積の元としてテンソルを定義する流儀がある。

こういうのは、時代の流行でどっちかが優勢になる場合が多い。
しかし、劣勢になった流儀を無視するのは必ずしも得策ではない。
なぜなら、両者に得手不得手があるから。