>勾配がベクトル場といえるのは、直交座標系の座標変換にともなって
>勾配がベクトル変換を受けるからということ。

俺の見解とは異なっているが、ベクトル変換なる用語は、初めて聞いたな。
線型双射のことと思っていいのか？

>テンソルと、テンソル場の違いを示せ
という問に対しては、もっとマトモな答えをかけるだろう。

例えば、テンソルは、ベクトルの一種、
テンソル場は、ベクトル・バンドルの断面の一種
とかな。ベクトル空間として、テンソル空間を考えているだけだよ。

>知ったかぶりはできないと観念したな。
知ったかぶりができるなどと、俺は、主張していないが？