>スカラー場の勾配(gradient）が、ベクトル場といえるのは
>どうしてですか？

まず、この種の問題は、純粋に「数学的」とはいえないことを、断っておく。
〜といえるかどうか、については、見解の分かれるところだからだ。

文系一般の人の文章力には及ばないが、こんな感じか：

f : R^n → R が、全微分可能なとき、その全微分 Df : R^n → L(R^n, R)
が、定義できる。
ここに、L(R^n, R) は、R^n から、R への、線型写像全体からなる
ベクトル空間に、有界収束の位相を入れたもので、
その元は、R^n のベクトルと、標準的に同一視される。
（Df は、必ずしも、連続とは、限らない）

したがって、x ∈ R^n に対して、Df(x) （これは、点 x における、f の全微分）
は、上記標準的同一視の元で、R^n の、あるベクトル
grad f(x) に等しい。
（grad f(x) の、第 k-成分は、偏微分∂f/∂(x_k) の、x における値である）

したがって、Df は、x に、grad f(x) を対応させる関数
だとかんがえることができるが、この関数こそ、
ベクトル場と呼べるものである。