>>601 mod X で≡とは、Xで割った余りが等しくなる、という、
いわゆる合同式。これ使わずに書けば、

2006=2007-9=9*223-1=9ｋ-1
（9ｋ-1)^2006 =9f(k)+(-1)^2006=9f(k)+1

f(k)は「2項係数から求められるｋの多項式」、で問題ないと思うし、
ちゃんと書けば
{(9k)^2006+C(2006,1)*(9k)^2005*(-1)^1+…+C(2006,2005）*9*(-1)^2005}/9
（前に9をくくりだしてあるんで、f(k)のほうを9で割ってつじつまあわせ）

合同式は入試での利用の可否がよく話題になるけど、これを一般化
したような式でざっくり証明つけて、記号を定義したことにすれば問題は
ほとんどないと思う。決まったパターンだし、2、3分で書けるでしょ。