なんか、問題の設定が曖昧だなあ。
＞平行６面体の各頂点は自由に動く蝶番で結ばれている。
ってあるけど、本当に自由に動くなら、菱形となるべき４点が同一平面上に
ないということも起こり得る。あくまでも菱形となるべき４点は同一平面上にある
という条件を満たす範囲でしか動かせないように設計された蝶番ならば、多分３本だけど、
そうでないなら３本では足りない気がする。その場合、
＞ある面が対角線によって固定されると、その面と平行な面も固定される
というのも意味がよくわからんので、これを意味のあるように解釈するには
あくまでも「平行６面体の12辺である」ことを維持しつつ、変形する
（つまり、どう変形しても、４本ずつ３組の辺が平行であることは常に維持される）
と解釈するしかないのか。