lim[x→1]f(x)/x-1=6 , lim[x→-2]f(x)=0 を満たす2次関数f(x)を求めよ。
という問題ですが、
模範解答は
f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) とおく
lim[x→1]f(x)/x-1=6 において lim[x→1]x-1=0 であるから、
極限値6が存在するためには lim[x→1](ax^2+bx+c)=0 であることが必要。
よって a+b+c=0 …①
また lim[x→-2]f(x)=0 から 4a-2b+c=0 …②
①,②から b=a , c=-2a このとき
lim[x→1]f(x)/x-1=lim[x→1](ax^2+ax-2a)/(x-1)=lim[x→1]a(x+2)(x-1)/(x-1)=lim[x→1]a(x+2)=3a
よって 3a=6 ゆえに a=2 更に b=2 , c=-4
したがって f(x)=2x^2+2x-4
となっているのですが、必要条件から解き始めているのに十分性の確認をしていないのでしょうか？
どなたか御回答お願いしますm(_ _)m