仮に α > M とする．
このとき，α - M > 0 なので，
lim_{n→∞} = αより，自然数 N が存在して，
n ≧ N ならば |a_n - α| < α - M …(*)．
不等式 (*) を書き直すと，n ≧ N のとき，
-α + M < a_n - α < α - M．
各辺に α を足して， M < a_n < 2 α - M．
特に，n ≧ N のとき M < a_n であることが示されたが，
これは任意の自然数 n に対して a_n < M であるという
仮定に反する．
したがって，α ≦ M でなければならない．