たとえば
f(x)=x^3＋ax^2-3x＋bとする。f(x)はx=1で極小になり、x=cで極大値5を取る。
定数a,b,cとf(x)の極小値を求めろ。

この問題の場合f'(x)=3x^2+2ax-3
f(x)はx=1で極値を取るのでf'(1)=0　よって　3・1^2+2a・1-3=0ゆえにa=0…①
で必要条件のみである①を使って問題を解き、最後に十分条件の確認をしています。

これだって極値を取ることが問題文で保障されていませんか？
元の問題のa+b+c=0という条件もこの問題のa=0と同じ必要条件のみではないでしょうか？
なぜこの問題は確認し、元の問題は確認しないのかわからないんです。