Fランク大学の数学の入試問題を考える。
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0001１３２人目の素数さん
2008/04/15(火) 03:06:350153１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 08:33:24p[1]=1/3は明らか
p[2]=c→b、d→bで2/9
(2)
n回目にbについているなら、n+1回目にはbにはつかない
n回目にbについていないなら、n+1回目にbにつく確率は1/3
したがって、p[n+1]=1/3(1-p[n])
あとは簡単な漸化式
これだけじゃないか？
確かに確率漸化式だが、とても易しい部類だろう。
0154１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 08:37:49はずれ
猫さんが頂点Bでお昼寝しているためアリさんは頂点Bへたどり着けない
よって(1)(2)(3)の答えは全て0
0155１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 08:41:48確率漸化式は数Cの「条件付き確率」の部分なのでFランク大学では
出題範囲外らしい。
そもそもFランク大受験生が漸化式を作ることは無理。
0156１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 08:44:17「Ｆランク受験生にとって難問」ってことかいな。
Ｆランク受験生にとっては2次関数を平方完成して最小値を求めることも難問なんじゃないかい。
0157１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 09:05:55Fランク受験生にとっては漸化式の意味が分からないので
難問になる。
数列と確率の融合問題になるととたんに受験生の出来が悪くなる。
当たり前だけど。
0158１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 09:30:03難関大学に出題されるような応用レベルとはいかなくても、>>152程度のこと、自然とおもいつかないかなぁ？
思いつかないから、Fランクしかいけないんだろうなぁ。
0159１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 09:53:54数列を習い終わった段階だと、網羅用の参考書でも難しいもの
にしか掲載されてないからなあ。
高2で大学入試問題集を解いているとか「1対1」、「標準問題精講」、
などのレベルの高い例題解説型の参考書を使うか、
赤チャート、青チャート、ニューアクションω、本質の解法の難易度の高い
網羅系参考書を解いていないと厳しいと思う。
塾や予備校で扱っていれば話は別だけど、高校2年段階では中高一貫高
以外は経験がないと思う。
0160１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 12:20:49(1)x軸との共有点が2つあることを示し、曲線をx軸で切り取った
長さを求めよ。
(2)y=-x^2-2x+3上の点（0,3)に接する接線Lの方程式を求めよ。
(3)接線L、x軸、y=-x^2-2x+3で囲まれた部分の面積を求めよ。
（オリジナル問題）
この問題はFランク大学向けの入試問題としてふさわしいですか？
0161１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 12:31:26したがって∫√(1+f'(x)^2)の公式を知らねばならず、Fランクにとってはあまりにも敷居が高い
0162１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 12:40:25指導要領範囲外。
これならFラン大学の入試問題向けになる。
y=-x^2-2x+3の曲線について次の問に答えよ。
(1)x軸との共有点が2つあることを示し、曲線をx軸で切り取った
時の2つの交点を結んだ線分の長さを求めよ。
(2)y=-x^2-2x+3上の点（0,3)に接する接線Lの方程式を求めよ。
(3)接線L、x軸、y=-x^2-2x+3で囲まれた部分の面積を求めよ。
（オリジナル問題）
0163１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 14:44:13に突っ込めよ
0164１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 14:46:210165１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 21:34:12確率漸化式は数Cの「条件付き確率」の内容なのでFランク大学
では本来出題できない。
（試験範囲でないため）
条件の簡単な確率漸化式の問題ですでに地方駅弁国公立の理系
の2次試験レベルにもなるし、数列の極限との融合問題も作りやすく、
条件を複雑にすれば難関大の入試問題になるのでFラン大では
本来出題すべき問題ではないと思う。
0166１３２人目の素数さん
2008/04/23(水) 21:50:16Fランは
0167１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 09:01:46kingはバイトをしている電気店でお客と20パーセントの確率で
お客とトラブルになるという。
これについて次の問いに答えよ。
(1)kingがお客と全員トラブルになる確率を求めよ。
(2)kingが少なくとも1回はお客とトラブルになる確率を求めよ。
(3)kingが少なくとも1回はお客とトラブルにならない確率を求めよ。
0168１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 11:57:22(2)1
(3)0
01691stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/04/24(木) 13:23:42思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去ったほうがよい。
0170１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 13:53:24正解
0171１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 14:03:05Fランク大学の数学の大問で出題すると良問だと思う。
(1)の証明問題は手ごろで良いし、x軸との交点間の線分の距離
も意味が分かれば簡単だと思う。
（Fランだから気付かない可能性も高いが）
(2)は接線の方程式を求める問題で公式どおりだから簡単だと思う。
(3)はグラフを書いて図形的な考え方が出来れば簡単だが、
計算だけだと大変と言う意味ではFランでは難しい問題かな？
0172１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 14:18:12確率の考え方と余事象の考え方が理解できているかを見るには良い問題だと思う。
この問題で計算力も見れる。
0173１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 14:24:490174１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 14:29:53バカなやつだな。
kingがバイトをしている電気店にくる客の数＝0が正解ｗ
0175１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 14:32:47お客とトラブルになるという。
現在kingのバイトしている電気店にお客が5人いるものする。
これについて次の問いに答えよ。
(1)kingがお客と全員トラブルになる確率を求めよ。
(2)kingが少なくとも1回はお客とトラブルになる確率を求めよ。
(3)kingが少なくとも1回はお客とトラブルにならない確率を求めよ。
01761stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/04/24(木) 14:53:020177１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 15:03:320178１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 15:36:000179１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 15:39:32トリップ偽物がいっぱい現れた頃から、完全に人格崩壊したよ。
その頃、学位論文がなかなか書けなかったみたいだしなｗ
院生として崩れたと同時に、数学板でも崩れたのさ。
0180１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 15:57:31馬鹿の一つ覚え。
0181１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 16:43:18Fランの受験生でこの問題解ける奴どのくらいいるかな？
0182１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 16:52:04正１２角形の外周の近似計算でできそうだな。高校生なら２０分くらいか？
0183１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 16:56:22正8角形でできる。
1) 正8角形の一辺を1とするとき、一番長い対角線の長さを求めよ。
2) 円周率は3.05よりも大きいことを証明せよ
とすれば、Fランクはともかく地方国立大あたりで、ほとぼりが
冷めた頃に使えるよ。
0184１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 17:14:51正12角形の場合だと15°を加法定理で計算して、正8角形の場合だと
半角公式で22.5°を使うパターンですね。
地方国立大ならどちらかを誘導して使えば出来そうですね。
0185１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 17:56:40正10角形の場合がもっとも計算が楽
sin18°=(-1+√5)/4なので、√5の計算だけですむ。
0186１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 18:02:21計算は楽かもしらんが、まずsin18°=(-1+√5)/4の説明から始めないといかんだろ。
0187１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 18:08:29正5角形の対角線と辺の長さが黄金分割比(1+√5)/2になることを、
簡単な図で誘導させればOK。
0188１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 18:10:45加法定理でsin15°を出す方がずっと楽だ
0189１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 18:23:20sin15°=(√6-√2)/4なので、√6の上からの近似評価と
√2の下からの近似評価をしなければならず、
不等式を正確に評価できる学生は少ないと思われる。
0190１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 18:30:29実際解いてみればわかるが、小数点以下四位くらいの
四捨五入程度の近似評価で証明は十分可能
0191１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 18:38:56厳密に√6>2.449, √2<1.415で逆向きの不等式を出して
計算できる学生は東大生ぐらいで、Fランクではレベルが高すぎる。
0192１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 20:23:45物理を履修していれば平方根の値って求められない？
0193１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 20:43:29某旧帝大で講義したとき、平方根の開平算を知ってる学生は半分に満たなかった。
またニュートン法による平方根の近似計算が出来る人もほとんどいなかった。
だから、Fランの問題では平方根の値は、問題用紙にあらかじめ与えておかなければ
いけないと思う。
0194１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 21:20:56でも、東大レベルだと
√6＝2.44948974…
√2＝1.41421356…
ってのは常識だとは思うべ
あと、√3＝1.7320508…と
√5＝富士山麓オウムのサティアン、なんてのも
0195１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 21:58:313つのポールA,B,Cがあり、今ポールAに全て半径の異なっているn枚の円盤が半径
の大きいものから順にささっている。この円盤を次の規則に従って移動させ、最終的に
B,Cのどちらかに今と同じような状態になるように移動させる。
規則1：小さい円盤の上に大きい円盤をのせることは出来ない。
規則2：1回の移動では1枚の円盤しか動かすことが出来ない。
規則3：移動の際はA,B,Cの3つのポール全てを使用してもよい。
この時、n枚の円盤全てをB,Cのポールのどちらかに今と同じような状態になるように
移動させるためには最低何枚円盤を移動させないといけないかをnを使って表せ。
これを漸化式で誘導させてもFラン大学向けではないでしょうね・・・
誘導なしなら京大で出題できそうだけど。
0196１３２人目の素数さん
2008/04/24(木) 22:10:15出題側の心理として、平方数の小数展開を知識として知っていれば
楽に解けるが、そうでないと難しいという問題は、出しづらい。
そういう場合は「√6≒2.4495 としてよい」とかなんとか注をつける。
0197１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 02:35:07はあ？意味分からん。
必要精度を越えれば、四捨五入した数値を使ってかまわんだろ。
小数点以下どこまでも続くんだから。
0198１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 03:20:19問題点は、2点ある。
まず、１点目は不等式を示す問題で四捨五入を使った時点で
論理が破綻して証明にならなくなるという点。
例えば1/0.66666>1.5を示せという問題で、四捨五入して1/0.6667とすると
示せなくなる。東大クラスの試験の採点は、数学科の教員（厳密な思考の数学者）が
行うのでこのような近似を行った時点で大幅減点となる。
二点目は小数の引き算（A-B）が入っているということ。
もし、A=1.2345678..., B=1.2345666...の場合で五桁目を四捨五入したら
(A-B)=0となってしまい、正しい値0.0000012...と一桁も合わなくなる。
したがって、こういう異常なことがおきていないという論理的な説明が
必要になるが、これは大学で習うデータ処理や数値解析の有効桁数や
桁落ちという概念が必要で、文科省の指導要領から大きく外れる。
0199１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 03:36:16ちゃんと評価して示さないと
0200１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 04:54:50「π>3.142を示せば十分」って書くのは問題ないでしょ？
0201１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 04:56:03一概に「四捨五入はいけない」というわけでもない。
0202197
2008/04/25(金) 05:21:32四捨五入って言葉が悪いのか？
＞例えば1/0.66666>1.5を示せという問題で、四捨五入して1/0.6667とすると示せなくなる。
そりゃそういう場合はそうだよ。そもそも、1/0.66666というように「確定した有限小数」として
数値が与えられているのなら、あえて四捨五入する理由もないじゃないか。
証明に必要な精度を吟味せず好き勝手な桁数で数値を丸めれば、そりゃあ証明も成り立たなくなる。
が、円周率や無理数を数値計算に組み込む場合、どこかの桁数で数字を区切り、
「その数値よりは大きい」「その数値よりは小さい」・・・といったかたちで
証明に取り入れざるを得ない。
「不等式の問題」と一口に言ってもいろんなバリエーションがあり、
「不等式の証明方法」もまたいろんな切り口がある。
四捨五入のしかた、近似のしかた、それをどう証明に取り入れるか、というアプローチも然りだ。
それを、「不等式」「四捨五入」という表面的な言葉だけに反応して
十把一絡げに「不等式→四捨五入しちゃだめ」とくくってしまうことの方が
よほど雑駁で非論理的な姿勢だと思われる。
0203１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 05:52:55うん。でもπ<3.142だから、その後の計算でどうやっても「π>3.142」は示せない。
0205１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 11:10:38その手の注釈をつけると
途端に問題が地方国立っぽくなるんだがw
0206１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 18:02:140207１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 20:14:11三角形ABCがあり、辺の長さが各々BC=5,CA=6,AB=7である。
この時、次の問に答えよ。
(1)cos∠Aを求めよ。
(2)sin∠Aを求めよ。
(3)三角形ABCの面積を求めよ。
(4)三角形ABCの内接円の半径を求めよ。
(5)三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(2007 帝京大（医療技術））
0208１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 20:42:18を
円周率は3よりも大きいことを証明せよ
と、問題を変えたら、Fラン向け？東大受験向け？
0209１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 20:43:18「向け」、じゃなかった。「向き」
0210１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 20:52:19円周率は3.14なので3より大きい（証明終わり）
0211１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 20:58:11回答になってねえｗｗｗｗｗ
0212１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 21:07:57中堅私立大理系向けだと思う。
記述式の1題として出題すれば面白い。
実際やってみたら正六角形の対角線で出来た。
0213１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 21:10:01ネタ回答乙
ネタ採点
円周率は3.14っていつ教わった？3と教えられなかったのか？
0214208=213
2008/04/25(金) 21:34:27マジ解答ありがとうございます。
正六角形とその外接円を考えて、
その後の証明に平方根等の評価など必要としない、で正解です。
0215１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 22:04:37問５
直線 (1)x=2 (2)y=5 が交わる点の位置は（□,□)である。
0216１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 22:18:34＞正六角形の対角線
んなわけねーだろｗ
0217１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 22:26:260218１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 22:35:40自分で問題をつくり、それを解け。
0219１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 22:40:340220212
2008/04/25(金) 22:41:34>>216
半径1の円に内接する正六角形ABCDEFを書く。
半径1の円の中心をOとして三角形OABを考える。
辺ABの長さLは2*1*sin60°よりL=1
これが6個あるので正六角形ABCDEFの辺の長さの和は6
従って図より6<2π
よって3<π
したがってπは3より大きいことが証明された。
0221１３２人目の素数さん
2008/04/25(金) 22:57:47数列{a[n]}の一般項が、a[n]=(√2007)^n/n!の時、下記の問いに答えよ。
(1)a[6]/a[4]を求めよ。
(2)a[n]≧a[n+1]となる自然数nの最小値Nを求めよ。
(3)a[N-1]とa[N+1]の大小を比較せよ。
(2007 工学院大）
0222214
2008/04/25(金) 23:37:34>>216 からの反論が無いので返事します。
214 の正六角形とその外接円を考えて、
というのと
半径1の円に内接する正六角形ABCDEF
は同じ考えですね。
あれ、
>> 辺ABの長さLは2*1*sin60°よりL=1
sin60じゃなくてcos60°ですね。
願わくば三角関数を用いずに示せればきれいに見えますが
0223214
2008/04/26(土) 00:12:22(1/4Pi)=atan(1)の級数展開（おそろしく収束が遅いらしい）
(1/4Pi)=4*atan(1/5)-atan(1/239)の級数展開
が知られているようですね。（間違ってない？）
それを使っての証明は認められるかどうか知らないが、
展開を２項（あるいは４項？）ずつくくればすぐなの...
これなら Pi>3.05 もすぐ証明？...
0225１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 00:18:560226223
2008/04/26(土) 00:23:46>>(1/4Pi)
でなくて(1/4*Pi)だった。ごめんなさい。
0227１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 01:28:000228１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 01:30:070229１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 01:47:01それ課程内で導出できるのか？
テイラー展開は無理だし無限級数を項別積分するのもあれだし。
0230１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 01:53:52おれは、F大だからむりだけどよ。
0231１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 02:53:29難関大学も含む）と思ってる？
0232213=214(=208)
2008/04/26(土) 03:03:49夜更かしして起きてたのでレスすします。
>>223 のレス自体は全く課程範囲内ではありません。
でも >>208 の問題(Pi>3を示せ)と、
オリジナルの問題((東大問題)言い出しっぺは >>181 (Pi>3.05 を示せ))
を解く、ということの難易度の比較で考えていただきたいと思います。
でも課程外の考え方ならテイラー展開は全く無理ではありません。
大学入試の採点においてもそういう解き方をされることを考慮しなければ
ならないと思います。
(といっても、テイラー展開を用いたら命題の証明としていいのかどうか。)
正確なことは失念しましたが >>228(ヒントありがとう)から推測するに、
微分(atan(x))'=(1/(1+x^2)) ?
atan(x)=1-(1/(x^3))+(1/(x^5))-(1/(x^7))+... ?
Pi>3.0 Pi>3.05 を追い詰めることができるはず??
私は数学専門ではないし(理系でしたが)。
でも、このスレとしてはもっと笑えるＦラン問題をお願いします。
長文失礼
0233232=231=215
2008/04/26(土) 03:14:29あの 215 の出題、私です。
0234220
2008/04/26(土) 13:31:11半径1の円に内接する正六角形ABCDEFを書く。
半径1の円の中心をOとして三角形OABを考える。
辺ABの長さLは2*1*sin30°よりL=1
これが6個あるので正六角形ABCDEFの辺の長さの和は6
従って図より6<2π
よって3<π
したがってπは3より大きいことが証明された。
0235１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 13:47:420237１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 13:50:430238１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 14:59:41Fラン入試スレのほうが、よりワンランク上のような気がｗ
0240１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 17:03:02別にかまわんけど、入試には時間制限があることをお忘れなく
0241１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 17:12:420242233
2008/04/26(土) 20:31:07普通の三角関数の使い方乙。
ところで、
>>235 以降の論議では、オリジナルの Pi>3.05 を示せ、を解く
というので考えていると思いますが、
受験参考本では、正 12 角形で評価するのが best と出ていて、
正 8 角形で導くには、sqrt(2)の評価を
小数点以下 4 桁しなければならない、というのを見たような気がする。
>>237
正 24 角形なら ((sqrt(6)-sqrt(2))/4 の評価をしなければいけなのは
確実だが、有理化して分母をsqrt(6)+sqrt(2)にすれば
追い込める？
0243１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 20:36:390244233
2008/04/26(土) 20:37:15>>分母をsqrt(6)+sqrt(2)にすれば、
sqrt(6)+sqrt(2)は分子に出てくる。
0245233
2008/04/26(土) 20:54:160246１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 21:13:210247１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 21:22:341〜9までの数を一回ずつつくって四則計算できる最大の数を求めよ。
むずいか？
0248１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 21:27:31limX^X を求めよ
x→0
0249１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 21:35:30公立大学なんだけど、数学の後期試験が究極にむずいので友達間で有名。
後期試験が日本トップレベル何だが....とりあえず後期の理学部の2007年の
第２問見てくれ、むずすぎて泣ける。
0250１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 22:08:43これFランクじゃできないだろ./
0251１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 23:29:06X=2^(-n)=1/(2^n) とおくと
X^X=2^(-n/(2^n)) となる。n>2として、2^n=(1+1)^nを展開すると、
2^n=(1+1)^n = 1^n + n*1^n +(1/2)n(n-1)*1^n+... > (1/2)n(n-1)
なので、0 < n/(2^n) < n/((1/2)n(n-1))=2/(n-1)である。
∴n→∞ で n/(2^n)→0
∴X→0 で X^X→2^0=1
もっと簡単にできるかもしれないが、Fランクでは難問かな？
0252１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 23:32:24>X=2^(-n)=1/(2^n)
これを思い浮かばない
(1+1)^nの二項定理もできない。まして(1+1)^n>n(n-1)/2なんて思い浮かばない
あまりにも難問すぎるだろ
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