脳トレの本でこういう問題がありました。

となり同士の数を順に足していき一つの答えにせよ。

例えば、問題１：1,2,3　なら1+2+2+3＝8が答えです。　
問題２：1,2,3,4　なら1+2、2+3、3+4　から3,5,7より　3+5+5+7=20が答えです。
問題３：a1,a2・・・an　

結果的には、問題３の答えは　Σ[r=0,n-1]C[n-1,r]ar+1　とわかりました
勿論、問題１、２もこれで解けます。
問題１はnに3、a1に1、a2に2、a3に3を代入したら出ます。
問題２はnに4、a1に1、a2に2、a3に3、a4に4を代入したら出ます

でも何でこれでいいのかわかりません。どなたか教えてくれないでしょうか。
二項定理をちょっといじったら何故か出来たのです。