解答をお願いします。

(1/x)+(1/y)+(1/z)=1を満たす自然数x,y,zの組(x,y,z)を求めよ。
という整数問題ですが、

いろいろ式をいじくり回したところ、
xy＞4 yz＞4 zx＞4
xyz>12　までは出せました。

○>xyz>12となる自然数○が決まれば、(x,y,z)の候補を絞れる気がするのですが、どう解いたらよいでしょうか。
いろいろ式変形を繰り返してみましたが解答に結びつきそうな式が出てきませんでした…。

解答はとても長くなるかもしれませんが、よろしくお願いいたします。