問題：｛Ｚｎ｝を複素数列、α∈Ｃとする。次を示せ。
lim[n→∞]|Zｎ−α|=0
⇔lim[n→∞]Re(Zn)=Re(α)、lim[n→∞]Im(Zn)=Im(α)

これを自力でやってみたのですがまずいところとかあったら教えてください

Zn=An+Bni,α=c+diとおく
(左なら右を証明)
仮定より
lim[n→∞]|Zn-α|=0
⇔∀ε＞0,∃n0∈Ｎ,∀n＞n0,|Zn-α|＜ε
|An-c+Bni-di|＜ε
(An-c)^2+(Bn-d)^2＜ε^2
よって
|An-c|＜ε,|Bn-d|＜ε
∴lim[n→∞]An=c,lim[n→∞]Bn=d
(右から左を証明)
仮定より
lim[n→∞]An=c,lim[n→∞]Bn=d
∀ε＞0にたいし
∃Na∈Ｎ,∀n＞Na→|An-c|＜(1/√2)ε
∃Nb∈Ｎ,∀n＞Nb→|Bn-d|＜(1/√2)ε
N=max{Na,Nb}とすると
∀n≧Nのとき
(An-c)^2+(Bn-d)^2＜ε^2
|Zn-α|＜ε
∴lim[n→∞]|Zn-α|=0□

疲れた…